CHUYấN TH TCH

Phần 1.
Thể tích khối đa diện
A. Lý thuyết
1. Khái niệm thể tích của 1 khối đa diện (Sgk hh 12)
2. Các công thức tính thể tích của khối đa diện
a) Thể tích khối hộp chữ nhật
V = abc với a, b, c là 3 kích thớc của khối hp chữ nhật
b) Thể tích của khối chóp
V=
3
1
S
đáy
. h ; h: Chiều cao của khối chóp
c) Thể tích của khối lăng trụ
V= S
đáy
. h ; h: Chiều cao của khối lăng trụ
B. Các dạng bài tập
Dạng 1. Tính thể tích của khối đa diện
*Ph ơng pháp: Để tính thể tích của khối đa diện ta có thể:
+áp dụng trực tiếp các công thức tính thể tích
+Chia khối đa diện thành các khối nhỏ hơn mà thể tích của các khối đó tính
đợc
+Bổ sung thêm bên ngoài các khối đa diện để đợc 1 khối đa diện có thể tính
thể tích bằng công thức và phần bù vào cũng tính đợc thể tích.
*Các bài tập
1)Về thể tích của khối chóp
+Nếu khối chóp đã có chiều cao và đáy thì ta tính toán chiều cao, diện tích

a
ABC có SA = SB; ABC = 60
o

SA = AB = SB = a
C
S
A
B
O
a
SO OA ( vì SO (ABC) ) Tam giác vuông SOA có:
SO
2
= SA
2
- OA
2
= a
2
- (
3
2
a
2
3
)
2
=
2

l

b) Tơng tự câu a đáp số:
VSABC =
3
1
.

4
3
2
a
.
3
2
2
a
l

c)
Gọi O là tâm ABC
Gọi A là trung điểm BC
Dễ thấy ((SBC), (ABC)) = góc SAO =
Tam giác vuông SOA có:
SO
2
= l
2
- OA
2


O
B
A'
A
C
a

AA
2
(sin
2
+ 4) = 9l
2


4sin
3
2
'
+
=

l
AA
SABC =
)4(sin2
33
4sin3
3



ll
SO
http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình2
CHUYấN TH TCH

VSABC =
3
1
SABC . SO =
4sin).4(sin
sin
3
3
22
2
.
++


l
Bài 2. Cho lăng trụ ABCABC có độ dài cạnh bên = 2a, ABC vuông tại A, AB
= a, AC = a
3
. Hình chiếu vuông góc của A trên (ABC) là trung điểm BC.
Tính VAABC theo a?
Giải.
-Gọi H là trung điểm BC
AH (ABC) (gt)

2
- a
2
= 3a
2
AH = a
3
B
C
H
2a
a
a 3
C'
A'
VAABC =
3
1
SABC .AH =
2
2
2
1
3
1
2
3.3.
a
aa
=

B
b) SAB có AB = SA = a SAB cân tại A AB SB
http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình3
CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH

B’S = B’B
BC⊥ AB ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’
BC⊥ SA
⇒ AB’ ⊥ (SAC) ⇒ AB’ ⊥ SA ⇒SC ⊥ (AB’C’)
AC’ ⊥ SC
C¸ch 1
2
2
2
1
2
1
2'
a
aSBAB
===
V× AB’ ⊥ (SBC) ⇒AB’ ⊥ B’C’. SC =
aACSA 3
22
=+

3
2
'
a

363243
1
32
..
aaa
=
C¸ch 2
3
' '
1 1
2 3
3
a
SB SC
SB SC
a
= = =
3
' '
3
3
' ' '
1 1 1
' ' '
6 6 6 36
3
SAB C
SABC
a
V

Tam giác vuông SB có sin =
SB
BD
(2)
Từ (1) (2)

sinsincos
22
aAB
BDAB

==



sin
cos
22
2
2
aAB
AB

=
AB
2
(sin
2
cos
2


= =
SA = AB. tan =


22
sincos
sin

a
VSABC =
3
1
SA.SABC =


22
sincos
sin
3
1

a


22
2
sincos
sin


A
D
C
m
B
M
N
http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình5
CHUYấN TH TCH

Diện tích hình thang AMNC là S =
2
2)(
2
)(
.
anmCNAM
AC
++
=
VAMNC =
)(...
62
2
2
2)(
3
1
3
1

C
B
H
a
- Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC)
http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình6
CHUYấN TH TCH

- Vì các cạnh bên nghiêng đều trên đáy H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC.
- Ta có: ABC =

sin..
2
1
ACAB

mà BC
2
= 2AB
2
- 2AB
2
cos = 2AB
2
(1-cos ) = a
2
AB =
2
cos1



cos2sin2
tan
aa
=
VSABC =



cos24
cot
cos2243
1
3
1
2
3
2
.cot..
a
aa
ABC
SHS
==

Bài 7: SABC có đáy ABCD là hình bình hành và SABCD =
3
và góc giữa 2 đờng
chéo = 60
o

==
xx
x=3
- (SA, (ABCD)) = (SA, AO) = SAO = 45
o
= SCO = (SC, (ABCD)) ASC vuông
cân tại S SO =
1
2
1
=
AC
VSABCD =
3
3
3
1
1.3
=
Bài 8: SABC có SA = SB = SC = a. ASB = 60
o
, BSC = 90
o
, CSA = 120
o
.
a) Chứng minh rằng ABC vuông
b) Tính VSABC
Giải
a)

= a
2
+ a
2
-2a
2
cos120
o
= 2a
2
- 2a
2
(-
2
1
) =3a
2
-ABC có AC
2
= AB
2
+ BC
2
ABC vuông tại B
b) Hạ SH (ABC)
Vì SA = SB = SL

HA = HB = HC H là trung điểm AC
ABC vuông tại B
Tam giác vuông SHB có SB = a SH

3
1
3
1
23
.2.....
aa
ABC
aaSHBCABSHS
===

Bài 9: SABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB = 2, ACB = 90
o
. SAC
và SBD là các tam giác đều có cạnh =
3
.
Tính thể tích khối chóp SABCD.
Đáp số: VSABCD =
4
6

Bài 10: SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, SAD đều cạnh = 2a,
BC = 3a. Các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tính VSABCD
Giải
http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình8
CHUYấN TH TCH

2a
3a

2
).(
5a
aa
ADCDAB
==
+
VSABCD =
3
5
2
3
1
3
1
23
2.5.
a
ABCD
aaSHS
==
Bài 11: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a,
SB = a
3
, (SAB)

(ABCD). M, N ln lt l trung điểm AB, BC. Tính VSBMDN
Giải
S
A

2
SAB vuông tại S

222222
3
4
3
11111
aaaSBSASH
=+=+=
SH =
2
3a
VSBMDN =
3
1
SBMDN.SH =
2
3
2
3
2
3
1
3
.2
aa
a
=
Bài 12: SABCD có ABCD là hình thang với AB = BC = CD =

hay
aaSH
17
120
289
14400
.
==
-Vì hình thang có AB = BC = CD =
2
1
AD
DA


=
= 60
o
, B = C = 120
o
-SBD có BD
2
= SB
2
+SD
2
=289a
2
BD = 17a
CBD có BD

o
aBC
==
SABCD = 3SBCD =
12
3289
2
a

http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình10
CHUYấN TH TCH

VSABCD =
3
1
SABCD.SH =
17
120
12
3289
3
1
.
2
a
a
= 170
3
a
3

AB
AB

SH (vì SH

(ABD))
AB

(SKH) AB

SK SAB cân tại S
Dễ thấy ((SAB), (SCD)) = KSH =
SAB có SK = acos , AB = 2AK = 2asin
SHK vuông tại H có SH =SK.cos = acos
2

KH = SKsin = asincos. SABCD =AB.BC = 2asin.asincos
= 2a2sin
2
cos VSABCD =
23
3
2
.3
1
sinaS
ABCD
SH
=


2
2
1
2
1
2
1
aaaBCAB
o
==
VMABC =
42
3
2
2
1
3
1
3
1
3
.3..
a
a
ABC
aMHS
==

Cách 2.
2

4
1
a
Bài 15 : Hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA

(ABCD),
AB = a, SA = a
2
. H, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. Chứng
minh rằng: SC

(AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.
Giải
http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình12
CHUYấN TH TCH

A
C
O
H
K
a
a
N
F
E
B
D
a



(AKH)
Gọi {F} = KH SO (SAC) (AHK) = AF
Kéo dài AF cắt SC tại N
Trong (SAC) kẻ đờng thẳng qua O//SC cắt AN tại E OE

(AHK)
Vì OA = OC; OE//CN OE =
2
1
CN
Tam giác vuông SAD có
222
111
ADASAK
+=
AK =
3
2
3
.2
.
222
a
a
aa
ADAS
ADAS
==
+

3
2
33
2
HK =
3
2
BD =
2
3
2
a
OF =
3
1
SO
2
1
=
SF
OF
SAC có : OA = OC

2
1
==
SF
OF
SN
OE

3
1
SOE
27
22
3
a
* Có thể dùng PP toạ độ để tính thể tích OAHK nh sau:
Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.Ta có:
A(0,0,0) , B(a,0,0) ,D(0,a,0) , S(0,0,a
2
) , O(
2
a
,
2
a
, 0)
SKA
:
SAD
SD
SA
SA
SK
=
SK=
3
2a
K(0,

2
(
a
aAH
=

)
3
2
,
3
2
,0(
a
aAK
=

,0)
2
,
2
(
aa
AO
=
[
AKAH ,
] =(
9
4

a
K
O
C
D
A
a 2
a
N
I
B
http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình14
CHUYấN TH TCH

SA

(ABCD)
Gọi {O} = AC BD
Trong SAC có ON // SA
ON

(ABCD) NO

(AIB)
Ta có NO =
22
1
a
SA
=

32
..
aa
a
=

Bài 17. Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,
(SAD)

(ABCD), SAD đều. Gi M, N, P lần lợt là trung điểm SB, BC, CD.
Tính thể tích hình chóp CMNP
Giải
A
C
N
a
D
P
B
M
F
E
S
y
x
z
- Gọi E là trung điểm AD. (CNP) (ABCD) SE

AD
(SAD)

==

VCMNP =
2
1
SNCP.MF =
96
3
4
3
2
8
1
3
1
3
.
aa
a
=
Nhận xét: có thể dùng phơng pháp toạ độ để giải với gốc toạ độ O .
http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình15
CHUYấN TH TCH

0x EN, oy ED, oz ES
Bài 18: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O bán kính đáy bằng
chiều cao bằng a. Trên đờng tròn tâm O lấy A, Trên đờng tròn tâm O lấy B. sao
cho AB = 2a. Tính thể tích hình chóp OOAB
Giải
B

3a
VBAOO

=
.
3
1
BH
SAOO =
12
3
2
a
Bài 19: Cho hình chóp có ABCD là hình chữ nhật; AB = a.AD = 2a;
SA (ABCD); (SA, (ABCD) = 60
o
. Điểm M thuộc cạnh SA, AM =
3
3a
.
(BCM) SD ={ N}. Tính thể tích hình chóp S.BCMN
Giải
http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình16
CHUYấN TH TCH

S
A
D
C
B

2
1
2
a
BMBCMN
=+
VSBCMN =
.
3
1
SH
SBCMN =
27
310
3
a
Bài 20: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang; BAD = ABC = 90
o
;
AB = BC = a; AD = 20; SA b (ABCD); SA = 2a. M, N lần lợt là trung điểm SA và
SD. Chứng minh rằng BCMN là hình chữ nhật và tính thể tích hình chóp S.BCNM
Giải
http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình17
CHUYấN TH TCH

A
D
S
H
M

1
có ABC vuông. AB = AC = a;
AA
1
= a
2
. M là trung điểm AA
1
. Tính thể tích lăng trụ MA
1
BC
1
Hớng dẫn:
+Chọn mặt đáy thích hợp V =
12
2
3
a
+Có thể dùng cả phơng pháp toạ độ
Bài 22: Tứ diện ABCD có AB = x có các cạnh còn lại bằng 1.
a.Tính thể tích tứ diện theo x.
b.tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD
c. Tìm x để thể ABCD đạt giá trị lớn nhất
Giải
a.
http://violet.v/nvbinh198 GV: Nguyễn Văn Bình18