4
Chơng 1
Các bất đẳng thức l
Các bất đẳng thức l
ợng giác
ợng giác
cơ bản trong tam giác và ứng dụng
cơ bản trong tam giác và ứng dụng
Trong chơng này, chúng tôi chọn một số bài toán vàê bất
đẳng thức trong tam giác và trình bày lời giải. Trong qua trình
trình bày lời giải, chúng tôi có áp dụng một số bất đẳng thức kinh
điển và một số bất đẳng thức cơ bản trong tam giác.
1.1. Một số bất đẳng thức kinh điển
1.1.1. Bất đẳng thức Cô - si. Với n số không âm a
1
, a
2
, . . . , a
n
ta có bất
đẳng thức

=
=



1
1
1
4

2
2 2
1 1 1= = =


ữ ữ ữ


n n n
i i i i
i i i
a b a b
,
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
,
j
i
i j
a
a
b b
=

i, j = 1, 2, . . ., n với i j.
1.1.3 bất đẳng thức Trêbsêp. Cho hai dãy số đơn điệu cùng chiều a
1
a
2
. . . a
n

,

i, j = 1, 2,..., n với i j.
1.1.4 Bất đẳng thức Jen - sen. Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị lõm
trong khoảng (a; b). Khi đó ta có bất đẳng thức
1 2
1 2
( ) ( ) . . . ( )
...
,
+ + +
+ + +


ữ

n
n
f x f x f x
x x x
f
n
n


x
i

(a; b). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x
i

.
1.2.4
2 2 2
sin A + sin B + sin C



9
4
.
1.2.5
sinA + sinB + SinC



3 3
3
+
.
1.2.6
A B C
sin + sin + sin
2 2 2



3
2
.
1.2.7

1.3 ứng dụng.
Trong mọi tam giác chúng ta có một số bài toán về bất đẳng thức liên
quan đến số đo của các góc của tam giác.
Bài toán 1. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:
1) sinA + sinB + sinC
A B C
cos + cos + cos
2 2 2
.
2) cosA + cosB + cosC
A B C
sin + sin + sin
2 2 2
.
3) cotgA + cotgB + cotgC
A B C
tg + tg + tg
2 2 2
.
4) sinA.sinB.sinC
A B C
cos + cos + cos
2 2 2
.
5) cosA.cosB.cosC
A B C
sin .sin .sin
2 2 2
.
Chứng minh. 1) Ta có

2
+
C
A B
,
và
cos cos 2sin
2
+
A
B C
,
và
cos cos 2sin
2
+
B
C A
.
Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác
ABC là tam giác đều.
3) Tính toán đơn giản ta có các bất đẳng thức

cot cot 2
2
+
C
gA gB tg
,
và

A B C A B C
.
Do đó
sin .sin .sin cos .cos .cos
2 2 2 2 2 2

A B C A B C
và dấu bằng xảy ra khi và chỉ
khi tam giác ABC là tam giác đều.
5) Nếu tam giác ABC không nhọn thì cosA.cosB.cosC 0, suy ra bất đẳng thức
đúng. Giả sử tam giác ABC là nhọn. Khi đó
0 < cosA.cosB
2
sin
2
C
,

ễn thi i hc lng giỏc
8
và 0 < cosB.cosC
2
sin
2
A
,
và 0 < cosC.cosA
2
sin
2

A B C
,
ta có
2 2 2
7
sin sin sin sin .sin .sin
2 2 2 2 2 2 8
+ + +
A B C A B C
,

1 cos 1 cos 1 cos 7
sin .sin .sin
2 2 2 8 2 2 2

+ +
A B C A B C
3 (cosA + cosB + cosC)
7
2sin .sin .sin
4 2 2 2

A B C
3
1 4sin .sin .sin
2 2 2

ữ

+

và áp
dụng bất đẳng thức cơ bản cosA + cosB + cosC
3
2
và công thức
cosA + cosB + cosC =
1 4sin .sin .sin
2 2 2
+
A B C
, ta có
sinA.sinB + sinB.sinC + sinC.sinA
3
4
+ cosA+ cosB + cosC.
Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
tam giác ABC là tam giác đều.
3) Tính toán đơn giản ta có
cotgA + cotgB + cotgC =
2 2 2
sin sin sin
2sin .sin .sin
+ +A B C
A B C
áp dụng bất đẳng thức cơ bản
2 2 2
9
sin sin sin
4
+ + A B C

khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với

2 2 2 2 2 2
2 2 2
+ + + +

sin A.sin B sin B.sin C sin C.sin A sin A sinB sinC
sin A.sinB.sinC
sin A.sin B.sin C
(sinAsinB sinBsinC)
2
+(sinBsinC sinCsinA)
2
+(sinCsinA sinAsinB)
2
0.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
2) Ta có cotgA + cotgB =
sinC
sin AsinB
,
và cotgB + cotgC =
sin A
sinBsinC
,
và cotgC + cotgA =
sin
sin sin
B
C A

3( sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C) (sinA + sinB + sinC)
2

(sinA sinB)
2
+ (sinB sinC)
2
+ (sinC sinA)
2
0.
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam
giác ABC là tam giác đều.
Bài toán 4. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:
1)
A B C
sin .sin .sin
2 2 2

1 A- B B - C C - A
cos .cos .cos
8 2 2 2

ễn thi i hc lng giỏc
11

cos .cos .cos
sinA.sinB.sinC
2 2 2 2 2 2
A B C A B B C C A
cos .cos .cos .cos .cos .cos
8sinA.sinB.sinC

8
2 2 2 2 2 2
+ + + A B B C C A A B B C C A
sin sin sin cos cos cos
.
(sinA + sinB)(sinB + sinC)(sinC + sinA).
Vậy bất đẳng thức đợc chứng minh.
2) Ta có
2 2 2 2 2 2
A B B C C A A B C
cos ,cos ,cos ,sin , sin , sin
> 0. áp dụng bất
đẳng thức Côsi, ta có
3
2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2 2

+ +
B C C A A B B C C A A B
cos cos cos cos .cos .cos
A B C A B C
sin sin sin sin .sin .sin


1 B - C C - A A - B
1- cos cos cos
4 2 2 2
Chứng minh. 1/ Vì
0 ,
2 2 2

< <
A B
nên
A B
cos , cos 0
2 2

. áp dụng bất
đẳng thức Côsi ta có
A B
cos cos
2 2
+ 2
B
A
cos
cos
2
2

. (1)
Khi đó (1)

(4) xảy ra khi và chỉ khi C = A.
Từ (2), (3), (4) suy ra
1 A 1 B 1 C
tg (sinB + sinC) + tg (sinC+sinA) + tg (sinC+sinB)
2 2 2 2 2 2

ễn thi i hc lng giỏc
13

A B B C C A
2 sin sin + sin sin + sin sin
2 2 2 2 2 2

ữ

(5)
Tính toán đơn giản ta có
(5)

cosA + cosB + cosC
A B B C C A
2 sin sin + sin sin + sin sin
2 2 2 2 2 2

ữ

.
Do đó ta có bất đẳng thức cần chứng minh và dấu thức xảy ra khi và chỉ
khi tam giác ABC là tam giác đều.
2/ Theo bài 4 phần 1, ta có

Chứng minh. Xét hàm f(x) = tgx với x (0;
2

).
Ta có f (x) =
3
2sin
0
cos
<
x
x
, x (0;
2

).
Vậy hàm f(x) là lồi trên (0;
2

). Do đó f(x) + f(y)
x + y
2tg
2
, với mọi x,
y
0;
2


ữ

2 2 2
.
Chứng minh. 1) áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
2 2 2 2 2 2
3
B - C C - A A - B B - C C- A A - B
cos cos cos 3 cos cos cos
2 2 2 2 2 2
+ +
Theo bài 4 phần 1 ta có
8
2 2 2
A B C
sin sin sin

2 2 2
A B B C C A
cos cos cos
và hơn nữa
1
2 2 2 8

A B C
sin .sin .sin
. Từ đó suy ra
2 2 2 3 3 3 3
B-C C-A A-B A B C
cos cos cos 8 sin sin sin
2 2 2 2 2 2


2
C
, z = C -
2
A
. Khi đó x + y + z =
2

và
cosx + cosy + cosz = 4
x y y z z x
cos cos cos
2 2 2
+ + +
.
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
cosx + cosy + cosz 4cosx cosy cosz.

ễn thi i hc lng giỏc
15
Hơn nữa ta có
2
2
2
x + y
cos cosxcosy
2
y+ z
cos cosycosz
2

2 2 2
x y y z z x
cos cos cos
2 2 2
+ + +
16cos
2
xcos
2
ycos
2
z.
Do đó ta nhận đợc bất đẳng thức cần chứng minh .
3/ Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
(1 - cosA)(1 - cosB)(1 - cosC) cosAcosBcosC. (*)
Nhận xét rằng (1 - cosA)(1 - cosB)(1 - cosC) > 0 .
Do đó nếu tam giác ABC không nhọn thì cosAcosBcosC 0.
Vậy bất đẳng thức đúng .Vậy chúng ta chỉ cần xét tam giác ABC là nhọn.
Tính toán ta có
(*) tgA tgB tgC
A B C
cotg cotg cotg
2 2 2
tgA + tgB + tgC
A B C
cotg +cotg + cotg
2 2 2
.
áp dụng bổ đề ta có
C

.
2) 3(cosA + cosB + cosC )

2( sinA sinB + sinB sinC + sinC sinA).
3)
( 3-sinA)( 3-sinB)( 3-sinC)
sinA sinB sinC.
Chứng minh. 1) áp dụng công thức
cosA + cosB + cosC =
1 4sin .sin .sin
2 2 2
+
A B C
,
suy ra
5 A B C 5 cosA +cosB+ cosC-1
+sin sin sin = +
8 2 2 2 8 4
=
3 1
+ (cosA +cosB+cosC)
8 4
.
Theo chứng minh 1), bài 5, ta có
A B B C C A 1
sin sin +sin sin +sin sin (cosA +cosB+cosC)
2 2 2 2 2 2 2

Do đó
A B B C C A 1 1


ễn thi i hc lng giỏc
17
Suy ra
3 3 3 A
-1 = + tg -1
A
sinA 2 2
2tg
2

3 A 1 1
= tg + -1
A A
2 2
2 3tg 3tg
2 2

+
ữ
ữ3 A 1 1 1
2 tg + -1=
A A A
2 2
2 3tg 3tg 3tg
2 2 2


tg tg tg
2 2 2
3 3

. Từ đó ta nhận đợc bất đẳng thức và kiểm tra
đợc rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 8. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:
1) 1 + cosA cosB cosC


3
sinA sinB sinC.
2)
2 2 2 2 2 2
26
C C
A B A B
tg + tg + tg - tg tg tg
2 2 2 2 2 2
27
.
3) 3[sinA sin2A + sinB sin2B + sinC sin2C ]


( sinA + sinB + sinC )(sin2A + sin2B + sin2C ).
Chứng minh. 1) Đặt x =
A
tg
2
, y =

z
2
+ z
2
x
2

4
3
. Hơn nữa áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

ễn thi i hc lng giỏc
18

2 2 2
3
xy + yz +zx
x y z
3

.
Suy ra
4
3

4 3
xyz. Do đó 1 + x
2
y
2

2 2 2
3
A B B C C A A B C
tg tg + tg tg + tg tg 3 tg tg tg
2 2 2 2 2 2 2 2 2

.
Suy ra
2 2 2
A B C 1
tg tg tg
2 2 2 27

. Cuối cùng ta có
2 2 2 2 2 2
A B C A B C
tg + tg + tg tg tg tg
2 2 2 2 2 2

=
2
2 2 2
A B C A B C 26
tg +tg +tg - tg tg tg - 2
2 2 2 2 2 2 27


ữ

.

2sin2C- sin2B- sin2A sin2C - 4sinC cosA cosB > 0





=
Do đó ta nhận đợc bất đẳng thức cần chứng minh .Hơn nữa dấu đẳng thức xảy
ra khi và chỉ khi tam giác ABC là đều
Bài toán 9. Trong mọi tam giác ABC ta luôn có
1)


ữ
ữ

2
3
2 2 2
1 1 1 1 s
+ + 3 1+
sin A sin B sin C p p
.
2) cosA + cosB + cosC


2p- a 2p -b 2p -c
+ +
2p+a 2p+b 2p+c
.

2
p(p- b)
sin B
và

2
1 (p- a)(p- b)
= 1+
sin C p(p- c)
.
Do đó
2 2 2
1 1 1 (p- b)(p- c) (p- a)(p- c) (p- a)(p- b)
+ + = 3+
sin A sin B sin C p(p- a) p(p- b) p(p- c)
+ +
.

ễn thi i hc lng giỏc
20
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
2
3
(p- b)(p- c) (p- a)(p- c) (p- a)(p- b) 3 S
p(p- a) p(p- b) p(p- c) p p
+ +
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
2) Ta có
2p - a 2p - b 2p - c b + c c + a a + b

Hơn nữa ta luôn có
2
(a+b+c)
3
9R
2
. Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là đều.
Tiếp theo , chúng ta có một số bài toán về hằng đẳng thức trong tam
giác có liên quan độ dài các cạnh, diện tích, bán kính các đờng tròn ngoại
tiếp và nội tiếp và số đo các góc của tam giác.

ễn thi i hc lng giỏc
21
Bài 10. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:
1/
C A B
absin +bcsin +casin
2 2 2

2 3S
.
2/

ữ

3
2 2 2
a +b +c
cotgA+cotgB+cotgC

2 2 2
+ +

2 3
.
áp dụng bất đẳng thức Cô - si ta có
1 1 1
A B B
cos cos cos
2 2 2
+ +

9
A B C
cos cos cos
2 2 2
+ +
.
Hơn nữa ta có bất đẳng thức cơ bản
A B C 3 3
cos cos cos
2 2 2 2
+ +
.
Suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tam giác
ABC là tam giác đều.
2/ áp dụng định lý hàm số cosin, ta có
cotgA =
2 2 2
b c a

.
Hơn nữa a
2
= b
2
+ c
2
2bccosA 2bc(1 cosA).
Tính toán đơn giản ta có
2
a
A
tg
2
4S,
2
b
B
tg
2
4S,
2
c
C
tg
2
4S.
Do đó
2 2 2
a b c

=
.
Suy ra
R 1
2
A B C
r
sin sin sin
2 2 2
=
.
Vậy R 2r. Do đó
A B C
abc.tg tg tg
2 2 2
8r
3
. (2)
Từ (1) và (2), ta nhận đợc
A B C
atg btg ctg
2 2 2
+ +
6r
Hơn nữa
2 2
r S 2absin C A B C
tg tg tg
p p (a b c) 2 2 2
= = =


( ) ( ) ( )
2 2 2
a 1 3 cot gA b 1 3 cot gB c 1 3 cot gC + +
=
2 2 2 2
4R sin A(1 3 cot gA) 4R sin B(1 3 cot gB)
+
2 2
4R sin C(1 3 cot gC)+
=
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
4R sin A 1 3 cot gA sin B 1 3 cot gB sin C 1 3 cot gC

+ +

=
( )
2 2 2 2
4R sin A sin B sin C 3 cosAsin A cosBsin B cosCsin C

+ + + +

=
( )
2 2 2 2
3
4R sin A sin B sin C sin 2A sin 2B sin 2C
2

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
2/ Ta có
2 2 2
A B C
a cos bcos ccos
2 2 2
+ +
=
1 cosA 1 cos B 1 cosC
a b c
2 2 2
+ + +
+ +

= p +
1
R(sin 2A sin 2B sin 2C)
2
+ +
= p + 2RsinA.sinB.sinC.
Do đó bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
S S 3S
r R r
+
R 2r

sin sin sin
2 2 2
A B C



2
4 3S + 4p
.
Chứng minh.1)Ta có
1 1 1 1 1 1
+ + 2 + +
a + b -c a +b-c a + b-c p -c p-a p-b

ữ

=
.(1)
áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
3
1 1 1 1
+ + 3
p-c p-a p-b (p-a)(p-b)(p-c)

và
(p - a) + (p - b) + (p - c)
3
3 (p-a)(p-b)(p-c)
.
Suy ra
1 1 1
+ +
p-c p -a p-b

ữ

khi và chỉ khi tam giác ABC là tam giác đều.
2) Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với
35( a
2
+ b
2
+ c
2
) 9( a + b + c )
2
+
72abc
a + b + c
.

ễn thi i hc lng giỏc
25
áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-sky ta có
27( a
2
+ b
2
+ c
2
) 9( a + b + c )
2
. (4)
Và áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
72abc
a + b + c

4( ab + bc + ca )
2
4 3 +(a + b+c)
. (6)
áp dụng công thức
2 2 2
a +b +c = 4S(cotgA +cotgB+cotgC)
1 1 1
ab+ bc+ca = 2S + +
sinA sinB sinC





Do đó bất đẳng thức (6) tơng đơng với
1 1 1
4S + + 4 3S+ 4S(cotgA +cotgB+cotgC)
sinA sinB sinC

. (7)
Tính toán đơn giản bất đẳng thức (7) tơng đơng với
A B C
tg + tg + tg 3

r + p + 4Rr.
Chứng minh. 1) Do a, b, c là ba cạnh của tam giác ABC nên
(a - b - c)(a - b + c)(a + b - c) = (a - b - c)[a
2
- b
2
- c
2
+ 2bc]
= a
2
( a - b - c ) + b
2
(b + c - a) + c
2
(b + c - a) + 2bc(a - b - c) < 0.
Suy ra a(c + a)(a + b) + b(a + b) + c(b + c)(c + a) + 3abc
< 2(a + b)(b + c)(c + a).
Vậy ta nhận đợc bất đẳng thức
a b c 3abc
+ + + < 2
b+c c+a a + b (a + b)(b+ c)(c+a)
.
2) áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có
ab 1
a + b 2
bc 1
b+c 2
ca 1
c+a 2

.
Ta cũng có
2
ab+bc +ca (a + b +c)
2 6

. (2)

ễn thi i hc lng giỏc
27
Từ (1) và (2) ta nhận đợc bất đẳng thức. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
tam giác ABC là đều.
Tiếp theo, áp dụng định lý hàm số sin
a + b + c = 2R(sinA + sinB + sinC)
3 3R
.
áp dụng công thức Hêrông và bất đẳng thức Côsi, ta có
2
abc
S = p (p-a)(p-b) (p-b)(p -c) (p-c)(p-a) p
8

.
Do đó
2
2
abc
p
8 S 8 abc
8

2
. Suy ra

2
2 2
2
2r
a 2r(p-a)
p-a
=
r
2R r +(p-a)
1 +
(p-a)
=
.
Do đó ta nhận đợc
a
3
- 2pa
2
+ (p
2
+ r
2
+ 4Rr)a - 4pRr = 0.
Tơng tự ta có
b
3
- 2pb

2
+ r
2
+ 4Rr.
Hơn nữa ab + bc + ca a
2
+ b
2
+c
2
.
Vậy ta nhận đợc bất đẳng thức. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác
ABC là tam giác đều.
Bài 14. Trong mọi tam giác ABC ta có các bất đẳng thức sau:
1)
+ + +
+ +
a b b c c a
l l l l l l
c a b

3 3
.
2) 36r
2
ab + bc + ca 9R,
3)
+ +
c a b
ab bc ca

=
A B C
2 cos cos cos
2 2 2

+ +
ữ

.
Theo bất đẳng thức cơ bản, ta có
A B C 3 3
cos cos cos
2 2 2 2
+ +
. Vậy ta nhận đợc
bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC là
tam giác đều.
2) áp dụng các công thức
A B C
r 4R sin sin sin
2 2 2
=
,
và a =2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC, Ta có 36r
2
ab + bc + ca
tơng đơng với sinAsinB + sinBsinC + sinCsinA

2 2 2
A B C