MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU...........................................................................................1
I..1 Lý do chọn đề tài........................................................................1
I..2 Mục đích nghiên cứu..................................................................1
I..3 Phương pháp nghiên cứu .........................................................1
II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU............................................................1
II..1Sơ lược lịch sử hình thành khái niệm xác suất........................1
II..2Các cách định nghĩa khái niệm xác suất..................................7
II..3Phân tích sách giáo khoa
thí điểm phân ban KHTN lớp 11.............................................9
II..4Thiết kế tình huống
dạy học định nghĩa thống kê của xác suất...............................14
1
KHÁI NIỆM XÁC SUẤT TRONG DẠY HỌC TOÁN Ở TRƯỜNG
PHỔ THÔNG
I. MỞ ĐẦU
I.1.Lý do chọn đề tài
Lý thuyết xác suất ngày nay đã trở thành một ngành toán học lớn, chiếm
một vị trí quan trọng cả về mặt lý thuyết lẫn thực hành. Đặc biệt lý thuyết xác
suất cùng với khoa học thống kê đã trở thành một lĩnh vực quan trọng trong đời
sống
Ở nước ta, xác suất mới được đưa vào chương trình toán phân ban thí điểm
ở lớp 11(năm 2005-2006). Đây là phần khá mới mẻ lại rất thú vị vì liên quan đến
thực tế cuộc sống. Hơn nữa, sau một vài năm dạy thí điểm ở trường phổ thông,
một số giáo viên có ý kiến thắc mắc rằng “Tại sao phải dạy định nghĩa xác suất
bằng tần suất?”. Vì thế em chọn đề tài này để nghiên cứu chương trình phục vụ
cho công việc giảng dạy của em sau này và cũng là để trả lời cho thắc mắc trên.
I.2.Mục đích nghiên cứu
∗ Tìm hiểu đặc trưng khoa học luận của khái niệm xác suất.
∗ Các cách định nghĩa xác suất. Điều kiện để sử dụng các định nghĩa
đó.

với 56 dạng điểm và việc hoán vị mỗi dạng điểm đã chứng tỏ rằng tổng cộng có
đến 216 cách rơi 3 súc sắc.” (trích theo Vũ Như Thư Hương, trang 11) hay “một
trích đoạn khác cũng khẳng định: sự xuất hiện của các dạng điểm ứng với mỗi
một trong 16 kiểu tổng các điểm là không đều nhau.” . Mặt khác, vấn đề đặt ra là
tại sao khả năng xảy ra của tổng 10 hay 11 lớn hơn khả năng xảy ra tổng của 9
hay 12? (Trích theoVũ Như Thư Hương, tr.11).
Như vậy là ngay ở thế kỷ VIII, vấn đề về tính toán cơ hội đã được đặt ra
trong các trò chơi may rủi.
 Một bằng chứng nữa cho sự nảy sinh nhu cầu tính toán cơ hội là bài
toán các điểm đầu tiên được Luca Pacioli (1445-1509) đưa ra vào năm
1494, trong tác phẩm Summa de arithmetica geometric proportioniet
proportionalita:
“Một lữ đoàn chơi bóng quần. Mỗi cú trúng được 10 điểm và được 60
điểm thì được xem là thắng. Tiền đặt cược trò chơi là 10 đồng đu-ca. Một tai nạn
bỗng xảy ra buộc các binh lính phải dừng ván đang chơi khi phe thứ nhất đã
được 50 điểm và phe thứ hai được 20 điểm. Bài toán đặt ra là phải trả lại cho
mỗi phe bao nhiêu phần của số tiền đặt cược?”
(Trích theo Henry, 2004, tr.5).”
“Giải pháp của Pacioli là chia tiền cược theo tỉ lệ thuận với số điểm của
hai phe. Nhưng về sau, trong tác phẩm Liber de lulo aleae, Jérôme Cardan đã
chứng tỏ rằng chia như vậy là sai và ông cho là phải dựa vào số ván mà họ có thể
được chơi nữa. Thế nhưng giải pháp mà Cardan đưa ra cũng bị Tartaglia
(1499-1557) bác bỏ. Điều đáng lưu ý là trong các tính toán của minh Cardan đã
chú ý đến vấn đề đồng khả năng”.
(Trích theo Vũ Như Thư Hương,2005, tr.12) .
 Trở lại với trò chơi tung súc sắc, có một bài toán được Grand de
Toscane đặt lại cho Galilée vào năm 1620:
“Tại sao kinh nghiệm của người chơi lại chỉ ra rằng cá cược tổng bằng 10
hay 11 thì có lợi thế hơn là tổng bằng 9 hay 12 (27 so với 25) trong khi mỗi một
trong bốn tổng này đều có cùng số dạng (6)?” (trích theo Henry,2004, tr.5).”

n
ba )( +
để giải bài toán. Sau đó, trong một lá thư gửi Fermat (ngày 24/8/1654),
Pascal còn nói đến tổ hợp khi chỉ ra tỉ lệ chia tiền cược cho hai người chơi: “…
có bao nhiêu tổ hợp làm cho người thứ nhất thắng cuộc và có bao nhiêu cho
người thứ hai thì chia tiền theo tỉ lệ này…”
Trong khi đó, Fermat đã sử dụng một phương pháp khác: ông đã tưởng
tượng là trò chơi tiếp tục với những ván giả nhằm đạt đến số ván cần chơi để xác
định được người chiến thắng, rồi sử dụng các tổ hợp để liệt kê các kết quả thuận
lợi có thể có của mỗi người và ông chia tiền cược theo tỉ lệ đó. Cách làm đó
được ông giải thích như sau: “…việc giả tưởng mở rộng trò chơi này đến một số
ván nào đó chỉ nhằm làm cho qui luật dễ đi, và (theo cảm tính của tôi) sẽ khiến
cho tất cả các sự ngẫu nhiên bằng nhau, hoặc dễ hiểu hơn là rút gọn tất cả các
phân số về cùng mẫu số”.
(trích Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.14)
Theo Henry, cả hai ông đều đã sử dụng đến đại số tổ hợp và đều thừa nhận
giả thiết “đồng khả năng” khi giải quyết bài toán trên. Mặc dù vậy, hai ông vẫn
chưa đưa ra được một thuật ngữ nào để chỉ tỉ số mà họ dựa vào đó để chia tiền
cược (tỉ lệ đó là tiền thân của xác suất sau này).
 Do cả Pascal và Fermat đều không xuất bản cuốn sách nào nói về các
tính toán “xác suất” của mình nên đến năm 1657, khi Christian
Huygens xuất bản cuốn sách Lý thuyết trò chơi súc sắc, người ta mới
biết về phép tính mới này. Tuy vây, thuật ngữ “xác suất” vẫn chưa
xuất hiện và Huygens đã sử dụng từ “cơ hội” để chỉ “xác suất”:
“Dù trong các trò chơi thuần ngẫu nhiên, các kết quả có không chắc đi nữa
thì cơ hội mà người chơi thắng cuộc hay thua cuộc đều có giá trị xác định”
 Phải đến năm 1662, trong Nghệ thuật tư duy của Antoine Arnauld và
Pierre Nicole (các bạn của Pascal), thì thuật ngữ “xác suất” mới thật
sự xuất hiện lần đầu tiên với nghĩa đúng như chúng ta biết ngày nay:
“… đừng chỉ cho từng cái tốt và cái xấu là tự nó, mà còn là xác suất xảy

mà nó có thể không tồn tại, (…). Nhưng tôi cho là tất cả các trường hợp đều
có khả năng như nhau, hay chúng có thể bất chợt xảy ra như nhau; (…) sao
cho một đối số như vậy có thể chứng minh về sự việc hay về độ chắc chắn của
sự việc”(trích theo Henry, 2004, tr.7)
(trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.17)
− Ông cũng chỉ rõ điểm hạn chế của cách xác định xác suất bằng
phương pháp đếm là không thể áp dụng vào các hiện tượng tự
nhiên phức tạp như: sự xuất hiện bệnh nhân, hay các hiện tượng
thời tiết,…
− Trong trường hợp đó, Bernoulli đã đề nghị xác định hậu nghiệm
xác suất của biến cố sau khi quan sát thực nghiệm một số lớn các
phép thử giống nhau qua sự ổn định tần suất:
“Nhưng thực ra ở đây, chúng ta còn một con đường khác để có được cái
mà chúng ta tìm kiếm. Điều gì không có được ở tiên nghiệm thì tối thiểu cũng
phải nhận được ở hậu nghiệm, nghĩa là có thể khai thác nó bằng cách quan sát
các kết cục của nhiều ví dụ tương tự;…”
(Bernoulli, 1713, tr.42-44, trích theo Coutinho, 2001, tr.39)
Như vậy, với “Thuật suy đoán” của Bernoulli, lần đầu tiên việc tính xác
suất của một biến cố đã chuyển từ chỗ sử dụng công cụ đại số tổ hợp sang công
5
cụ giải tích. Điều này thực sự có ý nghĩa quan trọng bởi vì từ đây chúng ta có thể
áp dụng cách tính xác suất này vào những hiện tượng phức tạp trong tự nhiên
như đã nói ở trên.
 Song song với các nghiên cứu của Nicolas Bernoulli, còn có công
trình nghiên cứu của Abraham de Moivre được trình bày trong Học
thuyết về cơ hội, công bố vào năm 1718. “Tác phẩm này là một xử lý
thuần toán học, đã thực sự vận dụng giải tích vào lý thuyết xác suất”.
(trích theo Vũ Như Thư Hương, 2005, tr.19).
Với tác phẩm này, Moivre không những chỉ tu chỉnh định lý của Bernoulli
mà còn đưa ra một dạng mà ngày nay ta gọi là định lý giới hạn trung tâm. Hơn

năng riêng của chúng mà việc ước lượng đúng các khả năng này chính là một
trong những điểm khó nhất của lý thuyết ngẫu nhiên. Khi đó, xác suất sẽ là tổng
các xác suất của mỗi trường hợp thuận lợi”.
(trích theo Thư Hương, 2005, tr.20-21)
6
Định nghĩa trên được trình bày trong cùng cách tiếp cận của Pascal,
Fermat, Huygens và Monmort nên còn được gọi là định nghĩa cổ điển của xác
suất.
II.1.4.Giai đoạn thứ tư (Thế kỷ XX): Vấn đề tiên đề hoá lý thuyết xác
suất.
Cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XIX, nhiều thành tựu của công cụ giải tích đã
đem lại cho lý thuyết xác suất nhiều màu sắc mới. Trong đó có phép biến đổi
Fourier, cho phép thay thế các hàm sinh bởi một hàm số đặc trưng. Đặc biệt là
sự phát triển lý thuyết tập hợp số, lý thuyết độ đo, lý thuyết tích phân của Borel
và Lebesgue ở đầu thế kỷ XIX đã dẫn đến xu hướng xây dựng lý thuyết xác suất
theo phương phương pháp tiên đề của Hilbert.
Năm 1933, nhà toán học người Nga Andrei Kolmogorov đã phác thảo một
hệ tiên đề làm nền tảng cho lý thuyết xác suất hiện đại.
Theo lý thuyết này, Ω là một tập hợp biểu thị các kết quả của phép thử
ngẫu nhiên, trên Ω định nghĩa một độ đo bị chăn µ thoả các tiên đề:
Tiên đề 1 Với mọi biến cố A, 0 ≤ µ(A) ≤ 1
Tiên đề 2 µ(Ω) = 1
Tiên đề 3 Với mọi dãy biến cố đôi một rời nhau A
1
, A
2
,…, thì
µ(A
1
∪ A

7