SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 12
Năm học 2010 -2011
Thời gian: 150 phút
( Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (5 điểm)
Cho hàm số:
3
1
x
y
x
+
=
−
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Cho điểm
0 0 0
( ; ) ( )M x y C∈
. Tiếp tuyến của ( C) tại M
0
cắt các tiệm cận của
(C) lần lượt tại A và B. Chứng minh M
0
là trung điểm đoạn AB.
Câu 2: ( 6 điểm)
1. Tính tích phân: I =
1
0

b. Đường trung trực của AB là 3x+2y -4 =0 và tọa độ trọng tâm G(4;-2)
Câu 5: (3 điểm)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối
xứng với D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC. Chứng minh rằng MN vuông góc với BD, tính độ dài đoạn vuông góc chung
của MN và AC.
------------------- Hết -----------------------

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu1: 5 điểm
1. HS tự giải 3 điểm
2. 2 điểm
• Tính
0
0
0
3
1
x
y
x
+
=
−
• Đưa ra phương trình tiếp tuyến:
0 0
2
0
4
( )

− −
+ + + −
=
+ +
∫ ∫
=
1 1
0 0
( )
4 3
x x
x x
d e e
dx
e e
−
−
+
+
+
∫ ∫
= 4 +
2
1 1
0 0
1
4 3ln( ) 4 3ln
2
x x
e

, (k )
4
x k
π
π
⇔ = + ∈Ζ
Câu 3: 3 điểm
1. Biến đổi như vậy là sai vì:
Dấu “ =” thứ hai xảy ra khi :
• Cơ số âm thì số mũ phải nguyên
• Số mũ không nguyên thì cơ số phải dương.
Dễ thấy biểu thức trái với 2 điều kiện trên nên không đúng
2. Số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 7 nhỏ nhất là 105
Số tự nhiên có 3 chữ số chia hết cho 7 lớn nhất là 994
Bài toán trở thành:
“Cho cấp số cộng có U
1
=105,d=7, U
n
=994. Tìm n?”
Áp dụng công thức: U
n
=U
1
+(n-1)d suy ra n =128.
Câu 4: 3 điểm
1. Viết phương trình AC, Lấy giao AC và CK suy ra tọa độ C
Viết phương trình AB, Lấy giao AB và BH suy ra tọa độ B
2. Tìm tọa độ B: đối xứng với A qua đường trung trực.
Tìm tọa độ C: Sử dụng công thức tọa độ trọng tâm.