Phòng Giáo dục- Đào tạo
đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện
năm học 2008 - 2009
môn: Toán 8
(Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi này gồm 1 trang
Bi 1 (4 im): Cho biu thc









++
+

=
222222
2
11
:
y
4xy
A
xxyyxyx
a) Tỡm iu kin ca x, y giỏ tr ca A c xỏc nh.
b) Rỳt gn A.
c) Nu x; y l cỏc s thc tho món: 3x

2
= xy + yz + zx
v
2010200920092009
3
=++
zyx
Bi 3 (3 im): Chng minh rng vi mi n
N

thỡ n
5
v n luụn cú ch s tn cựng ging nhau.
Bi 4 (7 im): Cho tam giỏc ABC vuụng ti A. Ly mt im M bt k trờn cnh AC. T C v mt
ng thng vuụng gúc vi tia BM, ng thng ny ct tia BM ti D, ct tia BA ti E.
a) Chng minh: EA.EB = ED.EC v
ã
ã
EAD ECB=
b) Cho
ã
0
120BMC =
v
2
36
AED
S cm=
. Tớnh S
EBC


(vi
x 0,y 0
)
1
đề chính thức
Phßng Gi¸o dôc- §µo t¹o
*****
®¸p ¸n vµ híng dÉn chÊm thi häc sinh giái
n¨m häc 2008 - 2009
m«n: To¸n 8
Bài 1 : (4 điểm)
a) Điều kiện: x
≠
±
y; y
≠
0 (1 điểm)
b) A = 2x(x+y) (2 điểm)
c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A
+ Từ (gt): 3x
2
+ y
2
+ 2x – 2y = 1
⇒
2x
2
+ 2xy + x
2

− + =


+ =


≠ ± ≠


⇔

1
x
2
3
y
2

=




=



+ A = 1 khi
( )
2

Bài 2: (4 điểm)
a)
x 11 x 22 x 33 x 44
115 104 93 82
+ + + +
+ = +
x 11 x 22 x 33 x 44
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
115 104 93 82
+ + + +
⇔ + + + = + +
x 126 x 126 x 126 x 126
115 104 93 82
+ + + +
⇔ + = +
x 126 x 126 x 126 x 126
0
115 104 93 82
+ + + +
⇔ + − − =
...⇔
x 126 0⇔ + =
x 126⇔ = −
b) x
2
+ y
2
+ z
2
= xy + yz + zx

x
2009
= y
2009
= z
2009
Thay vào điều kiện (2) ta có 3.z
2009
= 3
2010

⇔
z
2009
= 3
2009

⇔
z = 3
Vậy x = y = z = 3
Bài 3 (3 điểm)
Cần chứng minh: n
5
– n
M
10
- Chứng minh : n
5
- n
M

5
– n
M
10
Suy ra n
5
và n có chữ số tận cũng giống nhau.
Bµi 4: 6 ®iÓm
IP
Q
H
E
D
A
B C
M
C©u a: 2 ®iÓm
* Chøng minh EA.EB = ED.EC (1 ®iÓm)
- Chøng minh
∆
EBD ®ång d¹ng víi
∆
ECA (gg) 0,5 ®iÓm
3
- Từ đó suy ra
. .
EB ED
EA EB ED EC
EC EA
= =



ã
ABM
= 30
o
0,5 điểm
- Xét

EDB vuông tại D có
à
B
= 30
o

ED =
1
2
EB


1
2
ED
EB
=
0,5 điểm
- Lý luận cho
2
EAD

CQD (cgc)
ã
ã
ã
ã
` 90
o
BDP DCQ
CQ PD
ma BDP PDC

=



+ =


1 điểm
Câu d: 1 điểm
- Chứng minh

BMI đồng dạng với

BCD (gg)
- Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm
- Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC
2
có giá trị không đổi 0,5 điểm
Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB

Biu thc ó cho tr thnh P = t
2
3t + 3
P = t
2
2t t + 2 + 1 = t(t 2) (t 2) + 1 = (t 2)(t 1) + 1
4
- Nếu x; y cùng dấu, theo c/m câu a) suy ra t
≥
2.
t 2 0⇒ − ≥
;
t 1 0
− >

( ) ( )
t 2 t 1 0
⇒ − − ≥
P 1⇒ ≥
. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2
⇔
x = y (1)
- Nếu x; y trái dấu thì
x
0
y
<
và
y
0

- Vì đa thức chia (x – 2)(x
2
– x + 1) là đa thức bậc 3 nên đa thức dư R(x) có bậc
≤
2
- Từ (1)
⇒
dư trong phép chia f(x) : (x – 2) chính là dư trong phép chia R(x) : (x – 2), mà R(x) là đa
thức có bậc
≤
2, và f(x) : (x – 2) dư 4 (gt)
⇒
R(x) = (x – 2)(kx + p) + 4
- Lập luận tương tự trên
5