Trn vn hựng email : [email protected]
Ôn Thi vào THPT
A-Phần đại số
I-Căn Bậc hai bậc ba
A- Lí thuyết ( Đề cơng ôn tập)
B- Bài tập
Bài 1: Không dùng máy tính hãy so sánh
a, 2
31
và 10 -3
26
và 15 -3
11
và -12
2
5
và 5
2

5335 va

23
.3 và
3
32

(căn bậc 3)
b,
3 3
7 15+
và 15 1 và

13
2
+x

E=
14
2
x

F=
12
2
+ xx
G=
542
2
++ xx
H=
105 x

I=
7
5


x
J=
7
5


3
1
2
x
U=
x
x
x 3
3
++
Bài 3a, Cho A=
6 2 5+
và B=
6 2 5
Tính A+B ;A-B ; A.B;
A:B
3b, Cho C=
111036 +
và D=
111036
Tính C+D;C-D ; C.D ; C:D
Bài 4

Thực hiện phép tính
A=
423
2
423
2
+


E=
448)1008700252( +
F=2
48537521240
H=
3253 ++
.
3253 +
G=(15
10:)4503200550 +

I=
)154)(610)(154( +
J=(
)
32
1
:1(:)
12
22
23
323
++
+
+
+
+
Bài 5:Rút gọn các biểu thức sau
A=

1
+

+
H=
++ 154 154
-2
53

I= 4
24057223 ++
J=
223 246 +
Bài 6: Tính A=
2062935
B=
4813526 ++

C=
34710485354 +++
D=
5122935
Bài 7: Rút gọn biểu thức
a, x-4-
42
816 xx +
với x>4 d,
9696
22
++++ aaaa

bab ;0;0
g,
ba
ba
ba
ba





33
với a
bab ;0;0
h,Tìm đk xác định của biểu thức sau đây rồi rút gọn
H
1
=
4444 ++ xxxx
H
2
=
44
2
+ xxx
Bài 8: Chứng minh đẳng thức
a,
1)).((
2
33



2).(
1a
aa
a
a
aa
=
+
+
4)
1
với mọi a>0 ; a

1
d,
3612 +++ xx
-
3612 ++ xx
=6 với mọi x

6
e, (
1
21
).
1
2
12

a
a
aa
=
+
+
+


với mọi a

0 ; a

1
g,



>

=++++
622
624
224224
neuxx
xneu
xxxx
Bài 9:Tìm gía trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau
A=x
2

xx
x
-
824
22
2
++
+
xx
x

a,Rút gọn A
b,Tính gía trị của A tại x=3 ( KQ: A=...=2)
10.2 B=(
)1
1
1
(:)1
1
1
2
+

+
+
x
x
x
với -1<x<1
a,Rút gọn B

x
x
x

+
+
+
+

+
4
51
2
2
2
1
với mọi x
4;0 x
)
a,Rút gọn D
3
Trn vn hựng email : [email protected]
b,Tìm x để D=2
10.5 Đ =(
)
2
1
(:)
1
1

1
2

+


+
x
x
x
x
( với x>0 ;x

1 và x

4)
1; Rút gọn E
2; Tìm x để E=0
10.7 F=
x
x
x
x
xx
x
+
+




+

++

x
x
x
xx
xx
xx

a,Rút gọn G
b, Tìm x để G nhận giá trị nhỏ nhất .Tìm giá trị đó
10.9 H=
4
12
+

x
xx
,Rút gọn H ( KQ: H=3-
x

3 vì...
bTìm x để H có giá trị lớn nhất .Tìm giá trị lớn nhất đó
10.10 I=
x
x
x
x


+
+
+
+

+
+
1
2
2
1
2
393
(với mọi x
1;0 x
).
a,Rút gọn J ( KQ J =
1
3


x
x
bTính gía trị nguyên của x để J có giá trị nguyên ( x=0;4;9)
4
Trn vn hựng email : [email protected]
10.12 K=
x
x

x
xx
x


++
+
+

+
1
1
1
1
1
2

a,Rút gọn M
bTính gía trị của M nếu x=28-6
3
( M=
1++ xx
x
=...=
3328
133


=... )
c, C/m rằng M <

61
6
+

10.15 P=
)1
3
22
(:)
9
)3(3
33
2




+


+
+ x
x
x
x
x
x
x
x
với mọi x


+
+
x
xx
xx
xx

a,Rút gọn Q
b,Biết x>1so sánh Q và / Q/
c,Tìm x đẻ Q=2
d,Tìm x đẻ Q có giá trị nhỏ nhất
Hàm số y=a x+b (a

0) hệ phơng trình
Bài 1: Cho hàm số y=f(x)=(3-a) x+8
a, Với giá trị nào của a thì hàm số là hàm số bậc nhất
b,Với giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên R ?
c, Với giá trị nào của a thì hàm số nghịch biến trên R ?
d,Nếu a=5 thì hàm số đồng biến hay nghịch biến ?
5
Trn vn hựng email : [email protected]
e, Tính f(-4); f(0); f(5)
Bài 2: Cho hàm số y= k x+(k
2
-3)
(d)

a, Tìm k để đờng thẳng (d) đi qua gốc toạ độ
b, Tìm k để đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng có phơng trình

2
) cắt (d
3
)
c, (d
1
) vuông góc với (d
2
)
Bài 6: Cho 2 hàm số : y=2 x+1 và y= 4-x . Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị 2 hàm
số ?
Bài 7: Xác định hàm số y=a x+b biết
a, Đồ thị hàm số đi qua M(1;-1)và có hệ số góc là 2
b, Đồ thị hàm số đi qua A(4;3) và B(-2;6)
c, Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y=2-3x và cắt trục tung tại điểm có
tung độ là 1
d,Xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng AB với trục hoành và trục tung
Bài 8:Cho 3 điểm: A(1;2) ; B(2;1) ; C(3 ;k)
a, Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B
b, Tìm k để 3 điểm A;B;C thẳng hàng
Bài 9: Cho 3 đờng thẳng: y=2x-7 d
1
) ; y=x +5 (d
2
) ; y=k x+5 (d
3
)
a,Tìm toạ độ giao điểm của (d
1
) và (d

2
Song song với đờng thẳng có phơng trình x-2y=1
b
3
Cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ x=2-
2
3

c) C/m rằng đờng thẳng (1) luôn đi qua 1 điểm cố định khi m thay đổi
Bài 12: Cho hàm số y=(m-2)x+ n (1) (m;n là tham số )
a) Xác định m;n để đờng thẳng (1)đi qua 2 điểm : A(1;-2); B(3;-4)
b) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hoành tại điểm C có hoành độ
x=2+
2
và Cắt trục tung tại điểm D có tung độ y=1-
2
c) Xác định m;n để đờng thẳng (1)
c
1
. Vuông góc vớiđờng thẳng có phơng trình x-2y=3
c
2
. Song song với đờng thẳng có phơng trình 3x+2y=1
c
3
.Trùng với đờng thẳng có phơng trình y-2x+3 =0
Bài 13: Cho hàm số y=(2m-1)x+ n -2 (1)
a) Xác định m;n để đờng thẳng (1) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x=
3



b) C/m rằng hệ luôn có nghiệm với mọi a
c) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x+y=<0
a) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x<0; y<0
d) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y>0
Bài 16:Cho hệ phơng trình



+=+
=
12
2
ayx
ayax
a)Giải hệ khi a=-2
b)Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x-y=1
Bài 17:Cho hệ phơng trình



=+
=+
12
12
ymx
myx
b) Giải và biện luận nghiệm của hệ theo tham số m
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x; y là các số
nguyên

5
;
2
8
+
=
+

m
y
m
m
;
x nguyên dơng<=>x

N<=>
2
8
+

m
m

N<=>
2
10
1
2
10)2(
+


=
=++
2
12)1(
2
mymx
mmyxm
a)Giải hệ khi m=2
b)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà P=xy
đạt giá trị
lớn nhất (max P=
4
1
khi m=
2
3
)
Bài 21:Cho hệ phơng trình



=
=+
12
2
ymx
myx
a)Giải hệ khi a=2
b)Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x>0; y<0



+
=


+
3
45
2
21
yxyx
yxyx
b)





=+
=
22
843
yx
yx

8
Trn vn hựng email : [email protected]
c)


1
yx
y
x
x
y
(đk
....0
12
1
<=>>
+

x
y

e)





=+
=+
05
2
5
yx
x
y

yx
31
31
2
2
(Trừ từng vế đợc pt tích ta có hệ



=+
=+
0)3)((
31
2
yxyx
yx
<=>










=+
=+





=+
=
2
4
2
tu
tu
cộng từng vế và giải đ-
ợc u;t
c)



=+
=+
31
1
55
yx
yx
( đặt x+y=u; xy=t ta có u=1; t
2
t-6=0 =>u =...
d)




=+
=+
10
4
22
yx
yx
(hay x+y=4 và x.y=3
f)



=+
=
65
18)1)(1(
22
yx
yx
( từ (1) => xy-(x+y)=17 ta có hệ mới rồi đặt -(x+y)=u; xy=t
g)



=+
=++
6
5
22
xyyx

43
22
yx
mymx
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm kÐp (kq;
∆
=0=>m=-
4
3
)
b) Cho hÖ ph /t





=+
=+
m
x
y
y
x
yx 8
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm kÐp (kq:
a=2=>(x;y)=(4;4)
Bµi 25: Cho hÖ ph /t




yykyxx
22)1(422
484)42(
22
22
T×m k nguyªn ®Ó hÖ
cã nghiÖm
BiÕn ®æi tõng ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng (a
±
b
±
c)
2
=A , HÖ cã ng <=> A
≥
0
Bµi 27: Cho hÖ ph /t



=+
=−
1
22
yx
myx
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt . T×m
nghiÖm ®ã
KQ; m=
2

2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=2x-2
Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung duy nhất.Xác
định toạ độ điểm chung đó
Bài 2: Cho Parabol (P): y=
4
1

x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=x+m
a) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) có điểm chung duy nhất
b) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
c) Tìm m để đờng thẳng (d) và Parabol (P) khôngcó điểm chung
Bài 3: Cho Parabol (P): y=x
2
và đờng thẳng (d) có phơng trình : y=ax+b
Tìm a và b để đờng thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau tại điểm A(1;1)
Bài 4: Cho Parabol (P): y=
4
1
x
2

a) Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua M(1,5; -1)
b) Tìm k để đờng thẳng (d) và Parabol (P) tiếp xúc nhau
c) Tìm k để đờng thẳng (d) và Parabol (P) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt
Bài 5; Cho Parabol (P): y=ax
2


2
) : y=mx+1 (với m là tham số )
+C/m rằng đờng thẳng (d
2
) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m
+Tìm m sao cho đờng thẳng (d
2
)cắt Parabol tại 2 điểm phân biệt có hoành
độ là x
1
và
x
2
thoả mãn
2
2
2
1
11
xx
+
=11
Bài 8:Cho Parabol (P): y=(2m-1)x
2
a)Tìm m để Parabol (P)đi qua A(2;-2)
b) Viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc Parabol (P) ở câu a và đi qua B(-1;1)
11
Trn vn hựng email : [email protected]
c) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và đi qua điểm C thuộc (P)ở
câu a và

3
)x +2
3
+1=0 8)
15 = xx
( Lập bảng
xét dấu)
4) x
2
(
06)32 =++ x
9)
x
x
x
x
x
x

+
=
+



1
1
11
1
2

x
x
x
x
=3 Đặt
t
x
x
=

+
1
1
(đk x


1)
3) (x
2
+2x)
2
-2(x
2
+2x) -3=0 Đặt (x
2
+2x)=t
4) (x
2
+2x+2)
2


7) (x-
)
2
x
2
+x-
x
2
- 2=0 Đặt x-
x
2
=t (đk x

0)
8) (x+
05)
1
(5,4)
1
2
=++
x
x
x
Đặt x+
x
1
=t (đk x


6
+8 rồi Đặt x +
2
1
=t
Bài 3; Giải phơng trình (có nhiều phơng pháp)
1)
xx =++ 11
(đk....; dùng phơng pháp đặt ẩn phụ hoặc bình phơng 2 vế hoặc
2) x-1=
1+x
Vận dụng t/c đại số :
2 2 2 2
0
; 0
a
a b a b a b
b o
=

= = + =

=

đa về hệ pt )
3) 3x-4
181 =x
......
4) x-
1412 =x

8)
24
2
= xx
9)
513416123
22
=+++ yyxx
(ta có
44)2(316123
22
+=+ xxx
Nên
216123
2
+ xx
;
3134
2
+ yy
10)
5168143 =++++ xxxx
11)
1252
22
=+ xxxx
đặt ẩn phụ
txx =+ 52
2
(

2
;x
3
thì x
1
+x
2
+x
3
=-b/a
x
1
.x
2.
x
3
=-d/a
x
1
.x
2
+x
1
x
3
+ x
2
.x
3
=c/a

2
+ 225 =0 (1)
Bài 4.3 phơng trình hệ số đối xứng bậc 4 : a x
4
+ bx
3
+ cx
2

+ dx +e =0
( x là ẩn , a, b, c, d, e là các hệ số ;a

0 )
(Đặc điểm : vế trái các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối thì bằng
nhau )
ph ơng pháp giải gồm 4 b ớc
-Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của (1) ta chia cả hai vế (1) cho x
2
(đk x

0) rồi
nhóm các số hạng cách đều hai số hạng đầu và cuối thành từng nhóm ta đợc phơng trình mới
-Đặt ẩn phụ : (x+
)
1
x
=t (3) => x
2
+
2

10( x
2
+
)
1
()
1
2
x
x
x
+
) -110 =0 (2)
Đặt ẩn phụ (x+
)
1
x
=t (3) => x
2
+
2
1
x
=t
2
-2 thay vào (2) ta có
<=> 10t
2
-27t -130=0 (4) Giải (4) ta đợc t
1

5
26
(x+
)
1
x
=
5
26
5x
2
-26x+5 =0 có nghiệm là x
3
=5 ; x
4
=1/5
Vậy phơng trình (1) có tập nghiệm là S=








5;
5
1
;2;
2

b; lúc đó (1) có dạng a x
4
+ bx
3
+ cx
2


bx +e =0
Cách giải:
-Do x=0 không phải là nghiệm của phơng trình (1)nên chia cả hai vế cho x
2
ta đợc
a x
2
+bx +c +
2
x
c
x
d
+
= 0 (2)
Nhóm hợp lí a (x
2
+
0)()
2
=+++ c
bx

2
- 2
b
d
) bt +c =0
Ta đợc phơnmg trình (3) trung gian nh sau : at
2
+ bt +c=0 (3)
-Giải (3) ta đợc nghiệm của phơng trình ban đầu
Giải phơng trình : x
4
-4x
3
-9x
2
+8x+4=0 (1)
Nhận xét 4/1=
2
)
4
8
(

; Nên phơng trình (1) là phơng trình hồi quy
x=0 không phải là nghiệm của (1)
Do đó chia cả hai vế phơng trình cho x
2
(x

0)

2
x
=t
2
+4 thay vào (2)
Phơng trình (1) trở thành t
2
-4t -5 =0 có nghiệm là t
1
=-1 ; t
2
=5
nhận xét : tơng tự nh giải phơng trình bậc 4 hệ số đối xứng , chỉ khác bớc đặt ẩn phụ
Đặt x+
bx
m
=yb => x
2
+
b
m
y
xb
m 2
2
22
2
=
Bài 4.5 Phơng trình dạng : (x+a ) ( x+b ) (x+c) (x+d )=m (Trong đó a+d=b+c)
cách giải : Nhóm ( x+a) với (x+d) ; (x+b) với (x+c) rồi triển khai các tích đó

1
=-3 ; y
2
=-5
Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình
1/x
2
+8x +7 = -3 x
2
+ 8x +10=0 có nghiệm x
1,2
= -4

6
2/ x
2
+8x +7 = -5 x
2
+8x +12 = 0 có nghiệm x
3
=-2; x
4
=-6
Vậy tập nghiệm của phơng trình (1) là S =
{ }
64;6;2
Bài 4.6:Phơng trình dạng; (x+a)
4
+(x+b)
4

Giải phơng trình sau : (x+3)
4
+(x-1)
4
=626
Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1
Ta có phơng trình (t+2)
4
+ (t - 2)
4
=626
9t
4
+8t
3
+24t
2
+32t +16) +( 9t
4
- 8t
3
+24t
2
- 32t +16)=626
t
4
+24t
2

- 297 =0 => t=-3 và t=3

Biến đổi vế trái ta có VT= (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3
Vậy ta có phơng trình <=> (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3 =0
Đặt x
2
+ 3x =t (2)
Ta có PT <=> t
2
-4t +3 = 0 có nghiệm là t
1
=1 ;t
2
=3
Bài 4.8 Phơng trình đối xứng bậc lẻ ( bậc 5)
Giải phơng trình 2x
5
+3x
4
-5x

Giải phơng trình (x+1) (x+3) (x+5) (x+7 ) = -15 (1)
nhận xét 1+7 =3+5
Nhóm hợp lý (x+1) (x+7 ) . (x+3) (x+5 ) +15=0
(x
2
+8x +7 ) (x
2
+ 8x + 15) +15 =0 (2)
*Đặt (x
2
+8x +7 ) =t (3) thay vào (2) ta có (2) t( t+ 8) + 15=0
y
2
+8y +15 =0 nghiệm
y
1
=-3 ; y
2
=-5
Thay vào (3) ta đợc 2 phơng trình
1/x
2
+8x +7 = -3 x
2
+ 8x +10=0 có nghiệm x
1,2
= -4

6
2/ x

4
+2 (
2
ba +
)
2
t
2
+ 2(
2
ba +
)
4
c =0
Đây là phơng trình trùng phơng đã biết cách giải
Giải phơng trình sau : (x+3)
4
+(x-1)
4
=626
Đặt t =( x+3+x-1): 2=x+1=>x=t-1
Ta có phơng trình (t+2)
4
+ (t - 2)
4
=626
9t
4
+8t
3

0
(nếu thoả mãn TXĐ của phơng trình đã cho ) sẽ là
nghiệm của phơng trnh (1)
Ví dụ : Giải phơng trình x
4
+6x
3
+5x
2
-12x+3=0 (1)
TXĐ :

x

R
Biến đổi vế trái ta có VT= (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3
Vậy ta có phơng trình <=> (x
2
+ 3x)
2
-4(x
2
+3x) +3 =0
Đặt x

+x+2 )=0
Ngoài nghiệm x=-1 , để tìm nghiệm còn lại ta đi giải phơng trình
2x
4
+x
3
-6x
2
+x+2 =0(2) là phơng trình đối xứng (bậc 4) đã biết cách giải
Giải (2) ta đợc x
1
=x
2
=1 ; x
3
=-2 ;x
4
=-0,5
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x
1
=x
2
=1 ; x
3
=-2 ;x
4
=-0,5 ;x
5
=-1
Bài tập VN : Giải các phơng trình sau

+4x
3
-10 x
2
-28 x-15=0
4, (x+4) (x+5) (x+7) (x+8) =4 h, (x+10) (x+12) (x+15) (x+18)
=2x
2
7) (x+2) (x+3) (x+8) (x+12) =4x
2
nhóm (x+2)(x+12) (x+3) (x+8) rồi chia 2 vế cho 4x
2

và đặt t=x+7/x (đk x 0)
8) 3x
5
-10x
4
+3x
3
+3x
2
-10x+3=0 9) x
5
+2x
4
+3x
3
+3x
2

2
-3 x+1) (x
2
-3x-4)
(x
2
-3x-10)=-30
14) 3(x
2
+x) -2(x
2
+x ) -1=0 15) (x
2
-4x+2)
2
+4x
2
-4x-4=0
16) (x
2
-x+1)
4
-6x
2
(x
2
-x+1)
2
+5x
4

(1
)

a) Giải phơng trình khi m=2
b) Tìm m để phơng trình (1) có 1 nghiệm là 1. Khi đó tìm nghiệm còn lại
(thay x=1..
18