đại học Thái Nguyên
trờng đại học s phạm
khoa toán
trần thị thu lan
Cơ sở logic toán của các phép chứng minh
toán học cơ bản và áp dụng chứng minh
các bài toán phổ thông
Chuyên ngành: Đại số
luận văn tôt nghiệp đại học
Ngời hớng dẫn khoa học
Th. s. Nông Đình Tuân
Thái Nguyên 2007
1
Chơng 1: Cơ sở chứng minh toán học.
1.1. Vị từ n ngôi.
Giả sử M , B ={0,1}
*Vị từ n ngôi xác định trên M là ánh xạ f: M
n
B sao cho a
= (a
1
,a
2
,...,a
n
)M
n
f(a) có giá trị bằng 1 thì f(a) là mệnh đề đúng; f(a) có giá trị bằng 0 thì f(a)
là mệnh đề sai.
Kí hiệu: f(x
1

Cho f(x
1
,x
2
,...,x
n
) xác định trên M, ta gọi:
D
f
={a = (a
1
,a
2
,...,a
n
)M
n
| f(a) = 1}
D
f
= thì ta nói f không thừa nhận đợc trên M.
D
f
thì ta nói f là vị từ n ngôi thừa nhận đợc trên M.
D
f
= M
n
Khi đó vị từ f(x
1

n
) nếu và chỉ nếu chúng cùng
nhận một giá trị nh nhau với mọi a = (a
1
,a
2
,...,a
n
) M
n.
.
Tức là: f | a = g | a a M
n.
.
* Ví dụ: Các vị từ x
2
+ y
2

0 và (x + y)
2

0 là tơng đơng trên R.
2
1.2.Công thức trong logic vị từ.
Giả sử x,y,z, ,x
1
,y
1
,z

a. Bảng giá trị công thức của
f
là:
f

| a
f
| a
0 1
1 0
b. Bảng giá trị công thức của f

g là:
f

| a g | a
f

g | a
0 0 0
3
0 1 0
1 0 0
1 1 1
c. Bảng giá trị công thức của f

g là:
f

| a g | a

g | a
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
1.2.3.Công thức hằng đúng, hằng sai.
4
Giả sử f = f(x
1
,x
2
, ,x
n
) là công thức mệnh đề phụ thuộc n biến. Nếu
a = (a
1
,a
2
, ,a
n
) M
n
mà f | a = 1 thì ta nói f là một công thức hằng đúng. Kí
hiệu: |= f.
Nếu a = ( a
1
,a
2
, ,a
n

ta có x
1
f(x
1
,a
2
,...,a
n
) là mệnh đề.
x
1
f(x
1
,a
2
,...,a
n
) =
1
0




Biến x
1
gọi là biến rằng buộc, các biến còn lại gọi là biến tự do.
* Cho 1

i

n
)M
n 1
ta có f(a
1
,a
2
,...,a
i-1
, x
i
,a
i+1
,...,a
n
) là vị từ một
ngôi trên M.
x
i
f(a
1
,a
2
,...,a
i-1
,x
i
,a
i+1
,...,a

2
...x
k
f(x
1
,x
2
,...,x
n
) là vị từ n k ngôi trên M.
(a
k+1
,...,a
n
)M
n k
ta có x
1
x
2
...x
k
f(x
1
,x
2
,...,x
k
,a
k+1

M: f(a
1
,a
2
,...,a
n
) = 1
nếu a
1
M: f(a
1
,a
2
,...,a
n
) = 0
nếu a
i
M: f(a
1
,a
2
,...,a
i
,...,a
n
) = 1
nếu a
i
M: f(a

1
,...,a
n
) = 0
Cho f = f(x
1
,x
2
,...,x
n
) xác định trên M.
Đặt lợng từ tồn tại trớc biến x
i
của vị từ f ta có một vị từ ( n 1) ngôi xác
định trên M. Kí hiệu: x
i
f(x
1
,x
2
,...,x
n
).
Với mọi bộ (a
1
,a
2
,...,a
i-1
,a

i
,a
i+1
,...,a
n
) là mệnh đề.
x
i
f(a
1
,a
2
,...,a
i-1
,x
i
,a
i+1
,...,a
n
) =
1
0




* Cho 1

k

,...,x
k
,a
k+1
,...,a
n
) là mệnh đề.
x
1
x
2
... x
k
f(x
1
,x
2
,...,x
k
,a
k+1
,...,a
n
) =
1
0






f(x
1
,x
2
,...,x
k
,a
k+1
,...,a
n
) là một mệnh
đề.
Trong vị từ (1) thứ tự các lợng từ là xác định. Nếu thay đổi thứ tự các lợng từ
sẽ cho ta một lợng từ mới.
Nếu
1 2
...
k

= = =
=

,

{,} thì thay đổi vị trí giữa các lợng từ thì nội dung
vị từ đó không thay đổi.
1.2.5.Công thức tơng đơng.
Giả sử f = f(x
1

: f(a
1
,...,a
n
) = 1
nếu (a
1
,a
2
,...,a
k
) M
k
: f(a
1
,...,a
n
) = 0
nếu a
i
M: f(a
1
,...,a
n
) = 1
nếu a
i
M: f(a
1
,...,a




1.3. Hệ quả công thức và tơng đơng công thức trên M.
1.3.1. Định nghĩa.
Giả sử f

, g là các vị từ n ngôi xác định trên M. Khi đó:
* f

đợc gọi là

tơng đơng công thức với g

trên M nếu và chỉ nếu
aM
n
ta có: f

| a = g | a, hay f

| a

g | a = 1.
Kí hiệu: f

| a g | a
* g đợc gọi là hệ quả công thức của f trên M nếu và chỉ nếu:
aM
n

); g = g(x
1
,x
2
,...,x
n
).
Ta nói g là hệ quả của công thức f . Kí hiệu: f g.
Nếu a M
n
thì f | a = 1 g | a = 1.
1.3.2. Các hệ quả logic.
Ta quy ớc: 0 là công thức hằng sai; 1 là công thức hằng đúng.
1) 0 f . công thức f.
2) f 1. Hằng đúng là hệ quả của mọi công thức.
3) f
i
, i = 1,...,n. Trong đó = {f
1
, f
2
,..., f
n
} là tập hợp n công thức.
4) = {f
1
, f
2
,..., f
n

1
, f
2
,..., f
n
} là dãy các công thức sao cho với mọi
công thức f
i
(i 2)đều đợc suy ra từ công thức đứng trớc theo một quy tắc nào đó
và f đợc suy ra từ f
n
thì ta nói là lợc đồ chứng minh công thức f.
f
1
f
2
f
2
f
3
...
f
n-1
f
n
f
n
f
thì {f
1

1)
,f f g
g

2)
f
f g
;
g
f g
3)
,f g f
g

,
,f g g
f

4)
f g
g

,
f g
f

5)
f
f
9

11)
( )f g h
f g h12)
f g h
g f h13)
,f g g h
f h


* Ví dụ: Chứng minh: a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca, a, b, c R.
Giải:
Ta có: f = a, b, c R, g = a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca

2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca
Ta có: f
1
f
2
f
3
f
5
.
Vậy f g hay a
2
+ b
2
+ c
2
ab + bc + ca, a, b, c R.
10
Chơng 2:Vận dụng công thức vào chứng minh toán học
2.1. Định lý toán học.
2.1.1. Định nghĩa.
* Định lý toán học là một vị từ hằng đúng trên một tập M với M là một tập
hợp các đối tợng nghiên cứu của toán học.
Định lý toán học thờng đợc biểu diễn dới dạng một mệnh đề kéo theo
hoặc một mệnh đề tơng đơng.

1
, A
2
, , A
n
sao cho A A
1
, A
1
A
2
,..., A
n
B thì A B.
Khi đó: (A
1
, A
2
, , A
n
) là lợc đồ chứng minh A B.
* Ví dụ: Chứng minh n không chia hết cho 3 thì n
2
không chia hết cho 3 (n
Z).
Giải
Đặt A = n không chia hết cho 3 ; B = n = 3k 1
C = n
2
= 9k

C
M
,
1.. 1k p =
.
Giải:
k
p
C
=
!
( )! !
p
p k k
=
( 1)...( )...2.1
( )...2.1. .( 1)...2.1
p p p k
p k k k=
( 1)...( 1)
!
p p p k
k
+

Theo giả thiết p nguyên tố, suy ra (p, k) = 1,
1.. 1k p =

,1< k < p
Vậy
k
p
p
C
M
,
1.. 1k p =
.
b.Dạng phân thành các khả năng có thể có:
Cơ sở lập luận là: A A
1
A
2
A
n
= A. Để chứng minh A B đúng
thì ta chứng minh A
1
B; A
2
B; ; A
n
B đúng.
* Ví dụ: Hàm số f(x) xác định nh sau: f(x) =
sin
1
x
x



.
Xét tính liên tục của ham f(x) tại x =

. Ta có:

lim
x


f(x) =
lim
x


sin x
x


=
lim
x


sin( )x
x





cos
b
B
+
cos
c
C
=
sin sin
a
B C
(1)
Giải:
(1)
sin
cos
B
C
+
sin
cos
C
C
=
sin
sin sin
A
B C


B
đúng), từ đó
ta chỉ C sao cho:
A B
C;
A B C
. Tức là:
A B C C

0A B =
A =
0( vô lý).Từ đó ta kết luận giả sử là sai suy ra B đúng hay A B đúng.
* Ví dụ: Chứng minh nếu n không chia hết cho 3 thì n
2
- 1 chia hết cho
3 (n N).
Giải:
Đặt mệnh đề A = n không chia hết cho 3 và mệnh đề B =
2
1 3n M

Giả sử phản chứng B là sai, tức là
B
= n
2
1 không chia hết cho 3 . Do
đó n
2
1 = 3k 1, kZ.
- Nếu n


15
Để chứng minh A đúng ta giả thiết
A
đúng (A sai), ta chỉ ra B sao cho
A

B; A B . Tức là: A B B
A
= 0 A = 1.
* Ví dụ : Chứng minh: a, b

0 thì
3 3
2
a b+
3
( )
2
a b+

.
Giải:
Đặt mệnh đề A = a, b

0 , suy ra
A
= a, b < 0
Giả sử
A

=
=
.
Ta có: (
)A B
(
A B
)= 0

) 1(A B B =

A
= 0, tức là giả sử sai.
Vậy ta có a, b

0 thì
3 3
2
a b+
3
( )
2
a b+

.
2.1.2.3. Chứng minh bằng quy nạp.
Tập M , t(x) = x M, x có tính chất T .
Khi đó: x t(x) là một mệnh đề.
x t(x) = 1 thì mọi phần tử M đều có tính chất T.
Đặc biệt khi M = N ( tập các số tự nhiên).

(n +1)] n

(n)
* Ví dụ: Chứng minh: n < 2
n
, n Z
+
Giải:
Giả sử

(n) = n < 2
n
, n Z
+
là mệnh đề.
B ớc 1:

(1) đúng vì 1 < 2
1
= 2.
B ớc 2: Giả sử

(n) đúng n Z
+
tức là: n < 2
n
Ta cần chứng minh:

(n + 1) đúng.
Thật vậy: vì n < 2

(0)

(1) ...

(n)

(n +1)] n

(n).
* Ph ơng pháp:
Bớc 1: n = 0.

(0) đúng (Hay

(k) đúng nếu n k, n N)
17
Bớc 2: Giả sử

(1) ,

(2) ,...,

(n) đúng. Ta chứng minh:

(n + 1) đúng thì
n

(n) đúng.
* Ví dụ: Chứng minh nếu n là một số nguyên lớn hơn 1. Khi đó n có thể viết
dới dạng tích của các số nguyên tố.

Chơng 3: Vận dụng chứng minh trong toán phổ thông
3.1.Các bài toán chứng minh bằng phản chứng.
3.1.1. Các bài toán trong số học.
* Chứng minh bằng phản chứng th ờng dùng trong các loại toán:
- Chứng minh số m thoả mãn điều kiện A thì m không là số nguyên tố (hay
số chính phơng, lập phơng của một số tự nhiên.)
18
- Chứng minh phơng trình không có nghiệm nguyên .
- Chứng minh tính chia hết hoặc không chia hết.
*Các bài toán:
Bài toán 1: Chứng minh rằng nếu số gồm ba chữ số
abc
là số nguyên tố thì
b
2
4ac không phải là một số chính phơng.
<Toán nâng cao đại số 10 >
Giải:
Giả sử b
2
4ac là một số chính phơng: b
2
4ac = k
2
, k Z
+
Ta có: 4a.
abc
= 4a(100a + 10b + c) = 400a
2

Vậy b
2
4ac không phải là một số chính phơng.
Bài toán 2: Cho dãy số : 13, 25, 43,... có số hạng tổng quát là:
a
n
= 3(n
2
+ n) + 7 , với n Z
+
.
Chứng minh trong dãy số đã cho, không có số hạng nào là lập phơng của
một số tự nhiên.
< Toán nâng cao đại số 10>
Giải:
Giả sử tồn tại một số tự nhiên k sao cho với một trị số nào đó của n ta có:
19