Trường Đại học Công nghiệp thành phố Hồ Chí Minh
Khoa Công nghệ Cơ khí

CHƯƠNG I:
NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Thời lượng: 6 tiết (2 buổi)


2

Các tình huống tối ưu hóa trong thiết kế Cơ khí

h

a
a
V  1 dm  S  min
3


3

Các tình huống tối ưu hóa trong thiết kế Cơ khí

Cho dầm với mặt cắt hình tròn đặc với đường kính d, được
làm từ vật liệu có khối lượng riêng ρ. Chiều dài dầm là L.
Tìm đường kính d để khối lượng dầm là tối thiểu, biết tần số
dao động riêng thứ nhất của nó không được vượt quá giá trị
f



Để hàm f(X) nhỏ nhất

 x1 
 
 x2 
Tìm X   
 
x 
 n

Để hàm f(X) nhỏ nhất

và phải thỏa mãn các
điều kiện ràng buộc

5


Phát biểu của một vấn đề tối ưu hóa

6


Phát biểu của một vấn đề tối ưu hóa
- Thường là:
• Kích thước của các kết cấu (dài, góc)
• Các thuộc tính vật liệu (khối lượng, nhiệt độ, …)
- Giá trị của các tham biến thường nằm trong 1 khoảng giới hạn
- Tham biến có thể là một số thực, rời rạc, số nhị phân, số
nguyên



Tính lồi lõm (Convexity)

11


Tính lồi lõm (Convexity)

12

Khái niệm lồi – lõm quan trọng để
xác định hàm số chỉ có 1 giá trị cực
tiểu. Một hàm lồi sẽ có 1 cực tiểu
toàn cục. Nếu hàm không lồi thì cực
trị có thể chỉ là địa phương.

Cực trị địa
phương

Cực trị toàn cục

Hàm số có nhiều hơn 1 cực đại và
cực tiểu gọi là hàm đa phương thức
(Multimodal function)


13

Cực tiểu toàn

theo cực trị toàn cục
do bị các ràng buộc kỹ
thuật khác từ chối.


Tính lồi lõm (Convexity)
Nếu f(x) là hàm lồi thì –f(x) sẽ là hàm lõm

Chính vì vậy ta có:

f  x   min   f  x   max

15


Đạo hàm (độ dốc) của hàm số f(x)
Tiếp tuyến

16

Phương của độ dốc thể hiện sự
thay đổi giá trị của hàm số một
cách lớn nhất. Độ dốc cung cấp
thông tin cần thiết về phương
hướng tìm kiếm cực trị (cực đại
hoặc cực tiểu) địa phương của
hàm số.
Trong hầu hết các bài toán tối ưu,
khi mà hàm số f(x) là phi tuyến thì
đạo hàm (độ dốc) thường được


f  x  , x  x1 , x2 ,
 f 
 x 
 1
 f 


f  x    x2 





f


 xn 

, xn


Tiếp tuyến và độ dốc của hàm 2 biến

20

x3  f  x1 , x2   sin  x1  x2 

Giao tuyến giữa các mặt phẳng song song với mặt phẳng x1x2 với bề mặt hàm số
sẽ tạo ra các đường đồng mức, mà ở đó giá trị của hàm số tại mọi điểm trên

 x
 1
 f 2
 J    x1
mxn


 f m
 x1

f1
x2
f 2
x2
f m
x2

Đối với các bài toán tối ưu hóa có ràng buộc, có thể
f1  việc di chuyển theo hướng độ dốc sẽ dẫn đến việc di
xn  chuyển vào vùng không hợp lệ (infeasible region).

f 2  Trong trường hợp như vậy, người ta có thể di chuyển
theo một số hướng tìm kiếm khác, và khi đó ta sẽ cần
xn 
 biết tốc độ thay đổi giá trị của hàm số theo những
 hướng đó.

f m  Đạo hàm định hướng (The directional derivative) sẽ
xn  cung cấp thông tin về vận tốc thay đổi giá trị tức thời
của hàm số theo một hướng nhất định.

 2 f

2

x
1

 2 f

H

   x2x1


 2 f
 x x
 n 1

2 f
x1x2
2 f
x22
2 f
xn x2

1. Ma trận Hessian là một ma trận đối xứng
2. Ma trận Hessian phải dương tại điểm cực tiểu của hàm số
3. Ma trận Hessian phải âm tại điểm cực đại của hàm số

2 f 