Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – Đồng Tháp
CHƯƠNG I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 1 : CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Dạng 1 : Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
• Tập xác định của hàm số là tập hợp những giá trị của x sao cho f(x) có nghĩa.
• Các hàm số y = sinx và y = cosx có tập xác định là R.
• Hàm số y = tanx có tập xác định D =
\ ,
2
k k
π
π
 
+ ∈
 
 
¢¡
.
• Hàm số y = cotx có tập xác định D =
{ }
\ ,k k
π
∈ ¢¡
.
Bài 1 : Tìm tập xác định của các hàm số sau :
a) y =
1
sin 2
cos
x
x

Vậy tập xác định của hàm số là D =
\ ,
2
k
k
π
 
∈
 
 
¢¡
.
d) Hàm số xác định khi :
os6 0
os6 0
sin3 0 sin12 0
sin 6 0
12
os3 0
c x
c x
k
x x x
x
c x
≠

≠

π

 
b) y =
t 6 5
3
co x x
π
 
− +
 ÷
 
Giải:
a) Hàm số xác định khi :
3
4 2 12 3
x k x k
π π π π
+ ≠ + π ⇔ ≠ +
Vậy tập xác định của hàm số là D =
\ ,
12 3
k
k
π
π
 
+ ∈
 
 
¢¡
.

f x f x
− ∈

⇒

− =

là hàm số chẵn.
+ Nếu
( )
( ) ( )
x D
f x
f x f x
− ∈

⇒

− = −

là hàm số lẻ.
Chú ý : Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng, đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm
tâm đối xứng. Hàm số y = cosx là hàm chẵn và các hàm số y = sinx, y = tanx, y = cotx là hàm lẻ.
Bài tập : Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau :
a) y = −4cos2x b) y = sin
3
4x – 3sinx
c) y =
tan cot 2
sin

2 2
k k
 
π 3π
+ π + π
 ÷
 
.
• Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng :
( )
(2 1) ; 2k k− π π
và nghịch biến trên mỗi
khoảng
( )
2 ;(2 1)k kπ + π
.
• Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng
;
2 2
k k
 
π π
− + π + π
 ÷
 
• Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng ( kπ ; (k +1)π).
Bài 1 : Không sử dụng máy tính, hãy so sánh các giá trị lượng giác sau đây :
a)
7
sin

2 12 24 2
π − π − π π
− < < <
suy ra,
7
sin
24
− π
>
5
sin
12
− π
.
b) Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng (0 ; π).
Do đó từ
4 17
0
5 20
π π
< < < π
suy ra,
17
cot
20
π
<
4
cot
5

thì 2x ∈
3
;
2 2
 
π π
−
 
 
Với x ∈
;
4 4
 
π π
−
 
 
⇔
2
2 2
x
π π
− ≤ ≤
: Hàm số y = sin2x đồng biến.
Với x ∈
;
4 4
 
π 3π
 

−
 ÷
 
thì 3x ∈
; ;
4 2 2 2
   
π π π π
− ⊂ −
 ÷  ÷
   
Do đó hàm số y = tan3x đồng biến trên khoảng
;
12 6
 
π π
−
 ÷
 
.
Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Phương pháp:
+ Dựa vào bảng biến thiên của hàm số lượng giác.
+ Dựa vào tính chất của hàm số lượng giác.
∀x∈R ta có −1 ≤ sinx ≤ 1 và −1 ≤ cosx ≤ 1.
+ Dựa vào các bất đẳng thức đã học.
• Cô-si : a + b ≥ 2
ab
(a, b ≥ 0), dấu “=” xảy ra khi a = b.
• Bu-nhi-a-cốp-xki : (ax + by)

2
0
y −1
Từ BBT ta có :
Hàm số đạt GTNN tại x = 1 và miny = −1.
Hàm số đạt GTLN tại x = ¼ và maxy =
2
2
.
Bài 2 : Tìm GTLN và GTNN của các hàm số :
a) y = 5sin(2x + π/4) + 8 b) y =
2
4 os 3 1c x− +
c) y = cos
2
x – 2cosx + 3
Giải
a) ∀x∈R, ta có : −1 ≤ sin(2x + π/4) ≤ 1 ⇔ −5 ≤ 5sin(2x + π/4) ≤ 5
⇔ 3 ≤ 5sin(2x + π/4) + 8 ≤ 13
Do đó : maxy = 13 và miny = 3.
b) ∀x∈R, ta có : 0 ≤ cos
2
3x ≤ 1 ⇔ 3 ≤ 4 – cos
2
3x ≤ 4
⇔
3
≤
2
4 – cos 3x

2
a
π
.
Các hàm số y = tan(ax + b) và y = cot(ax + b) tuần hoàn có chu kì T =
a
π
.
Bài tập : Chứng minh rằng hàm số sau tuần hoàn và tìm chu kì của nó : y = f(x) = sin2x.
Giải
Tập xác định : D = R
Ôn tập Đại số và giải tích 11
Gv; Phan Công Trứ - Trường THPT Thanh Bình 2 – Đồng Tháp
Với mọi x∈D ta có : x ± π∈D và f(x + π) = sin2(x + π) = sin2x = f(x).
Vậy hàm số y = sin2x tuần hoàn với chu kì là T = π.
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
1. Công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản :
• sinu = sinv ⇔ u = v + k2π hoặc u = π − v + k2π (k∈Z)
• cosu = cosv ⇔ u = ±v + k2π ⇔
2
2
u v k
u v k

= + π

= − + π

• tanu = tanv ⇔ u = v + kπ
• cotu = cotv ⇔ u = v + kπ

−
 ÷
 
; cotx = tan
2
x
 
π
−
 ÷
 
b. Đổi dấu hàm số lượng giác :
−sinx = sin(−x) ; −cosx = cos(π −x)
−tanx = tan(−x) ; −cotx = cot(−x)
c. Các trường hợp đặc biệt :
sinx = 1 ⇔ x = π/2 + k2π.
sinx = −1 ⇔ x = −π/2 + k2π.
sinx = 0 ⇔ x = kπ ⇔ cosx = ±1.
cosx = 0 ⇔ x = π/2 + kπ ⇔ sinx = ±1.
cosx = 1 ⇔ x = k2π.
cosx = −1 ⇔ x = π + k2π.
d. Ghép nghiệm (gộp nghiệm) phương trình lượng giác :
Một nghiệm của phương trình lượng giác thwongf là một họ cung và
một phương trình lượng giác thường có các nghiệm gồm nhiều họ cung như
thế ; các họ cung nhiều khi có các giá trị trùng lặp nhau nên ta thường ghép
nghiệm. Để việc ghép nghiệm được nhanh và dễ dàng ta thường biểu diễn
nghiệm trên đường tròn lượng giác và ghép các giá trị có điểm cuối (ngọn)
của cung trùng nhau trên đường tròn lượng giác hoặc dựa vào hình vẽ tìm
công thức chung cho các nghiệm.
Ví dụ :

B2