Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
53
Ch-ơng 7
Mô hình hoá thực nghiệm đa nhân tố bậc một đầy đủ và rút gọn
7.1. Đại c-ơng về mô hình hoá thực nghiệm đa nhân tố
Về nguyên tắc mọi sự kiện đều có thể qui về một qui luật, qui luật đó phải đ-ợc mô tả
bằng những công cụ khác nhau, chính xác nhất là sử dụng công cụ toán học. Toán học là khoa
học mô tả các qui luật, khi đó gọi là mô hình hoá toán học và đ-ợc biểu diễn bằng các ph-ơng
trình hay các biểu thức toán học.
Các ph-ơng trình toán học đ-ợc biểu diễn bằng những hàm số, đến l-ợt các hàm số lại
đ-ợc biểu diễn bằng các đồ thị.
Ph-ơng trình toán học tổng quát nhất là đa thức, vì với mọi loại hàm số cuối cùng đều
có thể qui về d-ới dạng đa thức.
Một đa thức tổng quát (Ph-ơng trình hồi qui) có thể mô tả cho bất kỳ hàm số nào. Đa
thức có: đa thức bậc 1, bậc 2, .... bậc cao. T-ơng ứng với bậc của đa thức là độ chính xác của
mô hình. Bậc càng cao thì mô hình mô tả càng chính xác qui luật và ng-ợc lại:
......
2
n
ji
n
i
iii
n
kji
kjiijkjiij
n
i

i
lên kết quả thực nghiệm.
Hệ số hồi qui của ph-ơng trình hồi qui cho ta biết:
- Về giá trị tuyệt đối bi mô tả mức độ ảnh h-ởng của nó: giá trị lớn thì ảnh h-ởng mạnh, giá trị
nhỏ thì ảnh h-ởng yếu hay không ảnh h-ởng.
- Về dấu của hệ số b:
b > 0: ảnh h-ởng tích cực lên hàm mục tiêu vì nó làm hàm mục tiêu tăng lên.
b < 0: ảnh h-ởng tiêu cực lên hàm mục tiêu vì nó làm hàm mục tiêu giảm đi.
ý nghĩa của hàm mục tiêu: Ph-ơng trình hàm mục tiêu hoặc ph-ơng trình hồi qui nhằm
mô tả ảnh h-ởng của tất cả các yếu tố lên quá trình bằng một ph-ơng trình. Khi tìm đ-ợc hàm
mục tiêu mô tả đúng thực nghiệm, chúng ta sẽ tính tr-ớc đ-ợc giá trị của hàm mục tiêu, tức là
tính đ-ợc kết quả nghiên cứu mà không cần làm nghiên cứu.
Nguyên tắc tìm các hệ số hồi qui: có bao nhiêu ẩn số (hệ số hồi qui b) thì ít nhất phải
có bấy nhiêu ph-ơng trình (nếu không thì ph-ơng trình sẽ vô định hoặc vô nghiệm).
Ví dụ: có 3 nhân tố x
1
, x
2
và x
3
ảnh h-ởng lên kết quả nghiên cứu y. Ph-ơng trình hồi
qui bậc một ba nhân tố có dạng:
32112332233113211233221100
xxxbxxbxxbxxbxbxbxbxby
7.2
Ph-ơng trình hồi qui trên có 8 số hạng, nếu tìm ra 8 hệ số b là số thực, để đặt vào
ph-ơng trình hồi qui, khi đó ta đ-ợc một mô hình mô tả đối t-ợng nghiên cứu, và có thể không
cần làm thực nghiệm mà vẫn tính ra đ-ợc kết quả nghiên cứu bằng mô hình tìm đ-ợc nếu mô
hình đó mô tả đúng.
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001

: tổ hợp chập 2.
- b
ijk
x
i
x
j
x
k
: tổ hợp chập 3.
Tìm số số hạng của mỗi loại tổ hợp, ng-ời ta dùng công thức tổ hợp để tính:
)!(!
!
ini
n
C
i
n


7.4
Đối với ph-ơng trình 3 nhân tố:
Số số hạng chập 0: Số số hạng chập 1:
1
)!03(!0
!3
0
3



nghiệm: mức cao + 1 và mức thấp - 1. Đặt X
1
, X
2
và X
3
là các kí hiệu chỉ giá trị thực của 3
nhân tố để tiến hành thực nghiệm, bảng điều kiện thực nghiệm trình bày nh- sau:
Bảng 7.1
X
1
X
2
X
3
Mức gốc ( 0 ) 0
1
0
2
0
3
khoảng biến thiên ( )
1

2

3
Mức cao ( +1 )
0
1

1
, x
2
, x
3
là kí hiệu mã hoá của các nhân tố ta khảo sát ảnh h-ởng của chúng lên kết quả
thực nghiệm. Còn y
1
, y
2
kí hiệu cho các giá trị kết quả thực nghiệm lần thứ 1 và lần thứ 2.
ý nghĩa hình học của bảng ma trận trên đ-ợc biểu diễn qua 1 hình hộp mà 8 đỉnh của
nó t-ơng ứng với 8 thí nghiệm cho thấy ở hình 7.1.
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
55
+1
-1
x
2
x
3
x
1
-1
-1
+1
+1
Bảng 7.2
N X
0

1
2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 y
2
3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 y
3
4 +1 +1 +1 -1 +1 -1 -1 -1 y
4
5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 y
5
6 +1 +1 -1 +1 -1 +1 -1 -1 y
6
7 +1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 -1 y
7
8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 y
8
Hình 7.1- Các điểm sao và điểm tâm của ma trận thực nghiệm 2
3
Ma trận thực nghiệm đòi hỏi phải tuân theo 3 điều kiện sau:
1. Ma trận thực nghiệm có tính chất chuẩn hoá:
Nx
N
1u
2
iu



7.7
x
i

2
đến 2
5
N 2
2
2
3
2
4
2
5
1 -
2 X
1
3 X
2
4 X
1
x
2
5 x
3
6 x
1
,x
3
7 x
2
,x
3

,x
4
15 x
2
,x
3
,x
4
16 x
1
,x
2
,x
3
,x
4
17 x
5
18 x
1
,x
5
19 x
2
,x
5
20 x
1
,x
2

26 x
1
,x
4
,x
5
27 x
2
,x
4
,x
5
28 x
1
,x
2
,x
4
,x
5
29 x
3
,x
4
,x
5
30 x
1
,x
3

57
G
tính
=


N
1u
2
2
Su
(max)Su
với u: thực nghiệm thứ u 7.10
m: số thực nghiệm lặp lại
Gbảng(p,f
1
,f
2
): với: f
1
= m - 1 và f
2
= N(m-1).
Nếu G
tính
< G
bảng
thì Gtính là không đáng tin cậy, khi đó S
u
2




7.11
N
yixxx
b
N
1u
kujuiu
ijk


7.12
B-ớc 5. Đánh giá tính có nghĩa của hệ số hồi qui:
Vì b* chỉ ra ảnh h-ởng định tính và định l-ợng của các yếu tố lên kết quả thực
nghiệm, nên phải có b
i
> sai số cuả thực nghiệm thì khi đó giá trị của hệ số b
i
mới gọi là có
nghĩa.Vì vậy, một hệ số hồi qui đ-ợc coi là có nghĩa nếu thoả mãn bất đẳng thức sau:
t
i tinh
> t
i bảng
(P,f)
Với:
t
i tinh

S
và
N
yy
S
uiu
u



2
2
)(
7.15
f = N(m - 1) N: số thực nghiệm.
m: số thực nghiệm lặp lại.
Những hệ số nào không thoả mãn bất đẳng thức trên thì đ-ợc loại bỏ khỏi ph-ơng
trình hồi qui. Việc loại bỏ này chỉ phản ánh ảnh h-ởng của nhân tố có hệ số bỏ đi lên kết quả
thực nghiệm nhỏ hơn sai số thực nghiệm.
B-ớc 6. Đánh giá tính phù hợp của ph-ơng trình hồi qui tìm đ-ợc:
Đánh giá tính phù hợp của ph-ơng trình hồi qui là đánh giá mô hình thu đ-ợc mô tả thí
nghiệm đúng hay ch-a đúng.
Sử dụng bất đẳng thức:
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
58
F
tính
< F
bảng
(P,f

S
N
1
S
, S
2
phù hợp
=





N
1u
2
uu
)yy(
1nN
m
7.18
Trong đó:
-
u
y : kết quả thực nghiệm thứ u tính theo ph-ơng trình hồi qui sau khi đã loại bỏ
những hệ số không có nghĩa.
-
u
y : giá trị trung bình của m lần thực nghiệm của thực nghiệm thứ u.
-

2
Công thức tính giá trị thật để làm thực nghiệm ( x
i
là giá trị mã hoá có hai giá trị 1):
X
i thực
- X
i gốc
x
i
= 7.19

i
từ đó suy ra :
X
i thực
= X
i gốc
+ .x
i
7.20
Chuyển giá trị thật thành giá trị mã hoá là đ-a ph-ơng trình hồi qui về dạng chính tắc
(chuyển hệ trục toạ độ), có nghĩa là chuyển gốc toạ độ từ 0 về 0' và đơn vị mới tính là
i
*.
Với 3 nhân tố, mặt mục tiêu đ-ợc mô tả bằng một khối hộp. Mỗi đỉnh đặc tr-ng cho
một thí nghiệm trong bảng ma trận thực nghiệm (xem mục 9.4).
Ví dụ 7.1:
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
59

1
x
2
x
3
y
Số thứ tự
thí nghiệm x
0
x
1
x
2
X
3
y
1 + + + + y
1
5 + + + - y
5
2 + - - + y
2
6 + - - - y
6
3 + + - + y
3
7 + + - - y
7
4 + - + + y
4

y
1 300 45 1,25 + + + 296
2 200 35 1,25 - - + 122
3 300 35 1,25 + - + 239
4 200 45 1,25 - + + 586
5 300 45 0,75 + + - 232
6 200 35 0,75 - - - 292
7 300 35 0,75 + - - 339
8 200 45 0,75 - + - 383
Nếu dùng mô hình đầy đủ hơn:
y = b
0
+ b
1
x
1
+ b
2
x
2
+ b
3
x
3
+ b
12
x
1
x
2

3
x
2
x
3
y
Cal/m.hC
y

(y
i
- y

)
1 + + + + + + + 296 331,125 1233,765
2 + - - + + - - 122 139,875 319,515
3 + + - + - + - 239 221,875 293,265
4 + - + + - - + 586 551,625 1181,640
5 + + + - + - - 232 196,875 1233,765
6 + - - - + + + 292 274,125 319,515
7 + + - - - - + 339 356,125 293,265
8 + - + - - + - 383 417,375 1181,640
Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
60
b
12
= (1.296 + 1.122 - 1.239 - 1.586 + 1.232 + 1.292 - 1.339 - 1.383) /8
= -75,625
b
13

7.21
69,3
8
440,10
N
S
S
440,10S;109
13
)yy(
S
th
b
th
3
1u
200
u
2
th
j







7.22
Tính có nghĩa của các hệ số hồi qui đ-ợc kiểm định theo tiêu chuẩn t:

Bởi vì t
3
< t
p
(f), t
13
< t
p
(f) do đó các hệ số b
3
, b
13
bị loại ra khỏi ph-ơng trình hồi qui
và ph-ơng trình với các hệ số còn lại có dạng:
y

= 311,125 - 34,625x
1
+ 63,125x
2
- 75,625x
1
x
2
+ 67,125x
2
x
3
7.24
Sự phù hợp của ph-ơng trình hồi quy với thực nghiệm đ-ợc kiểm định theo chuẩn

Lê Đức Ngọc Xử lý số liệu và Kế hoạch hoá thực nghiệm- Khoa hoá,ĐHQGHN. 2001
61
5210,18
109
7914,2018
S
S
F
2
th
2
phh

7.27
Tra bảng F
1-p
(f
1
, f
2
) với = 0,05; f
1
= 3
,
f
2
= 2 tra bảng ta có : F
0,95
(3,2) = 19,2
F < F

C, z
1
= 50
0
C:
2
11
0
1
minmax
zz
z


2
11
1
minmax
zz
z

7.28
Đối với nhân tố bất kỳ z
j
chúng ta có:
2
0
min
j
max

, ..., z
n
chúng ta chuyển đến hệ toạ độ mã hoá không thứ
nguyên x
1
, x
2
, ..., x
n
. Công thức chuyển hay là mã hoá có dạng:
j
jj
j
z
zz
x



0
j = 1, 2, ..., n 7.29
(-1,-1,-1) (1,-1,-1)
(-1,-1,1)
(1,1,1)
3
(-1,1,-1)
7
8
4
(-1,1,1)