CHỦ ĐỀ 8. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
I. Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong
Xét họ đường cong (Cm ) có phương trình y = f ( x, m) , trong đó f là hàm đa thức theo biến x
với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2. Hãy tìm những điểm cố định thuộc họ đường
cong khi m thay đổi?
 Phương pháp giải:
o Bước 1: Đưa phương trình y = f ( x, m) về dạng phương trình theo ẩn m có dạng sau:
0.
Am + B =
0 hoặc Am 2 + Bm + C =
o Bước 2: Cho các hệ số bằng 0 , ta thu được hệ phương trình và giải hệ phương trình:
A = 0
A = 0

hoặc  B = 0 .

B = 0
C = 0


o Bước 3: Kết luận
 Nếu hệ vô nghiệm thì họ đường cong (Cm ) không có điểm cố định.
 Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (Cm ) .
II. Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:
Cho đường cong (C ) có phương trình y = f ( x) (hàm phân thức). Hãy tìm những điểm có tọa độ
nguyên của đường cong?
Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều
là số nguyên.
 Phương pháp giải:
o Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số.

a + b =
 Ta có 
.
3
3
2
2
0
 A(a + b ) + B ( a + b ) + C ( a + b ) + 2 D =
 Giải hệ phương trình tìm được a, b từ đó tìm được toạ độ M , N .

Trang 1/25


Bài toán 3: Cho đồ thị ( C ) : y = Ax3 + Bx 2 + Cx + D trên đồ thị ( C ) tìm những cặp điểm đối
xứng nhau qua đường thẳng d :=
y A1 x + B1 .
 Phương pháp giải:

 Gọi M ( a; Aa 3 + Ba 2 + Ca + D ) , N ( b; Ab3 + Bb 2 + Cb + D ) là hai điểm trên ( C ) đối xứng
nhau qua đường thẳng d .


(1)
 I ∈ d
 Ta có:   
(với I là trung điểm của MN và u d là vectơ chỉ phương của
 MN .u d = 0 (2)
đường thẳng d ).
 Giải hệ phương trình tìm được M, N.

2. Các bài toán thường gặp:

ax + b
( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 ) có đồ thị ( C ) . Hãy tìm trên (C ) hai
cx + d
điểm A và B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số sao cho khoảng cách AB ngắn nhất.
 Phương pháp giải:
d
 ( C ) có tiệm cận đứng x = − do tính chất của hàm phân thức, đồ thị nằm về hai phía
c
của tiệm cận đứng. Nên gọi hai số α , β là hai số dương.
Bài toán 1: Cho hàm số y =

d
d
d
⇒ xA = − − α < − ; y A = f ( xA ) .
c
c
c
d
d
d
 Nếu B thuộc nhánh phải thì xB > − ⇒ xB = − + β > − ; yB = f ( xB ) .
c
c
c
 Nếu A thuộc nhánh trái thì x A < −

2

k x
 y = −kx ⇔ 

 f ( x ) = −kx

ax + b
( c ≠ 0, ad − bc ≠ 0 ) .
cx + d
Tìm tọa độ điểm M trên (C ) sao cho độ dài MI ngắn nhất (với I là giao điểm hai tiệm cận).
 Phương pháp giải:
−d
a
 Tiệm cận đứng x =
; tiệm cận ngang y = .
c
c
 −d a 
 Ta tìm được tọa độ giao điểm I 
;  của hai tiệm cận.
 c c
Bài toán 4: Cho đồ thị hàm số (C ) có phương trình y= f ( x)=

 Gọi M ( xM ; yM ) là điểm cần tìm. Khi đó:
2

2

d 
a


C. M (−1; −2) .

D. M (0;1) .

2

Đồ thị của hàm số y = x + 2mx − m + 1 ( m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có tọa
độ là
1 5
1 3
B. M  ;  .
C. M  ;  .
D. M (−1;0) .
2 4
2 2
Đồ thị của hàm số y = x3 − 3 x 2 + mx + m ( m là tham số) luôn đi qua một điểm M cố định có
A. M ( 0;1) .

Câu 3.

tọa độ là
A. M ( −1; 2 ) .
Câu 4.

B. M ( −1; −4 ) .

D. M (1; −4 ) .

Biết đồ thị ( Cm ) của hàm số y =
x 4 − 2mx 2 + 3 luôn đi qua một điểm M cố định khi m thay

D. M ( 0; −1) .
2

Hỏi khi m thay đổi đồ thị (Cm ) của hàm số y = x 3 − 3mx 2 − x + 3m đi qua bao nhiêu điểm cố
định ?
A. 1.

Câu 7.

Câu 8.

B. 3 .

D. 4 .
2x −1
Tọa độ điểm M thuộc đồ thị ( C ) của hàm số y =
sao cho khoảng cách từ điểm M đến
x −1
tiệm cận đứng bằng 1 là
A. M ( 0;1) , M ( 2;3) .
B. M ( 2;1) .
3
 5

C. M  −1;  .
D. M  3;  .
2
 2

Hỏi khi m thay đổi đồ thị (Cm ) của hàm số y = (1 − 2m) x 4 + 3mx 2 − m − 1 đi qua bao nhiêu

Câu 10. Biết đồ thị=
(Cm ) của hàm số y
M ( xM ; yM )

B. −3 .
C. 1 .
D. −2 .
A. −1 .
3
2
Câu 11. Cho hàm số y =− x + mx − x − 4m có đồ thị (Cm ) và A là điểm cố định có hoành độ âm của
(Cm ) . Giá trị của m để tiếp tuyến tại A của (Cm ) vuông góc với đường phân giác góc phần tư
thứ nhất là
A. m = −3 .

B. m = −6 .

C. m = 2 .

7
D. m = − .
2

2
có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?
x+2
A. 4 .
B. 1 .
C. 2 .
D. 3 .

− x 2 − 1 , thì x1 x2 có giá trị bằng
4
A.

2
.
3

B. 1.

B. 0.

C.

2
.
3

D.

−2
.
3
Trang 4/25


6
số điểm có tọa độ nguyên là
4x −1
B. 8 .

4x + 2
A. 6 .
B. 2 .
C. 1.
D. 0.
x+2
Tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số y =
sao cho tổng khoảng cách
x−2
từ M đến 2 tiệm cận của đồ thị hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là
A. M (4;3) .
B. M (3;5) .
C. M (1; −3) .
D. M (0; −1) .
3
2
Số cặp điểm thuộc đồ thị ( C ) của hàm số y =x + 3 x − 2 đối xứng với nhau qua điểm

Câu 17. Trên đồ thị (C ) của hàm số y =

Câu 18.

Câu 19.

Câu 20.

Câu 21.

Câu 22.


B. 2 3 .
C. 2 .
D. −2 .
3
Câu 26. Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) của hàm số y = x + 3 x − 2 đối xứng nhau qua điểm I (2;18) là
A. (1; 2) và (3;34) .
B. (3; 2) và (1;34) .
C. (0; −2) và (4;74) .
D. (1; 2) và (−1; −6) .
Câu 27. Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) của hàm số y = x 3 − 4 x 2 + 9 x + 4 đối xứng nhau qua gốc tọa độ O
là
A. (3; 22) và (−3; −22) .
C. (1;10) và (−1; −10) .

B. (2;14) và (−2; −14) .
D. (0; 4) và (4; 40) .

1
Câu 28. Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) của hàm số =
y x 3 + x đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = − x
2
là
A. (1; 2 ) và ( −2; −10 ) .
B. ( 2; −1) và ( −2;1) .

C. (1; −2 ) và ( −1; 2 ) .

D. (1; 2 ) và ( −1; −2 ) .

Trang 5/25


x −3
có đồ thị ( C ) . Gọi d là khoảng cách từ một điểm M trên ( C ) đến giao
x +1
điểm của hai tiệm cận. Giá trị nhỏ nhất có thể có của d là

Câu 31. Cho hàm số y =
A.

2.

B. 2 3 .

C. 3 2 .

D. 2 2 .

x +1
có đồ thị ( C ) và I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( C ) . Tiếp
x −1
tuyến tại một điểm M bất kỳ của ( C ) cắt hai tiệm cận của ( C ) tại A và B . Diện tích của tam

Câu 32. Cho hàm số y =

giác ABI bằng
A. 4.

C. 6.
D. 7.
x−7

B. 10.

C. 2.
D. 5
1 3
11
Câu 35. Cặp điểm thuộc đồ thị (C ) của hàm số y =
mà chúng đối xứng nhau qua
− x + x 2 + 3x −
3
3
trục tung là
16 
16 

 16 

 16 
A.  3; −  và  −3; −  .
B.  3;  và  −3;  .
3
3
3



 3
11 
11 
11 

Trang 6/25


Câu 38. Biết đồ thị (Cm ) của hàm số y =x3 − 3(m − 1) x 2 − 3mx + 2 luôn luôn đi qua hai điểm cố định
P ( xP ; yP ) và Q ( xQ ; yQ ) khi m thay đổi, khi đó giá trị của yP + yQ bằng

A. −1 .

C. 5 .
D. 8 .
2x −1
Câu 39. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị (C ) của hàm số y =
sao cho khoảng cách từ điểm I (−1; 2)
x +1
đến tiếp tuyến của ( C ) tại M là lớn nhất.là

(
B. M ( −1 +
C. M ( −1 +
D. M ( −1 −

B. 6 .

) (
3 ) , M ( −1 +
3 ) , M ( −1 −
3 ) , M ( −1 −

)
3;2 + 3) .


4
 1 
B.  − ;0  \ −
.
 2 
13
1 4 4

D. ( −∞;0 ) ∪  ;  ∪  ; +∞  .
2 3 3


A. ( 0; +∞ ) .
C. [1; +∞ ) .

2x − 3
có đồ thị ( C ) . Biết rằng tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ của ( C )
x−2
luôn cắt hai tiệm cận của ( C ) tại A và B . Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB là

Câu 41. Cho hàm số y =

A. 4 .

B.

2.

C. 2 .

,
,
2
2   2
2 


D. 2 2 .

 



D. Không tồn tại điểm M .

Câu 43. Khoảng cách ngắn nhất từ điểm M thuộc đồ thị ( C ) của hàm số y =
A. 2 .

B. 2 2 .

C.

B. 2 .

C.

2+2 2 .

D.


x −3

D. 2 .

Trang 7/25


Câu 46. Biết đồ thị (Cm ) của hàm số y = x 4 + mx 2 − m + 2016 luôn luôn đi qua hai điểm M và N cố
định khi m thay đổi. Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là
A. I (−1;0) .
B. I (1; 2016) .
C. I (0;1) .
D. I (0; 2017) .
x+2
Câu 47. Cho hàm số y =
có đồ thị ( C ) . Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc ( C ) đến hai
x −3
hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?
2
1
A. 2 .
B. .
C. 1.
D. .
3
6
2
x + 3x + 3
Câu 48. Cho hàm số y =
có đồ thị ( C ) . Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc ( C ) đến


D. ( 2;1) , ( 0;1) .

x2 − 5x + 2
có đồ thị (C ) . Hỏi trên (C ) có bao nhiêu điểm có hoành độ và
2x + 2
tung độ là các số tự nhiên.
A. 3 .
B. 2 .
C. 8 .
D. 4 .
4
2
− x + 2mx − 2m + 1 có đồ thị (Cm ) . Gọi A là điểm cố định có hoành độ
Câu 52. Cho hàm số y =

Câu 51. Cho hàm số y =

dương của (Cm ) . Khi tiếp tuyến tại A của (Cm ) song song với đường thẳng d : y = 16 x thì giá
trị của m là
63
.
64
x2 + 4x + 5
Câu 53. Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc đồ thị ( C ) của hàm số y =
đến đường
x+2
0 bằng
thẳng d : y + 3 x + 6 =



C. 2 2 .
D. 2 .
x+2
Câu 55. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị ( C ) của hàm số y =
cách đều hai đường tiệm cận của ( C )
x−2
là
A. M ( 2;1) .
B. M ( 0; −1) , M ( 4;3) .

1
 7

C. M  5;  , M  −3;  .
5
 3


D. M ( −2; 2 ) .
Trang 8/25


A. M ( −1; −1) , M ( 3;3) .

x+3
cách đều hai trục tọa độ là
x −1
B. M ( −1;3) .



khẳng định đúng?
A. ( Cm ) không đi qua điểm cố định nào.
B. ( Cm ) có đúng hai điểm cố định.
C. ( Cm ) có đúng ba điểm cố định.

D. ( Cm ) có đúng một điểm cố định.

Câu 59. Điều kiện của tham số m để trên đồ thị ( Cm ) của hàm số y = x 3 − ( 3m − 1) x 2 + 2mx + m + 1 có
ít nhất hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua trục Oy là
B. m < 0 .
C. m = −2 .
D. m ≤ −2 .
A. m ≤ 0 .
3
2
Câu 60. Đồ thị hàm số y = 2 x + mx − 12 x − 13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung khi và chỉ khi:
A. m = −1 .

B. m = 0 .

C. m =
−1; m =
−2 .

D. m = −2 .

x +1
có bao nhiêu điểm cách đều hai trục tọa độ?
x+2

3− x
có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?
x −1
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 4.
x +1
Câu 65. Tọa độ tất cả các điểm thuộc đồ thị ( C ) của hàm số y =
sao cho tổng khoảng cách từ
x−2
điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất là
Câu 64. Trên đồ thị ( C ) của hàm số y =

A. (1;1) .

(

(
D. ( 2 +

)

B. 1 + 3;1 + 3 .

)

C. 1 − 3;1 − 3 .
Câu 66. Đồ thị của hàm số y =



C. M ( 0; −1) , M ( 3; 2 ) .

D. M ( 2;1) , M ( 3; 2 ) .

x+2
sao cho khoảng cách từ điểm
x−2
M đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng?
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 4.

Câu 68. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị ( C ) của hàm số y =

C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
B C B D B C A B C C A A A D C D D D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
D A B A A A C D C D D A D C B C C B C D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
D C C B A D B D B A B A D C B A C C B B
61 62 63 64 65 66 67 68
C B C D D D B A
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn B.
Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm cố định cần tìm.
Ta có y0 = (m − 1) x0 + 3 − m, ∀m

2 ⇒ M 1;5.
⇔
⇔ ( 2 x0 − 1) m + x02 + 1 − y0 = 0, ∀m ⇔  2


2 4
 x0 + 1 − y0 =0
y = 5
 0 4
Phương pháp trắc nghiệm
Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số
luôn đúng với mọi m thì điểm đó là điểm cố định.
Chọn B.
Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm cố định cần tìm.
Ta có y0 = x03 − 3 x02 + mx0 + m, ∀m
0
 x0 = −1
 x0 + 1 =
⇔ ( x0 + 1)m + x03 − 3 x02 − y0 = 0, ∀m ⇔  3
⇔
⇒ M (−1; −4)
2
0
 y0 = −4
 x0 − 3 x0 − y0 =

Câu 4.

Câu 5.


Ta có y0=
, ∀m ≠ 0 ⇔ x0 y0 + my0= mx0 + x0 + m, ∀m ≠ 0
x0 + m
 y0 − x0 − 1 =0
 x0 = 0
⇒ M (0;1) .
⇔ m( y0 − x0 − 1) + x0 y0 − x0 = 0, ∀m ≠ 0 ⇔ 
⇔
0
 x0 y0 − x0 =
 y0 = 1
Phương pháp trắc nghiệm
Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số
luôn đúng với mọi m thì điểm đó là điểm cố định
Chọn C.
Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm cố định cần tìm.

Ta có: y0 = x03 − 3mx02 − x0 + 3m, ∀m
1 − x02 0 =
=
 x0 1
 x0 = −1
hoặc 
.
⇔ 3(1 − x )m + x − x0 − y0 = 0, ∀m ⇔  3
⇔
0
 x0 − x0 − y0 =
 y0 = 0
 y0 = 0

0
2 x0 − 3 x0 + 1 =
⇔ (2 x − 3 x + 1)m + y0 − x + 1 = 0, ∀m ⇔ 
4
0
 y0 − x0 + 1 =
4
0

Câu 9.

2
0

4
0

1
1


x0 = −
x0 =


 x0 = −1
 x0 = 1

2 hoặc 
2.

Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là =
h2

a = 4
 a = −2
 a −1 =
3
3
2
.
= 4 ⇔ a −1 − 4 a −1 + 3 = 0 ⇔ 
⇔
h1 + h2 = 4 ⇔ a − 1 +
a = 2
a −1
−
=
a
1
1


a = 0

Vậy các điểm cần tìm là: ( 2;5 ) , ( 0; −1) , ( 4;3) , ( −2;1) .
Câu 10. Chọn C.
Gọi M ( xM ; yM ) là điểm cố định cần tìm.
Ta có yM
=


 x0 =−2
 x0 − 4 =0
⇔ ( x − 4)m − x − x0 − y0 = 0, ∀m ⇔  3
⇒
⇒ A(−2;10) .
0  y0 = 10
− x0 − x0 − y0 =
2
0

3
0

Trang 12/25


Lại có y′ =−3 x 2 + 2mx − 1 ⇒ y′(−2) =−4m − 13
Phương trình tiếp tuyến của (Cm ) tại A(−2;10) có dạng y =−
( 4m − 13)( x + 2) + 10 hay
y=
(−4m − 13) x − 8m − 16 (∆) .
Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình d : y = x .
Vì ∆ vuông góc với d nên ta có −4m − 13 =−1 ⇔ m =−3 .
Câu 12. Chọn A.
Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈  \ {−2} , y0 ∈ 
 x0 ∈  \ {−2}

⇒ 2
⇒ x0 + 2 ∈ {−2; −1;1; 2} ⇒ x0 ∈ {−4; −3; −1;0}
∈

Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ , y0 ∈  .
 x0 ∈ 

 2 1 4 
⇒ 4
⇒ 3 x0 − 2 ∈ {−4; −2; −1;1; 2; 4} ⇒ x0 ∈ − ;0; ;1; ; 2 
 3 3 3 
 3x − 2 ∈ 
 0
Do x0 ∈  ⇒ M 1 (0; −2), M 2 (1; 4) và M 3 (2;1).
Vậy trên đồ thị (C ) có ba điểm có tọa độ là các số nguyên.
Câu 16. Chọn D.
−2
−2
Ta có y′ = x3 − 2 x, y′′ = 3 x 2 − 2 ⇒ x1.x2 =
. Vậy x1.x2 =
.
3
3
Câu 17. Chọn D.
Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ , y0 ∈  .
 x0 ∈ 

 5 1 1 1 3 7
⇒ 6
⇒ 4 x0 − 1 ∈ {−6; −3; −2; −1;1; 2;3;6} ⇒ x0 ∈ − ; − ; − ;0; ; ;1;  .
 4 2 4 2 4 4
 4x −1 ∈ 
 0


∈
 y0 =
2  2 x0 − 1 

 x0 =⇒
 x0 =−2 ⇒ y0 =0 ⇒ M (−2;0)
1 y0 =3 ⇒ M (1;3)
 x0 =0 ⇒ y0 =−2 ⇒ M (0; −2)
 x0 =3 ⇒ y0 =⇒
1 M (3;1)
Vậy trên đồ thị (C ) có bốn điểm có tọa độ là các số nguyên.
Câu 20. Chọn B.
Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ , y0 ∈  .
 x0 ∈ 
2 10 


⇒
⇒ 3 x0 + 1 ∈ {−11; −1;1;11} ⇒ x0 ∈ −4; − ;0; 
1
11 
3
3

5 −
∈
 y0 =
3
3 x0 + 1 


2
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a − 2 = 4 ⇔ a − 2 = 2 ⇔ 
.
a = 4
Kết luận M (4;3) .
Câu 23. Chọn B.
Gọi M ( x; y ) là điểm trên đồ thị ( C ) , gọi N là điểm đối xứng với M qua I, ta có
N ( 4 − x;36 − y ) . Vì N thuộc ( C ) , ta có

36 − y = ( 4 − x )3 + 3 ( 4 − x )2 − 2
3
2
⇒ x3 + 3 x 2 − 2 =− ( 4 − x ) − 3 ( 4 − x ) + 38 ⇔ x =2

3
2
 y =x + 3 x − 2

Vậy có tất cả một cặp điểm thuộc đồ thị ( C ) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 24. Chọn A.
Gọi M ( x0 ; y0 ) với x0 ∈ , y0 ∈  .

Trang 14/25


 x0 ∈ 

⇒
⇒ x0 − 1 ∈ {−8; −4; −2; −1;1; 2; 4;8} ⇒ x0 ∈ {−7; −3; −1;0; 2;3;5;9}
8

4
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ( a − 1) =9 ⇔ 
. Vì M có hoành độ dương nên
− 3 +1
 a =

chọn =
0.
a
3 + 1 , suy ra M ( 3 + 1; 3 + 1) nên xM − yM =
Câu 26. Chọn A.
Gọi A( x A ; x3A + 3 x A − 2), B( xB ; xB3 + 3 xB − 2) là hai điểm trên (C ) đối xứng nhau qua I (2;18) .
4
(1)
2 xI
 x A + xB =
x + x =
Ta có:  A B
⇔ 3
3
2 yI
36 (2)
 y A + yB =
 x A + 3 x A − 2 + xB + 3 xB − 2 =

1 xB =3
 x =⇒
.
Thay (1) vào (2) ta được x3A + 3 x A − 2 + (4 − x A )3 + 3(4 − x A ) − 2 = 36 ⇔  A
 x A =3 ⇒ xB =1

0.
d : y = − x hay d : x + 2 y =
2

(1)
 I ∈ d
Ta có:   
(với I là trung điểm của AB và u d (2; −1) là vecto chỉ phương của d )
 AB.u d = 0 (2)
Từ (1) ta có

a 3 + a + b3 + b
1 a+b
= − .
2
2 2
2
⇔ (a + b)(2a − 2ab + 2b 2 + 3) =
0 ⇔a=
−b (3)
2

3
1  3 2


(vì 2a − 2ab + 2b + 3= 2  a 2 − ab + b 2 + =
 2  a − b  + b + 3 > 0, ∀a, b )
2
2  2

a = 5
a +1
3
 a +1 
Gọi M  a;
.
− 1 =1 ⇔
=1 ⇔ 
 ∈ ( C ) , a ≠ 2 . Ta có
a−2
a−2
 a−2
 a = −1
Vậy M ( 5; 2 ) , M ( −1;0 ) .
Câu 30. Chọn D.
Đồ thị hàm số (Cm ) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi và chỉ khi tồn tại
sao
cho
tồn
tại
sao
cho
y ( x0 ) =
− y (− x0 )
⇔
x0 ≠ 0
x0 ≠ 0
x03 − 3 x02 + m =− (− x0 )3 − 3(− x0 ) 2 + m  ⇔ tồn tại x0 ≠ 0 sao cho 3 x02 = m ⇔ m > 0 .

Câu 31. Chọn D.

B ( 2m − 1,1) .

1
1 m+3
IA
=
.IB
− 1 . 2m −=
1−1 4 .
2
2 m −1
Phương pháp trắc nghiệm
ax + b
Cho đồ thị hàm số (C ) : y =
. Gọi M là điểm tùy ý thuộc ( C ) . Tiếp tuyến tại M cắt hai
cx + d
tiệm cận tại A, B . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. Khi đó diện tích tam giác ABI luôn là hằng
số. Cách tính nhanh:
1. Chọn M ( 2,3) thuộc ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến tại M là d : y  2 x  7 . Khi đó
Diện tích
=
S

A (1,5 ) , B ( 3,1) và IA  4, IB  2 .
2. Tam giác ABI là tam giác vuông tại I . Diện tích S ABI 
Câu 33. Chọn D.
Theo giả thiết ta có :

1
IA.IB  4 .

=
−
−
y
3
x
x
7
1 x =−
3
x
+
4
x
−
7
=
0



= −3 x

3
 x + 1

Trang 16/25


Nhắc lại: Điểm M ∈ (C ) : y =

a−2
Vậy giá trị nhỏ nhất của d bằng 2.
Câu 35. Chọn B.
Phương pháp tự luận
1
11  
1
11 

Gọi A  x A ; − x3A + x A2 + 3 x A −  , B  xB ; − xB3 + xB2 + 3 xB −  là hai điểm trên (C ) đối xứng
3
3 
3
3

nhau qua trục tung.
(1)
 xB = − x A
0
 x A + xB =

Ta có 
⇔ 1 3
11
1
11
2
(2)
− xB3 + xB2 + 3 xB −
 y A = yB

và kiểm tra điểm có thuộc đồ thị
 y A = yB
không.
Câu 36. Chọn C.
Gọi M ( xM , yM ) , ( xM ≠ −3) thỏa yêu cầu bài toán. Ta có:
15

9

xM = −

=
+
+
y
x
2
 M

M
2 .
xM + 3 ⇔ 

 y = ±x
 y = − 15
 M
M
 M
2


2
0
 x0 + x0 =
⇔ 3( x + x0 )m + y0 − x − 3 x − 2 = 0, ∀m ⇔ 
3
2
0
 y0 − x0 − 3 x0 − 2 =
2
0

3
0

2
0

 x0 = −1
 x0 = 0
hoặc 
.
⇔
 y0 = 4
 y0 = 2
Suy ra P ( −1; 4 ) , Q(0; 2) hoặc P ( 0; 2 ) , Q(−1; 4) nên yP + yQ =
6.
Câu 39. Chọn C.




6 khi

(

6 x0 + 1
=
9 + ( x0 + 1) 4

6
9
+ ( x0 + 1) 2
2
( x0 + 1)

.

9
+ ( x0 + 1) 2 ≥ 2 9 = 6 , vậy d ≤ 6 . Khoảng cách d lớn
2
( x0 + 1)

9
2
= ( x0 + 1) 2 ⇔ (x0 + 1) = 3 ⇔ x0 = −1 ± 3 .
2
( x0 + 1)

)

(

m ≠
3

Câu 41. Chọn D.
1 
1

Lấy điểm M  m; 2 +
.
 ∈ ( C ) với m ≠ 2 . Ta có y ' ( m ) = −
2
m−2

( m − 2)
Tiếp tuyến tại M có phương trình d : y =−

1

( m − 2)

2

( x − m) + 2 +

1
.
m−2

2 


.
2x −1

1+ 5
x =

2
1− 5 1− 5  1+ 5 1+ 5 
.
;
Hai điểm trên đồ thị thỏa yêu cầu bài toán là 
,
,
2 
2   2
2

Câu 43. Chọn C.
Gọi M ( x; y ) thuộc ( C ) , ta có



 



2
2

1

2

⇒ min IM =
2 + 2 2 . Đạt được khi 2 ( x − 1) =
2

1

( x − 1)

2

1

( x − 1)

2

+2 ≥ 2+2 2 .

1

x= 1− 4

1
4
2
.
⇔ ( x − 1) = ⇒ 
1

Phương pháp trắc nghiệm
ax + b
Cho đồ thị hàm số ( C ) : y =
. Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số, khi đó tổng khoảng
cx + d

cách từ M đến 2 tiệm cận có độ dài nhỏ nhất là 2

ad - bc
.
c2

Câu 45. Chọn A.
Gọi A là điểm thuộc thuộc nhánh trái của đồ thị hàm số, nghĩa là x A < 3 ⇒ với số α > 0 , đặt
6
6
6
x A = 3 − α , suy ra y A =
1+
=
1+
=
1−
(1) .
xA − 3
3 −α − 3
α
Trang 19/25



6   6 
= ( 3 + β ) − ( 3 − α )  + 1 +  − 1 −  
 β   α  
2

2

2

6 6
2
2
2 1 
+  +  =(α + β ) + ( 6 ) (α + β ) 

α β 
 αβ 

36 
= (α 2 + β 2 + 2αβ ) 1 + 2 2 
 α β 

2


36 
144
≥ 2 4.144 = 48 .
g (α ; β ) ≥ ( 2αβ + 2αβ ) 1 + 2 2  = 4αβ +
αβ

0
 x0 − y0 + 2016 =
 y0 = 2017
 y0 = 2017
 M (1; 2017)
 M (−1; 2017)
hoặc 
.
⇒
 N (−1; 2017)
 N (1; 2017)
Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là I (0; 2017) .
Câu 47. Chọn B.
Điểm M nằm trên trục Ox : M (−2;0) ⇒ d M =−2 + 0 =2

Điểm M nằm trên trục tung : d M = 0 + −

2 2
=
.
3
3
2
2
2

+
5

2
 2 
x ∈  − ;0  . Vậy min
.
=
d M d=
M (0)
3
 3 
Câu 48. Chọn D.

Trang 20/25


3
 3
Điểm M  0,  nằm trên trục Oy . Khoảng cách từ M đến hai trục là d = .
2
 2
3
3
Xét những điểm M có hoành độ lớn hơn ⇒ d = x + y > .
2
2
3
Xét những điểm M có hoành độ nhỏ hơn :
2

1
−2 x + m .
x − 3 suy ra ∆ : y =
2
Giả sử ∆ cắt (C ) tại hai điểm phân biệt A, B . Khi đó hoành độ của A, B là nghiệm của
phương trình
x ≠ 2
x+4

=
−2 x + m ⇔ 2 x 2 − (m + 3) x + 2m + 4 =
0.




x−2

h( x)

Điều kiện cần:
Để ∆ cắt (C ) tại hai điểm phân biệt thì phương trình h( x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác
Gọi đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng d :=
y

m < 5 − 4 3
m 2 − 10m − 23 > 0
∆ > 0
2 , tức là 
(*).

y
+m
 I
2
đối
xứng
nhau
qua
Để
hai
điểm
d : x − 2y − 6 =
0
A, B
m+3
3m + 3
− 2.
− 6 =0 ⇔ m =−3 (thỏa điều kiện (*)).
I ∈d ⇔
4
2
 x =−1 ⇒ y =−1
Với m = −3 phương trình h( x) = 0 ⇔ 2 x 2 − 2 = 0 ⇔ 
1 y=
−5
 x =⇒

khi

Vậy tọa hai điểm cần tìm là (1; −5 ) và ( −1; −1) .

∈
=
2
x0 + 1 

Do x0 ∈  nên
1
 x0 =0 ⇒ y0 =⇒
 x0 =
1 ⇒ y0 =
− (loại)
1 M (0;1)
2
1
 x0 =
 x0 =7 ⇒ y0 =⇒
3 ⇒ y0 =
− (loại)
1 M (7;1) .
2
Câu 52. Chọn A.
Gọi A( x0 ; y0 ) , x0 > 0 là điểm cố định cần tìm.
Ta có: y0 =− x04 + 2mx02 − 2m + 1, ∀m
 x02 −
1 0
x0 1 ( x0 > 0)
=
=
⇔ 2m( x02 − 1) + 1 − x04 − y0 = 0, ∀m ⇔ 
⇒

3x + y + 6
=
10

1
1
3x + 6 + x + 2 + =
x+2
10

1
1
.
4 ( x + 2) +
x+2
10

• Khi x + 2 > 0 :
1
1
3
1
2
Ta có 4( x + 2) +
≥ 4 dấu bằng xảy ra khi 4( x + 2) =
⇔ ( x + 2) = ⇒ x =
−
x+2
x+2
4

Gọi M  a;
−1 = a −1 +
≥2 2.
 ∈ ( C ) với a ≠ 1 ta có d = a − 1 +
a −1
a −1
 a −1 
Câu 55. Chọn B.

 a+2
Gọi M  a;
2
 ∈ ( C ) với a ≠ 2 ta có a −=
 a−2
M ( 0; −1) , M ( 4;3) .

a+2
− 1 ⇔ a −=
2
a−2

a = 0
4
. Vậy
⇔
a−2
a = 4

Câu 56. Chọn A.
Trang 22/25


+1
2
2
a −a −3
 a − 2a − 2 =
0
1
a −1
a= 1− 3
.
=
⇔
=
⇔ 
1⇔  2
a −1
2
2
0
=
a
2
a − 4 =

 a = −2

Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu là M ( 2; 4 ) ; M ( −2;0 ) .

Câu 58. Chọn C.


m 2 + 72 > 0
∆ ' > 0
Ta có y ' =6 x + 2mx − 12 . Điều kiện 
0 . Vậy m = 0 .
⇔
⇔m=
S = 0
m = 0
Câu 61. Chọn C.
2

 a 2 + a − 1 =0
a +1
 a +1 
Gọi M  a,
với
,
ta
có
∈
C
=
a
⇔
a
≠
−
2
 2

a =0 a =−2
⇔
⇔
⇔
∨
3
0
0
−2 b =
0
ab =
b =
( a + b ) − 3ab ( a + b ) − 3 ( a + b ) + 2 =
Trang 23/25


Câu 64. Chọn D.
=
 x −1 2 =
x 3
 x − 1 =−2  x =−1
3 − x −x +1+ 2
2
Ta có y =
.
=
=−1 +
⇒
⇒
 x −1 1 =


2

 a= 2 + 3
. Vậy hai điểm đó là
=⇔
3

a
=
−
2
3


Câu 66. Chọn D.
Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận. Vậy điểm cần tìm là M ( −1; 3) .
Câu 67. Chọn B.
 2a + 1 
Gọi M  a;
 ∈ ( C ) với a ≠ 1 .
 a −1 
 a 2 − 2a + 1= 2a + 1
a = 0
2a + 1
⇔ 2
⇔ a 2 − 4a = 0 ⇔ 
Ta có a − 1 =
a −1
a = 4