Chuyên Đề:
KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ
I. BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Bài toán 1. Cho
, 0
1
a b
a b
>


+ ≤

, tìm GTNN của
2 2
1 1
2
P
ab
a b
= +
+
Giải
Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 4 4
4
2
2 ( )
ab
a b a ab b a b

, 0
1
a b
a b
>


+ ≤

, tìm GTNN của
2 2
1 1
2
1
P
ab
a b
= +
+ +
Giải
Lời giải 1. Ta có:
2 2 2 2 2
1 1 4 4 4
2
2 2
1 2 1 ( ) 1
P
ab
a b a ab b a b
= + ≥ = ≥ =

1
2 4
a b
ab
+
 
≤ =
 
 
. Vậy
2 2
4 1 8
3
2 6
2 2
P
a b a b
≥ + ≥
+ +
   
+
   
   
Dấu “=” xảy ra
2 2
1 3
1
2
1
a b ab

đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn do một số sai
lầm do thói quen như lời giải 1 trong bài toán mở đầu là một ví dụ. Để giúp học sinh hiểu sâu
hơn về bài toán cực trị đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề
“Chọn điểm rơi trong giải toán bất đẳng thức”.
III. NỘI DUNG
1. Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức
a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức
Định nghĩa:
0a b a b≥ ⇔ − ≥
•
a b
a c
b c
≥

⇒ ≥

≥

•
a b a c b c≥ ⇔ + ≥ +
•
a b
a c b d
c d
≥

⇒ + ≥ +

≥

1 2 n
a a a= = =L
.
•
Một vài hệ quả quan trọng:
+
2
1 2
1 2
1 1 1
( ) vôùi 0, 1,
n i
n
a a a n a i n
a a a
 
+ + + + + + ≥ ∀ > =
 
 
L L
+
2
1 2 1 2
1 1 1
vôùi 0, 1,
i
n n
n
a i n
a a a a a a

a a a b b b
ta có:

2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +L L L
Dấu “=’ xảy ra
1 2
1 2
(quy öôùc neáu 0 0)
n
i i
n
aa a
b a
b b b
⇔ = = = = ⇒ =L
•
Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ)
Cho hai dãy số
1 2 1 2
, ,..., vaø , ,..., vôùi 0 1,
n n i
a a a b b b b i n> ∀ =
ta luôn có:
2 2
2 2
1 2

n
biến thực trên
: :
n n
D f D⊂ ⊂ →¡ ¡ ¡
−
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2
( , ,..., ) ( , ,..., )
Max
( , ,..., ) : ( , ,..., )
n n
D
n n
f x x x M x x x D
f M
x x x D f x x x M
≤ ∀ ∈


= ⇔

∃ ∈ =


−
1 2 1 2
0 0 0 0 0 0
1 2 1 2

+ ≤

, tìm GTNN của biểu thức
2 2
1 1
4P ab
ab
a b
= + +
+
.
Sai lầm thường gặp:
Sai lầm 1: Ta có :
2 2 2 2 2
1 1 1 4 1 4 1
4 4 4
2 2 2 2
2 ( )
P ab ab ab
ab ab ab ab
a b a b ab a b
 
= + + + ≥ + + = + +
 
+ + + +
 
.
Mặt khác
1 1
4 2 .4 2 2

a b a b
a b

+ =


⇔ = ⇔ = =


+ =


. Thay
1
2
a b= =
vào ta được
7P ≥

7MinP⇒ =
khi
1
2
a b= =
.
Nguyên nhân sai lầm:
Trang 3
Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách
1 1 1
2 2ab ab ab

1
2
a b= =
nên đã tách
các số hạng và
7MinP
=
khi
1
2
a b= =
là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai ví dụ như
2
(1 )x x x− + ≥
, dấu bằng xảy ra khi
1x
=
2
( 1) 1??Min x x
 
⇒ − + =
 
.
Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với
,a b
, ta dự đoán
MinP
đạt tại
1
2

a b a b
a b

+ =


⇔ = ⇔ = =


+ =


.
Bài 2. Cho
, 0
1
a b
a b
>


+ ≤

, tìm GTNN của biểu thức
3 3 2 2
1 1 1
S
a b a b ab
= + +
+

+
 
 
 
59
3
MinS =
Nguyên nhân sai lầm:
3 3 2
3
59
( )
3
1
a b a b
MinS a b vn
a b

+ =

= ⇔ =


+ =

Lời giải đúng
Trang 4
Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi
1
2

a b a b ab a b ab a b ab a b a b
a b
= + + + + ≥ ≥ ≥
+ + + + +
+ +
Dấu bằng xảy ra khi
1
2
a b= =
.
Bài 3. Cho
, , 0
1 1 1
4
x y z
x y z
>



+ + =


. Tìm GTLN của
1 1 1
2 2 2
P
x y z x y z x y z
= + +
+ + + + + +

( )
2
9
1 1 1
4
x y z
y x z
MaxP vn
z x y
x y z
= =


= =


= ⇔
= =



+ + =


, tức là không tồn tại
10
( , , ) :
9
x y z D P∈ =
Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán

, vậy
1MaxP
=
khi
4
3
x y z= = =
.
Cách 2: Ta có
4
2
4
1 1
2 4 . . .
2
4
x y z x x y z x x y z
x y z
x yz
+ + = + + + ≥ ⇒ ≤
+ +
, mặt khác:
Trang 5