TRƯỜNG THPT NGUYỄN BỈNH KHIÊM
TỔ TOÁN – TIN
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH
GIỎI CẤP TỈNH

MÔN TOÁN LỚP 12 - NĂM HỌC 2010 - 2011
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề
Bài 1. (5.0 điểm)
1/ Cho hàm số
( )
2 3
1 1x m m x m
y
x m
− + + +
=
−
. Chứng minh rằng trên mặt phẳng toạ
độ tồn tại duy nhất một điểm vừa là điểm cực đại của đồ thị ứng với m nào đó
vừa là điểm cực tiểu của đồ thị ứng với giá trị khác của m.
2/ Tìm m để phương trình
( )
4 3 2
2 1 0x mx m x mx− + + − + =
có nghiệm duy nhất
1x ≥
.
Bài 2. (5.0 điểm)
1/ Giải phương trình:
3

x< <
và
( )
1
1
1
4
n n
x x
+
− >
.
Chứng minh rằng:
1
lim
2
n
x =

Bài 4. (5.0 điểm)
1/ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
( )
(
)
2
2 2 2 2
3 12
xy
A
x y x x y

x m
y
x m
= −

= ⇔

= +

BBT:
x -
∞
m-1 m m+1 +
∞

y’ + 0 - - 0 +
y
CĐ
-
∞
-
∞
+
∞
+
∞

CT
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( )

P
= A
1 7
;
2 4
−
 
−
 ÷
 
Vậy điểm A vừa là điểm cực đại và vừa là điểm cực tiểu ứng với các giá trị
m khác nhau.( ĐPCM).
b)
( )
4 3 2
2 1 0x mx m x mx− + + − + =

2
1 1
0x m x m
x x
   
⇔ + − + + =
 ÷  ÷
   
Đặt
1
, | | 2t x t
x
= + ≥

Dựa vào đồ thị hàm số f(t) ta có
4m ≥
1
1
0,5
1
1
0,5
Bài 2 a) ) D = R.
PT: 8 – x.
2
x
+
3
2
x−
- x = 0  8 – x.
2
x
-
8
2
x
- x = 0
 8(1+
1
)
2
x
- x(

S
H
I
K
( ) ( ) ( )
0 0
;
, 30 , 60
SBC ABC SH BC SH ABC
HI AB HK AC SIH SKH
∧ ∧
⊥ ⊥ ⇒ ⊥
⊥ ⊥ ⇒ = =
Tính HK hoặc HI để suy ra SH
3
8 3
3
3
SABC
SH a V a= => =
Bài 3:
a) C
( )
: 1 0 ;1CD x y C t t∈ + − = => −
Vì M trung điểm AC =>
1 3
;
2 2
t t
M

1
1
1 1
4
n n n n
x x x x
+
− > ≥ −
và
0 1
n
x< <
nên
1n n
x x
+
>
Dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn
Đặt
lim
n
a x=
. Ta có
( )
1
1
1
4
n n
x x

)
(
)
( ) ( )
2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2
1
ó : . :
3 1 1 12
1 1 12
1
1
1 3 12
1 3 1 1 12
3 1 1 12
1 1 12 1 1
. : 1 12 ( 1) 3 ( )
3 12 4 3
1
1
'( ) 0 3 ( ) (3)

 ÷
 
 
 
 
− +
⇒ = = =
 
+ −
+ + +
+ + +
 ÷
 
+ − −
= = + ≥ ⇒ = =
+ +
= −

⇒ = ⇔ ⇒ = ≤ = ⇒

=

1
ax .
18
à : lim ( ) 0 0
u
M A
V f u MinA
→∞


⇔


2
4
x k
x k
π
π
π
π

= +

<=>


= − +


với
k ∈ ¢
1
Chú ý: Mọi cách giải khác nếu đúng cho điểm tối đa