1
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1.1 Lý do chọn đề tài
Kể từ năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đổi mới hình thức thi
tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia ở bộ môn Toán là chuyển từ hình thức thi
tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm khách quan. Thực tế cho thấy việc thi theo
hình thức nào thì việc dạy và học không có gì thay đổi về chuẩn kiến thức kĩ năng.
Tuy nhiên, với hình thức thi trắc nghiệm cần lượng kiến thức bao quát hơn thay vì
tập trung sâu về một vấn đề. Để đáp ứng yêu cầu của hình thức thi trắc nghiệm, bên
cạnh việc dạy và học bao quát kiến thức, học sinh phải hiểu rõ bản chất vấn đề,
cũng như cần có kỹ năng làm bài nhanh. Mà công cụ hỗ trợ đắc lực cho học sinh đó
là máy tính cầm tay. Vì vậy trong khi giảng dạy, sau khi cung cấp kiến thức,
phương pháp giải bài tập thì đã hướng dẫn các em cách sử dụng máy tính cầm tay
với mục đích là giúp các em hoặc là kiểm tra kết quả tính toán hoặc là hỗ trợ tính
toán ở các bước trung gian. Đặc biệt là ở chương Số phức của chương trình Giải
tích 12, nhờ máy tính các em dễ dàng cho kết quả bài toán mà không cần tính toán
nhiều. Vì vậy, đối với một bộ phận không nhỏ học sinh đã xem việc biết sử dụng
máy tính là đủ mà không cần phải học lý thuyết cũng như các phương pháp giải mà
thầy cô đã cung cấp. Từ đó dẫn đến tình trạng các em sẽ không làm được ở các bài
tập vận dụng. Từ thực tế trên, tôi viết đề tài: “Dạy và học chương Số phức theo hình
thức thi trắc nghiệm khách quan”.
1.2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu:
1.2.1 Mục đích nghiên cứu:
- Giúp giáo viên định hướng tốt những phương pháp cũng như việc ra các
câu hỏi kiểm tra cuối chương hợp lý.
- Giúp học sinh nhận ra muốn làm tốt bài toán ở chương Số phức dưới hình
thức thi trắc nghiệm khách quan thì phải nắm vững kiến thức lý thuyết cũng như
vận dụng thành thạo phương pháp giải bài tập kết hợp với sử dụng MTCT. Đặc biệt
là không lạm dụng việc sử dụng máy tính.
1.2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Cung cấp kiến thức, phương pháp, kỹ năng giải bài tập chương Số phức kết

+ Phép cộng:  a  bi    c  di    a  c   b  d  i.
+ Phép trừ:  a  bi    c  di    a  c   b  d  i.
+ Phép nhân:  a  bi  c  di    ac  bd    ad  bc  i.
+ Phép chia:

a  bi  a  bi  c  di 

.
c  di
c2  d 2

●Các căn bậc hai của số thực a  0 là i a .
●Xét phương trình bậc hai ax2  bx  c  0 với a, b, c  R; a  0. Đặt
  b2  4ac.

+ Nếu   0 thì phương trình có một nghiệm kép (thực) x  
+ Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm thực x1,2 
+ Nếu   0 thì phương trình có hai nghiệm phức x1,2 

b
.
2a

b  
.
2a
b  i 
2a

.

2.3. Một số dạng bài tập và cách giải
2.3.1 Tìm các số thực x, y thỏa yêu cầu đề bài: Đối với dạng này yêu cầu
học sinh phải xác định được phần thực, phần ảo của số phức, vận dụng định nghĩa
hai số phức bằng nhau. Đồng thời kết hợp máy tính cầm tay.
●Ví dụ 1: Tìm các số thực x, y biết: 2 x 1  1  2 y i  2  x  3 y  2 i.
1
3

3
5

A. x  ; y  .
Giải

B. x  1; y  1.

C. x  3; y  1.

1
3

3
5

D. x   ; y  .


5

1

24
; y   . C. x  1; y  2.
11
11

D. x  

7
6
;y .
11
11

Giải
7

x



 4 x  3  y  1  4 x  y  2
11
Ta có: 


.
3
y

2

trình đường tròn, cách tìm tâm, bán kính của đường tròn, dạng của phương trình
đường thẳng, pt đường elip,… Kết hợp với các kiến thức về số phức như phần thực,
phần ảo, môđun, số phức liên hợp.
●Ví dụ 1: Trên mặt phẳng tọa độ tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa
mãn điều kiện phần thực của z bằng phần ảo của nó là:
A. đường tròn tâm O, bán kính 1.
B. hình tròn tâm O, bán kính 1.
C. đường thẳng có phương trình y  x.
D. đường thẳng có phương trình y   x.


6
Giải
Giả sử z  x  yi  x, y  R; i 2  1 .
Vì phần thực của z bằng phần ảo của nó nên ta có pt x  y .
Kết luận: Tập hợp điểm thoả yêu cầu đề bài là đường phân giác của góc phần
tư thứ nhất và góc phần tư thứ ba.
Chọn đáp án C.
Nhận xét: Học sinh phải nhớ phương trình đường phân giác của mặt phẳng
tọa độ Oxy.
●Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa
mãn điều kiện: z  i  z  2 là:
A. đường tròn tâm I  2;1 , bán kính
B. hình tròn tâm I  2; 1 , bán kính

2.
2.

C. đường thẳng có phương trình 4 x  2 y  3  0.
D. đường thẳng có phương trình 4 x  2 y  3  0.

Ta có: z  i  1  x  yi  i  1
 x   y 1 i  1  x2   y 1  1
2

 x 2   y  1  1.
2

Kết luận: Tập hợp điểm thoả yêu cầu đề bài là hình tròn tâm I  0;1 và bán
kính R  1.
Chọn đáp án B.
2.3.3 Tìm số phức z thỏa yêu cầu đề bài: Đối với dạng này yêu cầu học
sinh nắm vững các kiến thức về phần thực, phần ảo, môđun của số phức.
●Ví dụ 1: Tìm số phức z biết z  5 và phần thực của z bằng hai lần phần ảo
của nó.
10 3 5 3
10 3 5 3

iz 

i.
3
3
3
3

A. z  2 5  5i  z  2 5  5i.

B. z 

C. z  2  i  z  2  i.

 z  2 5  5i

.

Chọn đáp án A.
Nhận xét: Học sinh phải đọc hiểu đề biết chuyển từ diễn đạt bằng lời sang kí
hiệu Toán học, có kĩ năng giải hệ pt bằng phương pháp thế, kết hợp sử dụng MTCT.
●Ví dụ 2: Tìm số phức z biết z  (2  i)  10 và z. z  5.
A. z  1  2i  z  1  2i.

B. z  1  2i  z  1  2i.

C. z  2  i  z  2  i.

D. z  2  i  z  2  i.


8
Giải
Giả sử z  x  yi  x, y  R; i 2  1 .

 z   2  i   10

Ta có: 




z.z  5




.
y

2
y


2
y

2
x



 z  1  2i

.
Trả lời: Có hai số phức cần tìm là 
 z  1  2i

Chọn đáp án B.
Nhận xét: Học sinh phải có kĩ năng giải hệ pt bằng phương pháp thế, kết
hợp sử dụng máy tính cầm tay.
●Ví dụ 3: Tìm số phức z biết z  2 2 và z 2 là số thuần ảo.
A. z  2  2i  z  2  2i.

B. z  2  2i  z  2  2i.

Ta có: 


 x  2  x  2  x  2  x  2




.
y

2
y


2
y


2
y

2






Trả lời: Có bốn số phức cần tìm là: z1  2  2i; z 2  2  2i; z 3  2  2 i; z 4  2  2 i.


Giải
z1  z2  1  i    2  3i   13.

Chọn đáp án A.
●Ví dụ 3: Cho số phức z biết: z  4  3i 

5  4i
phần thực và phần ảo của z
3  6i

là :
A.

73
17
và  i.
15
5

B.

73
17
và  .
15
5

C. 



2

là số phức

nào?
A.

4
3
 i.
25 25

B. 

4
3
 i.
25 25

C.

3
4
 i.
25 25

D.

4


1  2i 1  2i

.
3  4i 3  4i


10
C. z 

1  2i 1  2i

.
3  4i 3  4i

D. z 

1  2i 1  2i

.
3  4i 3  4i

Giải
z

1  2i 1  2i 6
8


 i  A sai.


B. z  7  6 2i.

A. z  7  6 2i.

C. z  7  6 2i.

D. z  6 2i.

Giải
z



2  3i



2

 7  6 2i  z  7  6 2i.

Chọn đáp án C.
Nhận xét: Học sinh phải sử dụng thành thạo MTCT kết hợp với các kiến
thức về số phức như phần thực, phần ảo, số phức liên hợp.
Chế độ số phức: MODE2, nhập cả biểu thức vào máy và bấm “=”, máy cho
kết quả của z rất nhanh và chính xác.
Tìm môđun của số phức bấm SHIFT hyb rồi nhập biểu thức vào và bấm
“=”.
2.3.5 Giải phương trình trên tập số phức:

11
Nhận xét: Máy tính ở chế độ MODE 2 ta không bấm SHIFT CALC được.
●Ví dụ 2: Trên tập số phức, nghiệm cuả phương trình:  3  2i 2  z  i   3i là:
A. z  

36 15

i.
169 169

B. z 

15 36

i.
169 169

D. z  

C. z  5  14i.

36 154

i.
169 169

Giải

 3  2i 2  z  i   3i  z  i 
 z i  

 i.
17 17

C. z  1  9i.

3  5i
 2  4i là:
z

D. z  1  i.

Giải
3  5i
3  5i
7 11
 2  4i  z 
   i.
z
2  4i
10 10

Chọn đáp án A.
●Ví dụ 4: Trên tập số phức, nghiệm của phương trình:

 5  2i  z   2  i   4 z  3i là:
A. z 

2 8
 i.
17 17

5

D. z    i.


12
Nhận xét: Đối với pt chứa nhiều ẩn z, ta chuyển z về một vế, số về một vế
rồi đặt z làm nhân tử chung.
●Ví dụ 5: Trên tập số phức, nghiệm z của phương trình:  2  i  z  1  2i  i3 là:
1 3
5 5

B. z   i.

A. z  1  i

C. z  1  i

1 3
5 5

D. z   i.

Giải

 2  i  z 1  2i  i3   2  i  z  i3  1  2i
  2  i  z  1  3i

z


.
5 x  2 y  9
y  2

Vậy z  1  2i.
Chọn đáp án D.
2.3.5.3 Phương trình bậc hai với hệ số thực: Sử dụng MTCT cùng với các
kiến thức về phần thực, phần ảo, số phức liên hợp.
●Ví dụ 1: Trên tập số phức, nghiệm của phương trình: z 2  z  7  0 là:


13

1 3 3
i
z   
2
2
A. 
.

1 3 3
i
z   
2
2



1 3 3

1
z  
2


3
i
2 .
3
i
2

3
i
2 .
3
i
2

Giải

1 3 3
i
z   
2
2
2

z  z7 0
.

●Ví dụ 3: Cho số phức z có phần ảo âm và thỏa mãn z 2  3z  5  0. Tìm mô
đun của số phức: w  2 z  3  14i.
A. w  14  11.

B. w  5.

C. w  14  11.

Giải
z 2  3z  5  0  z 

3
11

i
2
2

3
11 
w  2 z  3  14i  2  
i   3  14i  14  11.
2
2



D. w  14.




C. M  2;  .
 2



Giải
1
4 z 2  16 z  17  0  z0  2  i
2
1 
1

w  iz0  i  2  i     2i.
2 
2


 1



Vậy điểm biểu diễn số phức w là điểm M   ; 2  .
 2 
Chọn đáp án B.
●Ví dụ 5: Gọi z1 và z2 là các nghiệm của phương trình z 2  3z  5  0. Gọi M,
N là các điểm biểu diễn của z1 và z2 trên mặt phẳng phức. Tìm độ dài của đoạn
MN.
A. MN  5.


2
2 
2



MN  0;  11  MN  11.

Chọn đáp án D.
Nhận xét: Yêu cầu học sinh sử dụng thành thạo MTCT, tìm môđun của số
phức bấm SHIFT hyb rồi nhập biểu thức vào và bấm “=”. Chú ý giả thiết số phức z
có phần ảo âm hoặc z0 là nghiệm phức có phần ảo dương để tìm z hoặc z0 cho
đúng.
●Ví dụ 6: Tìm b, c sao cho phương trình: z 2  bz  c  0 có một nghiệm là
z1  1  3i.

A. b  2 và c  10.

B. b  5 và c  2.


15
D. b  2 và c  5.

C. b  10 và c  5.
Giải

Vì z1  1  3i là một nghiệm của phương trình z 2  bz  c  0 nên ta có:

1  3i 

D. z 2  z  3  0.

Giải
 1 i 2 1 i 2  2

 1  i 2 1  i 2  3

Ta có: 







Suy ra 1  i 2 và 1  i 2 là hai nghiệm của pt: z 2  2 z  3  0.
Chọn đáp án B.
Nhận xét: Học sinh cần nắm hệ quả của định lí Vi-et. Ngoài ra, ta có thể sử
dụng MTCT lần lượt kiểm tra nghiệm của các pt ở 4 đáp án, pt nào có 2 nghiệm là
z  1  i 2 và z  1  i 2 thì chọn.

2.3.5.4 Phương trình bậc ba với hệ số thực: Dùng MTCT để tìm các
nghiệm của pt.
●Ví dụ 1: Trên tập số phức, nghiệm của phương trình: z 3  8  0 là:
A. z  2.

B. z  2.

C. z  2i  z  2i.


2

 a 11  2i   a  3  4i   b  1  2i   5  0
 a 8  6i   b  1  2i   5

 8a  b   6a  2b  i  5
 8a  b  5
a  1


6a  2b  0
b  3

 pt : z 3  z 2  3z  5  0.

Vậy các nghiệm còn lại là: 1 và 1  2i.
Chọn đáp án A.
2.3.5.5 Phương trình trùng phương với hệ số thực: Đặt ẩn phụ t đưa pt đã
cho về pt bậc hai ẩn t, bấm máy tìm nghiệm t rồi tìm z.
●Ví dụ: Ký hiệu z1 , z2 , z3 , z4 là bốn nghiệm của phương trình: z 4  z 2  12  0 .
Tính tổng: T  z1  z2  z3  z4 .
A. T  4.
B. T  2 3.
C. T  4  2 3.
Giải
Đặt t  z 2 , ta được pt: t 2  t  12  0
 z2  4
t4

 2


3.5  4.9

5  6.4

6.5  7.9

8  10

TB

trở

lên
Số lượng

0

1

2

10

24

36

Qua kết quả trên cho thấy đa số các em đạt điểm từ 8 đến 10 điểm, trong đó 5 em
đạt 10 điểm ( phụ lục 2) và 1 em thấp nhất là 4.5 điểm ( phụ lục 3). Một số em chọn

10 35
 i.
13 26

z

D.

10 14
 i.
13 25

Học sinh bấm máy tìm được z và chọn ngay đáp án A là sai vì đề bài yêu cầu tìm z
nên đáp án đúng là C.
Qua đó cho ta thấy việc thi trắc nghiệm đối với môn Toán đòi hỏi mức độ
nhanh và chính xác, cả hai yếu tố trên rất quan trọng khi làm bài. Vì vậy giáo viên
cần đưa ra những phương pháp cũng như hướng dẫn các em vận dụng thành thạo


18
vào giải các dạng bài tập kết hợp với việc hướng dẫn các em sử dụng thành thạo
MTCT để hỗ trợ tốt cho việc tính toán.


19
PHẦN 3: KẾT LUẬN
Để đáp ứng việc đổi mới kiểm tra đánh giá của Bộ giáo dục thì cả giáo viên
và học sinh đều phải đổi mới phương pháp dạy và cách học môn Toán cho phù hợp
với hình thức thi trắc nghiệm khách quan. Ở chương Số phức thay vì chỉ thi một câu
theo hình thức tự luận như những năm trước thì bây giờ phải thi sáu câu theo hình

PHỤ LỤC 1


24
PHỤ LỤC 1


25
PHỤ LỤC 2