Chơng 8 chuyển động thế phẳng
Mục đích: Nghiên cứu một số đặc trng động lực học của chuyển động thế phẳng
của chất lỏng lý tởng
Phơng pháp: Sử dụng lý thuyết hàm biến phức
8.1- ứng dụng hàm biến phức
I. Thế phức:
Dòng chất lỏng lý tởng chuyển động có thế khi thoả mãn điều kiện:
0urot =
Khi đó ta đa vào hàm thế vận tốc , trong đó các thành phần vận tốc đợc xác định:
i
u
i


=
(i=x,y,z) (1)
Vectơ vận tốc:
= gradu
Ta giả thiết ;
dt
d
;
2
2
dt
d
là liên tục theo toạ độ
Ta nhận thấy bất kỳ hàm + C nào cũng thoả mãn (1) : thế của trờng vận tốc
chính xác đến hằng số.
Đối với chuyển động thế dừng: =(x,y,z); khi =(x,y,z)=const ta đợc phơng
trình mặt đẳng thế (mặt có thế bằng nhau)


=
Biểu thức (x,y) = C là phơng trình đờng dòng
1
Hàm thế và hàm dòng thoả mãn phơng trình Laplace; bởi vì:
Từ điều kiện không xoáy:
0
x
u
x
u
urot
x
y
x
=





=
ta có
0
yx
2
2
2
2
=



Nh vậy hàm thế và hàm dòng là các hàm điều hoà (Laplace=0)
Ta nhận thấy hàm thế và hàm dòng thoả mãn điều kiện Cauchy-Riemann (điều
kiện trực giao giữa đờng dòng và đờng đẳng thế)
0
yyxx
=





+





Trong lý thuyết hàm biến phức, nếu và là các hàm điều hoà và thoả mãn điều
kiện Cauchy- Riemann thì hàm phức (x,y) + i(x,y) là hàm của 1 biến số phức z
với z= x+iy=r(cos+isin)=e.exp(i)
Nh vậy tồn tại hàm phức W(z)= (x,y) + i(x,y) và còn gọi là thế phức.
Hình 1
II. Vận tốc phức
Lý thuyết hàm biến phức cho:
)iy(d
dW
dx
dW

yx
==


+


==
==


+


=
u=u
x
+iu
y
gọi là vận tốc phức;
u
= u
x
+iu
y
gọi là vận tốc liên hợp; mặt phẳng (u
x,
u
y
)

y = Const là họ các đờng thẳng song song với trục y.
Các thành phần vận tốc:
1x
a
yx
u =


=


= 0
xy
u
y
=


=


=
Vậy ta có chuyển động thẳng theo phơng x (hình2a)
3
=const
y
x
=const
u
x


=
1y
a
xy
u =


=


=
So với cas a thì các đờng dòng và các đờng đẳng thế đổi chỗ cho nhau; các hình
chiếu vận tốc cũng đổi chỗ cho nhau.
c) a là số phức: a = a
1
+ ia
2
(a
1
; a
2
là số thực dơng)
Thế phức có dạng:

( ) ( )( ) ( ) ( )
+=++=++== iyaxaiyaxaiyxiaaazzW
122121
Vậy
( ) ( )

2
Cx
a
a
y +=
Đây là phơng trình các đờng thẳng nghiêng vuông góc với nhau (hình 2b)
II. Điểm nguồn và điểm hút:
Thế phức:
( )
+=++=+===

iiarlnaelnarlna)reln(azlnazW
ii
Hàm thế vận tốc: =alnr : =const r = const: đờng đẳng thế là họ
các vòng tròn có tâm trùng với gốc toạ độ
Hàm dòng: =a : =const = const: đờng dòng là họ đờng
thẳng đi qua gốc toạ độ
4
Hình 2a
Các thành phần vận tốc của chuyển động biểu diễn dới dạng toạ độ trụ:
( )
0
r
1
u
r
a
rlna
rr
u

2
0
2
0
r
===


Nh vậy hằng số a của thế phức có thể biểu diễn qua Q:

=
2
Q
a
Thế phức có dạng
zln
2
Q
W
z

=
III Chuyển động xoáy (xoáy thế vận tốc):
Xét thế phức W=a lnz trong đó a là số ảo: a=ia
1
(a
1
là số thực)
W=a lnz =ia
1

=


=
=


=


=

ý nghĩa của a
1
: ta định nghĩa
1
1
2
0
s
a2r2
r
a
rd.udsu ====



:lu số vận tốc
(circular).
Thay vào biểu thức của thế phức:

Khảo sát thé phức:
z
1
2
m
W
z

=
Thay z=x+iy ta có
( )
( )( )
( )
22
z
yx
iyx
2
m
iyxiyx
iyx
2
m
W
+


=
+


= Cy: họ cácvòng tròn có tâm nằm trên trục y và
đi qua gốc toạ độ
Chuyển động này là chuyển động lỡng cực, m gọi là moment của lỡng cực
6
=const
=const