Ti Liu Bi Dng HSG B
Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9
Câu 1 : a) Tính A =
322
1
322
1

+
++
b) So sánh :
2008 2009
2009 2008
+
và
2008 2009+
Câu 2 : a) Giải phơng trình : x
2
+ x + 12
1
+
x
= 36
b) Tìm các số nguyên x , y sao cho : y=
54
2
++
xx
Câu 3 :
a) Biết a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác . Chứng minh phơng trình :

tròn (M
)(),( KNI

) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đờng tròn .
a) Chứng minh các đờng thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D .
b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất .
Câu 5 :
Chứng minh rằng nếu
ba
+
> 2 thì phơng trình sau có nghiệm
2ax
2
+ bx +1 - a = 0
Hớng dẫn trả lời
GV biờn son: Nguyn Minh Nht 1
Ti Liu Bi Dng HSG B
Câu 1 :
Giáo viên vừa hớng dẫn vừa yêu cầu học sinh làm theo giáo viên.
a) A =
3242
2
3242
2

+
++
( Nhân tử và mẫu với
2
)

=
2009 1 2008 1
2009 2008
+
+
=
=
2009 1 2008 1
2009 2009 2008 2008
+ +
=
= (
2008 2009+
)+
1 1
( )
2008 2009


Ta thấy
1 1
2008 2009
2008 2009
< >
Do đó
1 1
2008 2009

>0 ;
suy ra (

1


Đặt
1+x
= t
0

; phơng trình trở thành :
( t
2
- 1 )t
2
+ 12t = 36
GV biờn son: Nguyn Minh Nht 2
Ti Liu Bi Dng HSG B
t
4
- ( t - 6 )
2
= 0 ; suy ra (t
2
- t + 6)(t
2
+ t - 6) = 0
Phơng trình t
2
- t + 6 = 0 vô nghiệm
Phơng trình t
2

Vì x,y là số nguyên nên (y + x + 2) và (y - x - 2 ) cũng nhận giá trị nguyên . Ta
thấy tổng và tích của 2 biểu thức này là dơng nên ta có :




=
=++
12
12
xy
xy
; từ đó ta tìm đợc (x=-2;y=1)
Câu 3 :
a) (1đ)

= (a-b-c)
2
- 4bc = a
2
+ b
2
+c
2
- 2ab - 2ac + 2bc - 4bc
= a
2
+ b
2
+c

b) Từ hệ





=++
=+
(**)10143
*)(21
222
222
zyx
tyx
; cộng vế với vế ta đợc :
2(x
2
+ y
2
+ 2z
2
+ t
2
) - t
2
= 122 ;
suy ra M=
2
61
2

yx
yx
(loại vì không thoả mãn (**) )
+



=
=




=+
=
2
5
7
3
y
x
yx
yx
, thay vào (**) ta tìm đợc z=4
Vậy Min M=61 khi x=5,y=2,z=4,t=0
Câu 4 :
a)
Gọi D là giao điểm của AM và BN
Q là giao điểm của MN và Cx .
Theo tính chất của tiếp tuyến ta có

===
DCAB
DC
DBDA
DC
DB
DC
DA
DC
..
.
4422222
2333
a
a
a
a
DC
AB
DC
===
;
Từ đó ta có S
DMCN
lớn nhất bằng
2
2

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki , ta có :
(
[ ]
)1()12()1.1.2()12
22
aaaaaa
+++=+
= 3 (3)
Kết hợp (2) với (3) , ta có :

ba
+
< 3 -1 = 2 ; trái với giả thiết .
Vậy phơng trình có nghiệm .
Hỏi: Trong bài học hôm nay các em đã dùng những đơn vị kiến thức nào?
Học sinh trả lời:
D. Bài tập về nhà.
Bài 1.
Rút gọn biểu thức A =
24923013
+++
Bài 2.
Chứng minh rằng với x > 0, x

1, biểu thức sau không phụ thuộc vào biến:
1
.
11
2
+

Cho hai số nguyên dương a và b
( )
a b≥
đều không chia hết cho 5 .
Chứng minh rằng a
4
– b
4

M
5.
Bài 2 :
a) Rút gọn :
( )
2 1 : 1 1x x x
− − − −
b) Tính :
( ) ( )
4 15 . 10 6 . 4 15+ − −
Bài 3 :
Cho a > 2 ; b > 2 . Chứng minh rằng : ab > a + b
Bài 4 :
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức sau :
A =
2 1 2 1x x x x
+ − + − −
Bài 5 :
Cho điểm M nằm trong tam giác ABC nhọn . Chứng minh rằng :
4 S
ABC

M
5
⇒
n chia 5 dư
±
1 hoặc
±
2
• Nếu n chia 5 dư
±
1
⇒
n
2
chia 5 dư 1
⇒
n
2
– 1
M
5
Do đó : n
4
– 1
M
5
• Nếu n chia 5 dư
±
2
⇒

2 1 : 1 1x x x
− − − −

( )
( ) ( )
≠ ≥
= − − − −
= − − − −
2
: 2; 1
2 1 : 1 1
1 1 : 1 1
ĐK x x
x x x
x x
GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 7
Ti Liu Bi Dng HSG B

( )
=

> >

= =

< < > >


= +
= + = +
= + = =
2
2
2
2
4 15 . 5 3 . 2. 4 15
4 15 . 5 3 . 2. 4 15
4 15 . 5 3 . 8 2 15
4 15 . 5 3 . 5 3
4 15 . 5 3 . 5 3
4 15 . 5 3 4 15 . 8 2 15
4 15 . 4 15 .2 4 15 .2 2
Baứi 3 :
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 ; 0 . 2. 1
2 ; 0 . 2. 2
1 2
: . . 2. 2.
2 . 2.
.
Do a b neõn a b b
vaứ b a neõn a b a
Tửứ vaứ
Ta ủửụùc a b a b a b

ĐK x
A x x x x
A x x
A x x
Ápdụngbấtđẳngthức a b a b tacó
A x x x x
= + − + − −
≥
= − + − + + − − − +
= − + + − −
= − + + − −
+ ≥ +
= − + + − − ≥ − + + − − = =
( ) ( )
1 1 1 1 0
2 1 2
1
2 1 2
x x
A x
x
Vậy Mim A khi x

− + − − ≥

= ⇔ ⇔ ≤ ≤

≥



BA’. AM + CA’. AM
Hay : ( BE + CF ). AM
≤
AM ( BA’ + CA’)
Nên : ( BE + CF ). AM
≤
AM . BC
Do đó ta có tổng diện tích :
2 ( S
ABM
+ S
ACM
)
≤
BC. AM
⇔
S
ABM
+ S
ACM

1
2
≤
BC. AM (*)
Tương tự ta chứng minh được :
⇔
S
ABM
+ S

⇔
2 . S
ABC

1
2
≤
( BC. AM + AC. BM + AB. CM )
⇔
4 . S
ABC

≤
BC. AM + AC. BM + AB. CM ( ĐPCM)
D. Bµi tËp vỊ nhµ.
Bµi 1 :
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa
2
2
3 5
1
x x
y
x
+ +
=
+
.
Bµi 2.
Cho a, b ≥ 0 tho¶ m·n :

Bài 2: Cho x, y lµ hai sè kh¸c nhau tháa m·n: x
2
+ y = y
2
+ x
Tính gi¸ trÞ cđa biĨu thøc : P =
1 -xy
xy
2
y
2
x
++
GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 10
Ti Liu Bi Dng HSG B
Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi
Bài 1: Chứng minh rằng nếu phơng trình bậc hai
2
. . 0a x b x c
+ + =
có hai nghiệm dơng
1 2
;x x
thì phơng trình
2
0cx bx a
+ + =
cũng có hai nghiệm
3 4
;x x

x x x y x

=


= + +


2. Giải phơng trình:
( ) ( )
4 4
1 3 34x x
+ =
Bài 4: Cho đờng tròn (O; R) và một đờng thẳng d đi qua O. Lấy A và B là hai điểm
thuộc d sao cho OA = OB < R; M là điểm tuỳ ý trên (O; R) thoả mãn OM không
vuông góc với d đồng thời M không thuộc d. Các đờng thẳng MA, Mo, MB Cắt
(O; R) lần lợt tại Q, R, P (khác M). Đờng thẳng PQ cắt d tại S.
1. Chứng minh:
2 2 2
MA MB AB+ >
2. Chứng minh SR là tiếp tuyến của đờng tròn (O; R).
Bài 5:
1. Cho a; b là các số thực dơng thoả mãn: a + b =1. Chứng minh rằng:

2 2
1 1
6
.a b a b
+
+

;x x
là nghiệm dơng của PT:
2
. . 0a x b x c
+ + =
thì :
3 4
1 2
1 1
;x x
x x
= =
là nghiệm của PT:
2
0cx bx a
+ + =
Ta có:
1 2 3 4 1 2
1 2
1 1
x x x x x x
x x
+ + + = + + +
.
Theo BĐT côsi:
1 2
1 2
1 1
2; 2x x
x x

3 ( )(x y z xyz x y z x y z xy yz zx+ + = + + + +
.
Do x; y; z dơng nên x + y + z > 0
2 2 2
0x y z xy yz xz + + =
Mặt khác:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 2 2
x y z xy yz xz x y y z z x
x y z
+ + = + +
= =
Vậy:
( ) ( ) ( )
27 6 2008
B x y y x z x
= + +
Hỏi: Em đã dùng kiến thức nào để làm bài này?
Bài 3
1.
( )
2
2 2
2 3 0
1 4 5 3
x x y
x x x y x

2 4 3 2 1 2 4 3x x x x x
+ + +
Vậy từ (3)
( )
2
2 2
1 2 4 3 2 0 2x x x x x
+ =
Với x = 2 thay vào hệ ta đVới x = 2 thay vào hệ ta đợc y = 2ợc y = 2ợc y = 2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2Vậy hệ có nghiệm duy nhất x = y = 2
2. Đặt x - 2 = t, ta đợc phơng trình ơng trình ơng trình
( ) ( )
4 4
1 1 34t t
+ + =
(1)(1)
(2
)

A
EIK
Ti Liu Bi Dng HSG B
D. Bài tập về nhà.
Cho biểu thức
P =






Môn : Toán lớp 9
Bài 1:
1) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn: n
2
+ 2006 là số chính
phơng.
2) Giải phơng trình:
( )
22
2
+
x
=
15
3
+
x
Bài 2:
Cho các số thực x, y thoả mãn điều kiện sau:
5
2
+
x
+
1

x
+ x
2
=

axax
axax
a
++
+
++
GV biờn son: Nguyn Minh Nht 14
Ti Liu Bi Dng HSG B
Bài 4:
Gọi O là tâm đờng tròn tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CD, DA của tứ giác
ABCD. Qua A, B, C, D lần lợt vẽ các đờng thẳng d
A
, d
B
, d
C
, d
D
sao cho d
A
OA, d
B

OB, d
C
OC, d
D
OD. Các cặp đờng thẳng d
A
và d

Khi đó:
- nếu m và n khác tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) lẻ . Mâu thuẫn với (*)
- nếu m và n cùng tính chẵn lẽ thì (m-n)(m+n) chia hết cho 4, nhng 2006 không chia hết
cho 4. Cũng mâu thuẫn với (*)
Tóm lại giả sử trên không đúng.
Vậy không tồn tại số tự nhiên n thoả mãn n
2
+ 2006 là số chính phơng.
Bài 1.2
Hỏi: Hãy nêu điêù kiện xác định của phơng trình?
Học sinh:
GV biờn son: Nguyn Minh Nht 15
Ti Liu Bi Dng HSG B
ĐK: x
3
+ 1 0 (*).
Biến đổi phơng trình đã cho (1) <=>
( )
22
2
+
x
=
)1)(1(5
2
++
xxx
Hỏi: Em hãy đặt ẩn phụ để giải phơng trình này?
Học sinh:
Đặt

Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm: x =
2
375
+
và x =
2
375

Bài 2
Giáo viên hớng dẫn: Biến đổi đa phơng trình về dạng tích.
Giả sử có x, y thoả mãn
5
2
+
x
+
1

x
+ x
2
=
5
2
+
y
+
1

y

+
x
-
5
2
+
y
) + (
1

x
-
1

y
) + (x
2
- y
2
) = 0
<=>(x
2
- y
2
)/(
5
2
+
x
+

x
+
1

y
) +x+y)= 0
<=> x - y = 0 <=> x = y
(vì : (x+y)/(
5
2
+
x
+
5
2
+
y
) + 1/(
1

x
+
1

y
) + x + y > 0)
Vậy nếu x, y thoả mãn đẳng thức trên thì x = y
Chú ý: Có thể ch/m x = y bằng cách loại trừ các khả năng x < y; x > y
Bài 3
Giáo viên: Trong bài này áp dụng bất đẳng thức cô si để làm.

1
+ a ; x
2
2
= 3ax
2
+ a (2)
Khi đó: A =
2
2
12
2
21
2
33
33 a
axax
axax
a
++
+
++
=
2
2
2
2
49
49 a
aa

Học sinh: để chứng minh 3 điểm thẳng hàng ta đi chứng minh góc tạo bởi 3 điểm đó
bằng góc bẹt.
Hỏi: Em nào chứng minh đợc điều này?
Học sinh: Lên bảng làm:
Dễ thấy AKBO, BLCO, CMDO và DNAO là các tứ giác nội tiếp.
và các đoạn thẳng OA, OB, OC, OD tơng ứng là phân giác các góc A, B, C, D của tứ
giác ABCD.
Có KOL + LOM = - OKB - OLB + - OLC - OMC
= - BAO - BCO + - CBO - CDO
= 2 - ( A + B + C + D )/2 = 2 - =
Từ đó suy ra các điểm K, O, M thẳng hàng
4. 2
Giáo viên: Chứng minh tơng tự nh trên ta đợc ba điểm naof thẳng hàng?
GV biờn son: Nguyn Minh Nht 17
Ti Liu Bi Dng HSG B
Học sinh: Chứng minh tơng tự ta đợc ba điểm N, O, L thẳng hàng.
Giáo viên cho học sinh lên bảng làm.
Học sinh lên bảng làm.
Chứng minh tơng tự nh trên, ta đợc N, O, L thẳng hàng.
Ta chứng minh tứ giác KLMN nội tiếp. Thật vậy, có:
NKL + NML = AKO + OKB + DMO + OMC
= (1/2).( A + B + C + D ) = 2
Từ đó chứng minh đợc OK.OM = ON.OL
Do đó ON = (OK.OM)/OL hay ON = k.m/l
Giáo viên chột lại: Hãy nêi những kiến thức đã dùng trong bài hôm nay?
D. Bài tập về nhà.
Giáo viên chép lên bảng bài tập về nhà cho học sinh chép vào vở ghi.
Baì 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a
2
+3b

222
z
xy
y
xz
x
yz
++
GV biờn son: Nguyn Minh Nht 18
Ti Liu Bi Dng HSG B
Đề tổng hợp kiến thức học sinh giỏi
Môn : Toán lớp 9
Bài 1 Cho : M = x
2
+ y
2
+xy-3x-3y+2011. Với giá trị nào của x,y thì M đạt giá trị nhỏ
nhất. Tìm giá trị đó?
Bài 2 Chứng minh rằng
1 1 1
... 2
2 1 3 1 ( 1)n n
+ + + <
+
với mọi n

N*
Bài 3
Giải phơng trình
a/

1.
y
b
+ =
x
a
GV biờn son: Nguyn Minh Nht 19
Ti Liu Bi Dng HSG B
2/Cho đờng thẳng (m 2)x + (m 1)y = 1
a/ Chứng minh rằng đờng thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
c/ Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng là lớn nhất.
Bài 6 Cho tam giác OAB (OA = OB). Vẽ đờng cao OH, AK biết OA = a,
ã
AOH

=
.
a/ Tính các cạnh tam giác AKB theo a và

.
b/ Tính các cạnh của các tam giác OKA và AKB theo a và 2

. Từ đó biểu diễn sin2

,
cos2

theo sin

, cos

2
++

+

y
y
x
y
=
20082008)1(
4
3
)2
1
()1(
2
2
++







+
y
y
x


+
=
+
=
+
1
11
)1(
)1(
1
kk
k
kk
k
kk
=








+
+








+

1
11
2
2
.
1
11
kkkkk
Giáo viên yêu cầu học sinh lên bảng làm.
GV biờn son: Nguyn Minh Nht 20
Ti Liu Bi Dng HSG B
Học sinh lên bảng làm.
Do đó :






<
2
1
1
1

<
+
1
1
1
1
2
)1(
1
nnn
Cộng các bđt trên, ta có:
2
1
1
12
)1(
1
...
13
1
12
1
<








1
2
với a, b
0


Đa pt về dạng
( )
( )
=+=+
abbaabba 25452
2
22
( )( )
022
=
baba
Giải pt ta tìm đợc x =
2
375
+
và x =
2
375


Bài 4:
Giáo viên vừa chữa vừa h ỡng dẫn cho học sinh.
Đặt t =
x


4xy = (x + y + z t
2
)
2
+ 4t
2
+ 4t (x + y z
t
2
)
z


(x + y + z t
2
)
2
+ 4zt
2
4xy = 4t (t
2
x y z)
z

Nếu t = 0 :
x
+
y
+




=
=
0
0
z
xy



0 z
0y
0x





=



=
=





++

)(4
44)(
2
222
zyxtt
xyztzyxt
Q
Lập luận tơng tự, ta suy ra:
x
,
y

Q
Bài 5
Giáo viên: Hãy nêu cách làm bài này?
1) Gọi đờng thẳng cần xác định là y = mx + n.
Đờng thẳng đi qua điểm (0 ; b) nên : b = m.0 + n

n = b.
Đờng thẳng đi qua điểm (a ; 0) nên: 0 = m.a + b

m =
a
b

(chú ý rằng a

0).

2x
o
+ my
o
y
o
1 = 0 với mọi
m


(x
o
+ y
o
)m (2x
o
+ y
o
+ 1) = 0 với mọi m





=
=





.
Gọi B là giao điểm của đờng thẳng (1) với trục hoành. Ta có: y = 0

x =
2
1

m
, do đó
OB =
2
1

m
.
GV biờn son: Nguyn Minh Nht 22
Ti Liu Bi Dng HSG B
Gọi h là khoảng cách Từ O đến đờng thẳng (1). Ta có:

2
1
2
1
)
2
3
(2562)2()1(
111
2222
222

) = a
2
[ ]
)2cos2cos21(2sin
22

++
. Vì sin
2
2 + cos
2
2 = 1 nên AB
2
= a
2
(1 + 1 2cos2) =
2a
2
(1 - cos2)
- So sánh giá trị của AK, ta có asin2 = 2a.sin. cos vậy sin2 = 2sin.cos
- So sánh giá trị của BK ta có: 2a.sin
2
. = a(1 cos2) hay cos2 = 1 2sin
2

GV biờn son: Nguyn Minh Nht 23
O
A
B
K

P =






+






+






+
a
c
c
b
b
a
111
Bài 2: a) Phân tích đa thức thành nhân tử:

. Vì vậy OK
2
+ CK
2
= 8a
2
+ a
2
= 9a
2
. Mặt
khác OC
2
= 9a
2
nh vậy, OC
2
= OK
2
+KC
2
. Theo định lí Pitago đảo thì OKC vuông
tại K hay OKC = 90
o
. Vì CBK= ABO và BCK = BAO, hơn nữa các góc này nhọn,
nên K thuộc phần mặt phẳng giới hạn bởi hai đờng thẳng song song AB và CD.Từ đó
BKC = BKO + OKC = 45
o
+ 90
o









−−+
−
−








+
+=
1aaaa
a2
1a
1
:
1a
a
1P
a. Rút gọn P.

+ = +
GV biên soạn: Nguyễn Minh Nhật 25