Bài 1 (3 điểm)Tính giá trị biểu thức
4 4 4
4 4 4 4
1 1 1 1
1+ 3 5 .......... 29
4 4 4 4
A=
1 1 1 1
2 + 4 6 .......... 30
4 4 4 4

+ + +
ữ ữ ữ ữ


+ + +
ữ ữ ữ ữ

Bài 2 (4 điểm)
a/Với mọi số a, b, c không đồng thời bằng nhau, hãy chứng minh
a
2
+ b
2
+ c
2
ab ac bc

0
b/ Cho a + b + c = 2009. chứng minh rằng
3 3 3

ABC , chứng minh

AHG đồng dạng với

MOG ?
c) Chứng minh ba điểm M , O , G thẳng hàng ?
phòng giáo dục và đào tạo kim bảng
Kiểm tra chất lợng học sinh giỏi năm học 2008 2009
Đáp án , biểu điểm, hớng dẫn chấm
Môn Toán 8
Nội dung Điểm
Bài 1 (3 điểm)
Có a
4
+
1
4
=
2
2 2 2 2
1 1 1
a a
2 2 2
a a a a

+ = + + +
ữ ữ ữ

1,0
Khi cho a các giá trị từ 1 đến 30 thì:

2
)
0,5
Mẫu thức viết đợc thành
(2
2
+2+
1
2
)(2
2
-2+
1
2
)(4
2
+4+
1
2
)(4
2
-4+
1
2
)(30
2
+30+
1
2
)(30

+ +
0,5
Bài 2: 4 điểm
ý a: 2 điểm
-Có ý tởng tách, thêm bớt hoặc thể hiện đợc nh vậyđể sử dụng bớc sau 0,5
-Viết đúng dạng bình phơng của một hiệu 0,5
- Viết đúng bình phơng của một hiệu 0,5
phòng giáo dục và đào tạo
kim bảng
Đề chính thức
kiểm tra chất lợng học sinh giỏi năm học 2008 2009
môn toán lớp 8
Thời gian 150 phút Không kể thời gian giao đề
1
- Lập luận và kết luận đúng 0,5
ý b: 2 điểm
Phân tích đúng tủ thức thành nhân tử 1,0
Rút gọn và kết luận đúng 1,0
Bài 3 : 4 điểm
*Từ 2a + b 4 và b 0 ta có 2a 4 hay a 2
1,0
Do đó A=a
2
- 2a - b 0
0,5
Nên giá trị lớn nhất của A là 0 khi a=2và b=0 0,5
* Từ 2a + 3b 6 suy ra b 2 -
2
3
a

Bài 4 : 3 điểm
- Chọn ẩn và đạt điều kiện đúng 0,25
- Biểu thị đợc mỗi đại lợng theo ẩn và số liệu đã biết(4 đại lợng) 0,25 x 4
- Lập đợc phơng trình 0,25
- Giải đúng phơng trình 0,5
- Đối chiếu và trả lời đúng thời gian của 1 ô tô 0,5
- Lập luận , tính và trả lời đúng thời gian của ô tô còn lại 0,5
Bài 5 : 6 điểm ý a : 2 điểm
Chứng minh đợc 1
cặp góc bằng nhau
1.0
G
H
O
N
M
A
B
C
Nêu đợc cặp góc
bằng nhau còn lại
0,5
Chỉ ra đợc hai tam
giác đồng dạng
0,5
ý b : 2 điểm
Từ hai tam giác
đồng dạng ở ý a suy
ra đúng tỉ số cặp
cạnh AH / OM

Thời gian làm bài 120 phút
Bài 1. Cho biểu thức: A =
5 2
3 2
x x
x x x
+
+
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tìm x để A -
0A =
c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: a) Cho a > b > 0 và 2( a
2
+ b
2
) = 5ab
Tính giá trị của biểu thức: P =
3
2
a b
a b

+
b) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng a
2
+ 2bc > b
2
+ c
2

Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
1.
2
7 6x x+ +
2.
4 2
2008 2007 2008x x x+ + +
Bài 2: (2điểm) Giải phơng trình:
1.
2
3 2 1 0x x x + + =
2.
( )
2 2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

Bài 3: (2điểm)Căn bậc hai của 64 có thể viết dới dạng nh sau:
64 6 4= +
Hỏi có tồn tại hay không các số có hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dới dạng nh trên và
là một số nguyên? Hãy chỉ ra toàn bộ các số đó.
1. Tìm số d trong phép chia của biểu thức

Câu
Nội dung
Điểm
1.
2,0
1.1
(0,75 điểm)
( ) ( )
2 2
7 6 6 6 1 6 1x x x x x x x x+ + = + + + = + + +

( ) ( )
1 6x x= + +
0.5
0,5
1.2
(1,25 điểm)
4 2 4 2 2
2008 2007 2008 2007 2007 2007 1x x x x x x x+ + + = + + + + +
0,25
( ) ( ) ( )
2
4 2 2 2 2 2
1 2007 1 1 2007 1x x x x x x x x= + + + + + = + + + +
0,25
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
1 1 2007 1 1 2008x x x x x x x x x x= + + + + + + = + + +
0,25
2.

2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4 4x x x x x
x x x x

+ + + + + = +
ữ ữ ữ ữ

(2)
Điều kiện để phơng trình có nghiệm: 0x
(2)
( )
2 2
2
2 2
2 2
1 1 1 1
8 4 4x x x x x
x x x x


+ + + + + = +

ữ ữ ữ ữ
( ) ( )
2








++
+

=
222222
2
11
:
y
4xy
A
xxyyxyx
a) Tỡm iu kin ca x, y giỏ tr ca A c xỏc nh.
b) Rỳt gn A.
c) Nu x; y l cỏc s thc lm cho A xỏc nh v tho món: 3x
2
+ y
2
+ 2x 2y = 1, hóy tỡm tt c cỏc giỏ
tr nguyờn dng ca A?
Bi 2 (4 im):a) Gii phng trỡnh :
82
44

thỡ n
5
v n luụn cú ch s tn cựng ging nhau.
Bi 4 (7 im): Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Ly mt im M bt k trờn cnh AC. T C v mt ng
thng vuụng gúc vi tia BM, ng thng ny ct tia BM ti D, ct tia BA ti E.
a) Chng minh: EA.EB = ED.EC v
ã
ã
EAD ECB=
b) Cho
ã
0
120BMC =
v
2
36
AED
S cm=
. Tớnh S
EBC
?
c) Chng minh rng khi im M di chuyn trờn cnh AC thỡ tng BM.BD + CM.CA cú giỏ tr khụng
i.
d) K
DH BC

( )
H BC
. Gi P, Q ln lt l trung im ca cỏc on thng BH, DH. Chng minh
CQ PD

a) iu kin: x


y; y

0 (1 im)
b) A = 2x(x+y) (2 im)
c) Cn ch ra giỏ tr ln nht ca A, t ú tỡm c tt c cỏc giỏ tr nguyờn dng ca A
+ T (gt): 3x
2
+ y
2
+ 2x 2y = 1

2x
2
+ 2xy + x
2
2xy + y
2
+ 2(x y) = 1

2x(x + y) + (x y)
2
+ 2(x y) + 1 = 2

A + (x y + 1)
2
= 2



1
x
2
3
y
2

=




=



+ A = 1 khi
( )
2
(x y 1) 1
2x x y 1
x y;y 0

− + =

+ =


≠ ± ≠

⇔ + + + = + +
(1 điểm)
x 126 x 126 x 126 x 126
115 104 93 82
+ + + +
⇔ + = +
x 126 x 126 x 126 x 126
0
115 104 93 82
+ + + +
⇔ + − − =
(0,5 điểm)
...⇔
x 126 0⇔ + =
x 126⇔ = −
(0,5 điểm)
b) x
2
+ y
2
+ z
2
= xy + yz + zx
⇔
2x
2
+2y
2
+ 2z
2

2009
= 3
2010

⇔
z
2009
= 3
2009

⇔
z = 3
Vậy x = y = z = 3 (0,5 điểm)
Bài 3 (3 điểm)
Cần chứng minh: n
5
– n
M
10
- Chứng minh : n
5
- n
M
2
n
5
– n = n(n
2
– 1)(n
2

v n cú ch s tn cng ging nhau. (0,75 im)
Bài 4: 6 điểm
IP
Q
H
E
D
A
B C
M
Câu a: 2 điểm
* Chứng minh EA.EB = ED.EC (1 điểm)
- Chứng minh

EBD đồng dạng với

ECA (gg) 0,5 điểm
- Từ đó suy ra
. .
EB ED
EA EB ED EC
EC EA
= =
0,5 điểm
* Chứng minh
ã
ã
EAD ECB=
(1 điểm)
- Chứng minh

- Xét

EDB vuông tại D có
à
B
= 30
o

ED =
1
2
EB


1
2
ED
EB
=
0,5 điểm
- Lý luận cho
2
EAD
ECB
S ED
S EB

=
ữ


2
2
BH BD BP BD BP BD
DH DC DQ DC DQ DC
⇒ = ⇒ = ⇒ =
0,5 ®iÓm
- Chøng minh
∆
DPB ®ång d¹ng víi
∆
CQD (cgc)
·
·
·
·
` 90
o
BDP DCQ
CQ PD
ma BDP PDC

⇒ =

⇒ ⊥

+ =


1 ®iÓm
Bài 5: (2 điểm)

P = t
2
– 2t – t + 2 + 1 = t(t – 2) – (t – 2) + 1 = (t – 2)(t – 1) + 1 (0,25đ)
- Nếu x; y cùng dấu, theo c/m câu a) suy ra t
≥
2.
⇒
t – 2
≥
0 ; t – 1 > 0
( ) ( )
t 2 t 1 0
⇒ − − ≥

P 1
⇒ ≥
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2
⇔
x = y (1) (0,25đ)
- Nếu x; y trái dấu thì
x
0
y
<
và
y
0
x
<



+ + =

2 2 2
a b c 0
a b c 2009
, tính
= + +
4 4 4
A a b c
.
2, Cho ba số x, y, z thoả mãn
x y z 3+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
B xy yz zx= + +
.
Bài 2: (2 điểm)
Cho đa thức
( )
= + +
2
f x x px q
với
p Z,q Z
. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên k để
( ) ( ) ( )
=f k f 2008 .f 2009
.
Bài 3: (4 điểm)a. Tìm các số nguyên dơng x, y thoả mãn

ã
EAD FAD=
. Chứng minh rằng:
=
2
2
BE BF AB
CE CF AC
.
Bài 7: (2 điểm)
Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy ra hai số bất kỳ và thay
bằng hiệu của chúng, cứ làm nh vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng lại. Có thể làm để trên bảng
chỉ còn lại số 1 đợc không? Giải thích.
..........................................Hết..............................................
Phòng GD-đt vũ th
10
đề chính thức
Hớng dẫn chấm môn toán 8
Bài Nội dung Điểm
1.1
Cho ba số a, b, c thoả mãn
+ + =


+ + =

2 2 2
a b c 0
a b c 2009
, tính

= + + = + + + + =
0,50
0,50
1,00
1.2
Cho ba số x, y, z thoả mãn
x y z 3+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
B xy yz zx= + +
.
2,00

( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )

= + + = + + +

= + + + = + +
+ +

= + + = + + +
ữ ữ

2
2 2
2 2
2
2
B xy z x y xy 3 x y x y

2
f x x px q
với
p Z,q Z
. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên
k để
( ) ( ) ( )
=f k f 2008 .f 2009
.
2,00
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2
2
2
f f x x f x x p f x x q
f x 2.x.f x x p.f x p.x q
f x f x 2x p x px q
f x x px q 2x p 1
f x x 1 p x 1 q f x f x 1

+ = + + + +


Thoả mãn yêu cầu bài toán khi x + 5, 3y + 1 là ớc lớn hơn 1 của 49 nên có:

x 5 7 x 2
3y 1 7 y 2
+ = =



+ = =

Vậy phơng trình có nghiệm nguyên là x = y = 2.
0,75
0,50
0,75
3.2
Cho số tự nhiên
( )
=
2009
9
a 2
, b là tổng các chữ số của a, c là tổng các chữ số của b, d
2,00
11
là tổng các chữ số của c. Tính d.
( ) ( ) ( )
( )
2009 3.2009 6027
9 3 3 6027
a 2 2 2 10 b 9.6027 54243

+
m = 1phơng trình có dạng 0 = -12 vô nghiệm.
m 1
phơng trình trở thành
2m 14
x
1 m

=

Phơng trình có nghiệm dơng
2m 14
2
1 m
m 4
2m 14
2
1 m
1 m 7
2m 14
0
1 m









Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng đờng chéo AC, trên tia đối của tia AD lấy điểm
E, đờng thẳng EB cắt đờng thẳng DC tại F. Chứng minh
AEC
đồng dạng
CAF
,
tính
ã
EOF
.
3,00
O
D
B
A
C
E
F

AEB
đồng dạng
CBF
(g-g)
2 2
AB AE.CF AC AE.CF
AE AC
AC CF
= =
=


ã
ã
EAD FAD=
. Chứng minh rằng:
=
2
2
BE BF AB
CE CF AC
.
3,00
12
A
B
C
D
FE
K
H
Kẻ EH

AB tại H, FK

AC tại K

ã
ã
ã
ã
BAE CAF; BAF CAE = =

0,25
7
Trên bảng có các số tự nhiên từ 1 đến 2008, ngời ta làm nh sau lấy ra hai số bất kỳ
và thay bằng hiệu của chúng, cứ làm nh vậy đến khi còn một số trên bảng thì dừng
lại. Có thể làm để trên bảng chỉ còn lại số 1 đợc không? Giải thích.
2,00
Khi thay hai số a, b bởi hiệu hiệu hai số thì tính chất chẵn lẻ của tổng các số có trên
bảng không đổi.
Mà
( )
2008. 2008 1
S 1 2 3 ... 2008 1004.2009 0mod 2
2
+
= + + + + = =
;
1 1mod2

do vậy trên bảng không thể chỉ còn lại số 1.
1,00
1,00
Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: .............................................................. Số báo danh: ..........................
pgd &đt bỉm sơn đề thi học sinh giỏi lớp 8
trờng thcs xi măng năm học 2008-2009
môn toán (150 phút không kể thời gian giao đề)
13
Câu 1(5điểm) Tìm số tự nhiên n để :A=n
3
-n

b
aab
a
biết abc=1
b) Với a+b+c=0 thì a
4
+b
4
+c
4
=2(ab+bc+ca)
2
c)
c
a
a
b
b
c
a
c
c
b
b
a
++++
2
2
2
2

EFCDAB
211
=+
c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE.Nêu cách dựng dờng thẳng đI qua K và chia đôI diện tích tam giác
DEF.
-----------------------------------------------hết------------------------------------------------------------------
pgd thị xã gia nghỉa đề thi phát hiện học sinh giỏi bậc thcs năm học
2008-2009
Môn : toán ( 120 phút không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (1 đ)
Cho biết a-b=7 tính giá trị của biểu thức: a(a+2)+b(b-2)-2ab
14
Bài 2: (1 đ)
Chứng minh rằng biểu rhứ sau luôn luôn dơng (hoặc âm) với một giá trị của chử đã cho :
-a
2
+a-3
Bài 3: (1 đ)
Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì tứ giác đó là hình bình hành.
Bài 4: (2 đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
584
2
2
+
xx
Bài 5: (2 đ) Chứng minh rằng các số tự nhiên có dạng 2p+1 trong đó p là số nguyên tố , chỉ có một số là
lập phơng của một số tự nhiên khác.Tìm số đó.
Bài 6: (2 đ) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD , đờng chéo AC vuông góc với cạnh bên CD,
CADBAC
=




+


1
2
1:
1
2
1
1
223
x
x
xxx
x
x
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C đợc Xác định.
b) Rút gọn C.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức C đợc xác định.
Bài 10 (3 đ) Cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) , đờng cao AH. Trên tia HC lấy HD =HA, đờng
vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) chứng minh AE=AB
b) Gọi M trung điểm của BE . Tính góc AHM.
------------------------------------------------hết---------------------------------------------------------------
15
®Ò kiÓm tra lÇn 1 ®éi tuyÓn to¸n 8
Thêi gian 120phót

b
ba
b
ba
aM
Bài 2: (4 điểm)
a/ Cho
cba
z
cba
y
cba
x
+
=
+
=
++ 4422
chứng minh rằng:
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+
=
+
=
++


B = 60
0
;

C = 150
0
; AD = 12cm. BC là cạnh hình vuông có diện
tích 108cm
2
. M là một điểm ở miền trong của tứ giác sao cho MBCD là hình bình hành.
a/ Chứng minh MD ; MB lần lợt là phân giác của

CDA và

CBA.
b/ Gọi MH là đờng cao của tam giác AMD. Chứng minh tam giác AMD vuông tại M và tam giác AMB
cân tại M.
c/ Gọi N là giao điểm của BM và AD. Chứng minh N là trung điểm của AD,

ABN =

MDA và

ABC là tam giác đều.
Bài 5: (2điểm)
Cho hình vuông ABCD. M, N lần lợt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Gọi I là giao điểm của CM và
DN. Chứng minh AI = AD.
17
18

−
1
3
−
y
x
=
3
)(2
22
+
−
yx
yx
Bài 3 (5đ):
Giải phương trình:
1,
2001
24
2
−
x
+
2003
22
2
−
x
=
2005

Bài 1:
1) Rút gọn biểu thức:
A =
2
1
6 5
5
n n
x x
x x
+
+

với /x/ = 1
2) Cho x, y thỏa mãn: x
2
+ 2y
2
+ 2xy 4y + 4 = 0
Tính giá trị biểu thức:
B =
2
7 52
( )
x xy
x y
x y
+



2
= (8x + 4).(x
2
+ 8x + 7)
2) Cho a, b, c

R
+
và a + b + c = 1.
Chứng minh rằng:
1 1 1
9
a b c
+ +

20
Đề số 1
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức








+
+


y
y
y
yy
31
2
19
6
3103
1
22

+

=
+
b)
2
2
1
.
3
6
1
3
2
4
3
2


a)
54
2
+
xx
b)
)2()()( cbabccaacbaab
+++
2) Giải phơng trình
5
4
127
1
65
1
23
11
2222
=
++
+
++
+
++
+
+
xxxxxxxx
Câu II: (2 điểm)
1) Xác định a, b để da thức
baxxxxf

c
accba
a
P

+

+

=
2) Cho ba số a, b, c thoả mãn
accbba

,,
.
CMR:
0
))(())(())((
222
=
++

+
++

+
++

bcac
abc

22
baba
baba
Q
++
+
=
Đề số 3
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

)()()()()()(
222
babacacacbcbcba
+++++
b) Cho a, b, c khác nhau, khác 0 và
0
111
=++
cba
Rút gọn biểu thức:
abccabbca
N
2
1
2
1
2
1
222

Bài 5: (1điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
34553
22
=+
yx
23
Đề số 4
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử
a) x
5
+ x +1
b) x
4
+ 4
c) x
x
- 3x + 4
x
-2 với x > 0
Bài 2 : (1,5điểm)
Cho abc = 2 Rút gọn biểu thức:
22
2
12
++
+
++
+

để cho AEMF là hình vuông.
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì :

5
2n+1
+ 2
n+4
+ 2
n+1
chia hết cho 23.
24
Đề số 5
Bài 1: (2điểm)
Cho biểu thức:
3011
1
209
1
127
1
65
1
2222
+
+
+
+
+
+

Cho x, y, z khác 0 thoả mãn:
0
111
=++
zxyzxy
Tính
xy
z
zx
y
yz
x
N
222
++=
Đề số 6
Câu I: (5 điểm)
Rút gọn các phân thức sau:
1)
143
1
2
+
++
xx
xxx
2)
3)2(18)1(3
30)1(11)1(
24