CÁC CHUYÊN ĐỀ

HÀM SỐ LIÊN TỤC
LỚP 11
CHUYÊN ĐỀ 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

 f1 ( x) khi x  x0
Dạng 1: Xét tính liên tục của hàm số f  x   
tại điểm x0
 f 2 ( x) khi x  x0

f ( x)  lim f1 ( x)
Bước 1: Tìm TXĐ và Tính giới hạn: xlim
x
x x
0

0

Bước 2: Tính f  x0   f 2  x0  .
f ( x)  f  x0 
Bước 3: Hàm số tiên tục tại x0 nếu xlim
x
0

Bài 1.
 x3  8
khi x  2

a. Xét tính liên tục của hàm số f  x    x  2
tại x0  2

 x  a khi x  1

Hướng dẫn
Hàm số xác định với mọi x 
Ta có: f  1   a  1;

.
x2  1
 lim  x  1   2
x 1 x  1
x 1

lim f ( x)  lim
x 1

 Nếu: lim f ( x)  f  1   2  a  1  a  1 thì hàm số liên tục tại điểm x0  1
x 1
 Nếu: lim f ( x)  f  1   2  a  1  a  1 thì hàm số gián đoạn tại điểm x0  1
x 1
 sin  x khi x  1

Bài 3. Xét Tính liên tục của hàm số f  x    x  1
tại x  1
  khi x  1

Hướng dẫn
Ta có:
lim f  x   lim
x 1
x 1


f  2  1 .

lim f  x   lim
x 2

x 2

 x  2  x  2  lim x  2  4 .
x2  4
 lim
2
x  3x  2 x2  x  2  x  1 x2 x  1

Vì lim f  x   f  2  nên hàm số đã cho gián đoạn tại x  2 .
x 2


1  cos 2 x
  
x    ;  \ 0
sin x 
sin x
Bài 5. Cho hàm số f  x   
. Xét tính liên tục của hàm số tại
 2 2

 2 khi x  0

x  0.

sin
x








2. sin x 

2.sin x 
f
x

lim
sin
x


lim
sin
x







khi x  2

Bài 6. Xét Tính liên tục của hàm số f  x    x  2
tại x 
 2 2 khi x  2

2

 x2  4
khi x  2

Bài 7. Xét Tính liên tục của hàm số f  x    x 2  2 x
tại x  2
 2 khi x  2
1  2x  3

khi x  2
Bài 8. Xét Tính liên tục của hàm số f  x    2  x
tại x  2
1 khi x  2

Bài 9.

Xét tính liên tục của hàm số được chỉ ra:

x3
khi x  1

1. f  x    x  1
tại x  1. ĐS: LT


4. f  x    2  x
tại x0  2 . ĐS: LT
1 khi x  2


 2  7 x  5 x 2  x3
khi x  2

5. f  x    x 2  3x  2
tại x0  2. ĐS: LT
1 khi x  2

Bài 10. Xét tính liên tục của hàm số được chỉ ra:

 3x  2  4 x 2  x  2
khi x  1

x 2  3x  2
1) f  x   
tại x  1 .
 1 khi x  1
 2


1
 x. 1 
2) f  x   
x
1 khi


x0

 f1 ( x) khi x  x0
Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số f  x   
tại x0
 f 2 ( x) khi x  x0

Phương pháp:
Bước 1: Tính f  x0  .
Bước 2: (Liên tục trái) Tính : lim f ( x)  f  x0 
x  x0

Bước 3: (Liên tục phải) Tính : lim f ( x)  f  x0 
x  x0

Bước 4: Hàm số liên tục nếu lim f ( x)  lim f ( x)  f  x0 
x  x0

x  x0

BÀI TẬP MẪU
x5

khi x  5

Bài 1. Xét tính liên tục của hàm số f  x    2 x  1  3
tại x  5
  x  5 2  3 khi x  5


 ( x  1) 2 khi x  0
a. Hàm số: f  x    2
gián đoạn tại điểm x  0
 x  2 khi x  0

b. Mỗi hàm số: g  x  

 1
khi x  1

x  3 và h  x    x  2
liên tục trên tập xác định của nó.
 1 khi x  1
 x

Hướng dẫn
a. Hàm số xác định với mọi x 

Ta có: lim f  x   lim  x 2  2   2 ; lim f  x   lim  x  1 2  1
x 0 

x 0 

x 0

x 0

 lim f  x   lim f  x   hàm số gián đoạn tại điểm x  0
x 0


khi x  1

a. Tìm a để f  x  liên tục trái tại điểm x  1
b. Tìm a để f  x  liên tục phải tại điểm x  1
c. Tìm a để f  x  liên tục trên

.
Hướng dẫn

HDedu - Page 5


Ta có:

 x  2 khi x  1

f  x   a
khi x  1 .
 2  x khi x  1


a. Để f  x  liên tục trái tại điểm x  1  lim f ( x) tồn tại và lim f ( x)  f  1 
x 1

x 1

Ta có: lim f ( x)  lim  2  x   1 và f  1   a  a  1
x 1

x 1


, khi x  8

tại x  8 .

, khi x   8

Hướng dẫn
Tập xác định: D 

và x  8  D .

f  8  2.(8)  8  8 .

lim f  x   lim  2 x  8  8 .

x 8

x 8

lim f  x   lim

x 8

x 8

 x  8 x  8  lim x  8  16 .
x 2  64
 lim
 


Hướng dẫn
Tập xác định: D 

và x  1 D .

1
f 1  .
4

1
1
lim f  x   lim x  .
x 1 4
4

x 1

HDedu - Page 6




x3

x3 2
lim f  x   lim
 lim
x 1
x 1

x3 2



 lim
x 1

1
1
 .
x3 2 4

1
 f 1
4

Vậy hàm số đã cho liên tục tại x  1 .

BÀI TẬP TỰ GIẢI
1  cos x khi x  0
Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số f  x   
tại x  0
 x  1 khi x  0
 x  3 khi x  0

2
Bài 7. Xét tính liên tục của hàm số f  x   
tại x  0
x


x

khi x  0

2
3. f  x   
tại x0  0. ĐS: LT.
 x  1  1 khi x  0
 3 1  x  1
 x5
khi x  5

4. f  x    2 x  1  3
tại x  5 ĐS: LT
2
 x  5   3 khi x  5


1  cos x khi x  0
5. f  x   
tại x  0. ĐS: KLT

 x  1 khi x  0

 x 1
khi x  1

6. f  x    2  x  1
tại x  1. ĐS: LT.
2 x khi x  1

 2

 x 2  1  3  x  12


x 1

2) f  x    2
 3
x 1

 2  x 1

1  2 x  1

 sin 2 x
 1
3) f  x   
 2
 x2  4x  1



khi x  1
khi x  1 tại x  1 .
khi x  1

khi x  0
khi 0  x  2 tại x  0 và x  2
khi x  2

4
, khi x  2


x5

khi x  5

3) f  x    2 x  1  3
trên  10;10 
2
  x  5   3 khi x  5


Hướng dẫn
1) TXĐ: D 

.

Với x0   0;6  ta luôn có: lim f  x   x02  4 x0  1  f  x0   hàm số liên tục trên  0;6  .
x x0

2) Tập xác định: D 

.

x02  4
3 
3 
 f  x0   hàm số liên tục trên  ; 2  .



3 
Vậy hàm số liên tục trên  ;5  .
2 

3) Hàm số xác định với mọi x 
Với x0   10;5  lim f  x    x0  5  3  f  x0   hàm số liên tục trên  10;5  .
2

x  x0

Với x0   5;10   lim f  x  
x  x0

x0  5
 f  x0   hàm số liên tục trên  5;10  .
2 x0  1  3

Ta xét tính liên tục của hàm số tại x  5
Ta có:
f 5  3
2
lim f  x   lim   x  5   3   3
x 5

x 5

 x  5   2x  1  3 
x5

x0   1;1 , ta có lim f  x   lim 1  x 2  1  x02  f  x0  .
x  x0

x  x0

Suy ra hàm số liên tục trên khoảng  1;1 .
Mặt khác: lim f  x   lim 1  x 2  0  f  1 ; lim f  x   lim 1  x 2  0  f 1 .
x 1

x 1

x 1

x 1

Vậy hàm số liên tục trên đoạn [1;1] .
2) TXĐ: D 

.

3 
x0   ;5  hàm số luôn liên tục ( đã làm ở Bài 1)
2 

HDedu - Page 10


2

3

x 5 5
   3.  5  2
 x5

3 
 2 ;5 .

Bài 3: Chứng minh rằng:
a. Hàm số f  x   x4  x 2  2 liên tục trên

.

b. Các hàm số f  x   x3  x  3 và g  x  

x3  1
liên tục tại mọi điểm x 
x2  1

.

Hướng dẫn
a. Hàm số f  x  là hàm đa thức nên nó liên tục trên

.

b. Ta lần lượt có nhận xét:


Hàm số f  x  là hàm đa thức nên nó liên tục trên


2



1
1
Ta có: lim f ( x)  lim 2 x  1  0  f   nên hàm số f  x  liên tục phải tại điểm x0  .
1
1
2
2
x
x
2

2

1
Vậy, hàm số liên tục trên nửa khoảng  ;   .
2




Bài 5: Chứng tỏ rằng hàm số sau liên tục trên

 x cos 1 khi x  0

biết f  x   
.

 x 2  x khi x  1
Bài 6: Xét tính liên tục của hàm số sau trên toàn trục số : f  x   
.
 ax  1 khi x  1

Hướng dẫn
Hàm số xác định với mọi x 

.

1. Khi x  1 , ta có f  x   x2  x nên hàm số liên tục với x  1 .
2. Khi x  1 , ta có f  x   ax  1 nên hàm số liên tục với x  1 .
3. Khi x  1 , ta có :
lim f  x   lim  x 2  x   2

x 1

x 1

lim f  x   lim  ax  1   a  1

x 1

x 1

f 1  a  1 .

Do đó :



+ TXĐ: D 

.

Ta có:
+ Trên khoảng (;1) : f  x   2 x  4 là hàm đa thức nên f  x  liên tục trên (;1) .
+ Trên khoảng (1; ) : f  x   x 2  x  1 là hàm đa thức nên f  x  liên tục trên (1; ) .
+ Tại điểm x0  1 , ta có: f (1)  13  1  1  3 ;
lim f ( x)  lim(2
x  4)  6


x 1

x 1

lim f ( x)  lim(
x3  x  1)  3


x 1

x 1

Vì lim f ( x)  lim f ( x) nên không tồn tại lim f ( x) . Vậy hàm số không liên tục tại điểm x0  1 .
x 1

x 1

x 1

lim f ( x)  lim
x 3

x 3

x2  2x  3
( x  1)( x  3)
 lim( x  1)  4
 lim
x 3
x 3
x 3
x 3

Vì lim f ( x)  f (3)  4 nên f ( x) liên tục tại điểm x0  3 .
x 3

Từ (1) và (2) suy ra f ( x) liên tục trên

(2)

.

BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng

 x 2  3x  7 khi x  2
1. f  x   
; ĐS: Lt/R
1

4 khi x  2

 x2  2
khi x  2

5. f  x    x  2
; ĐS: Lt /R
2 2 khi x  2


 x 2  3x  10
khi x  2

2
x

4

 2x  3
6. f  x   
khi 2  x  5 ; ĐS: KLt tại x  5.
x

2

3x  4 khi x  5


HDedu - Page 13


khi x  1

khi x  2
khi x  2
khi x  2

 2x  1 1
khi x  0; x  1

2
 x  x
3) f  x   1
khi x  0
3
khi x  1



 sin x
   x
4) f  x   
1
 2

khi

x 

khi


x 1

 x2  2   x  1   3
x3  x 2  2 x  2
 lim
x 1
x 1
x 1

f 1  m2  1
Để hàm số liên tục tại x  1  lim f  x   f 1  m2  1  3  m  2 .
x1

Vậy: …………………
3x  5 khi x  2
Bài 2: Cho hàm số f  x   
. Với giá trị nào của a thì hàm số f  x  liên tục
ax  1 khi x  2

x  2 ?

Hướng dẫn
Tập xác định D 

và x  2  D .

Ta có: f  2   11
lim f  x   lim  3x  5  11

x 2

khi x  1
 m

x 1?

Hướng dẫn
Hàm số xác định tại x  1 .
Ta có f (1)  2019m . Tính lim
x 1

3

6x  5  4x  3
.
( x  1) 2

Đặt t  x  1 thì x  t  1 , x  1 thì t  0
3





6 x  5  4 x  3 3 6t  1  4t  1 3 6t  1  (2t  1) (2t  1)  4t  1



.
( x  1) 2
t2


  2 .
 lim
Vậy lim

2


x 1
t

0
2
2
3
( x  1)
  3 (6t  1)  (2t  1) 6t  1  (2t  1)  (2t  1  4t  1) 




3

Để hàm số liên tục tại x  1 khi f (1)  lim

3

x 1

2020

lim f  x   lim  m 
  m 1.
x 0
x 0 
1 x 

 1 x  1 x 
lim f  x   lim 
  xlim

x 0
x 0
x

 0 x



2 x
1 x  1 x



 lim
x 0



2
1 x  1 x

+ Khi x  1 thì f  x   2 x  a là hàm đa thức nên liên tục trên khoảng  ;1 .
x3  x 2  2 x  2
+ Khi x  1 thì f  x  
là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng 1;    nên liên
x 1

tục trên khoảng 1;    .
+ Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x  1 , ta có:
* f 1  2  a .
* lim f  x   lim  2 x  a   2  a .
x 1

x 1

 x  1  x  2 
x3  x 2  2 x  2
 lim
 lim  x 2  2   3 .
* lim f  x   lim
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
2

Hàm số f  x  liên tục trên

 hàm số f  x  liên tục tại x  1

là hàm phân thức hữu tỉ xác định trên khoảng  0;9  nên liên
x

tục trên khoảng  0;9  .
+ Tại điểm x  0 :
Ta có f  0  m và lim f  x   lim
x 0

x 0

1
3 9 x
1
 .
 lim
x 0 3  9  x
x
6

Vậy để hàm số liên tục trên 0;   thì khi hàm số liên tục tại x  0  lim f  x   f (0)  m 
x0

1
.
6

HDedu - Page 17


 x 2  3x  2

Vậy điều kiện là a  1
b) Để f  x  liên tục phải tại điểm x  1
 lim f  x  tồn tại và lim f  x   f 1
x 1

x 1

Ta có: lim f  x   lim  x  2   1 và f 1  a
x 1

x 1

Vậy điều kiện là a  1
c) Hàm số liên tục trên

trước hết phải có: lim f  x   lim f  x   1  1 (mâu thuẫn)

Vậy không tồn tại a để hàm số liên tục trên

x 1

x 1

.

Bài 8.
 x2  x  4
nÕu x  2

a) Cho hàm số f  x    x  2

x 7 3

Chỉ ra: x  2 : hàm số liên tục.
Kết luận: Hàm số f  x  liên tục trên khoảng  7;  
b) a  1 và b  2 thì hàm số liên tục.

 x2  x  6
 x x 3

 

Bài 9: Cho hàm số: f  x   
a

b



nÕu x  x  3  0
nÕu x  0
nÕu x  3

Với a, b là hai tham số. Tìm các điểm gián đoạn của hàm số
Hướng dẫn
D

nên ta chỉ xét sự gián đoạn của hàm số tại các điểm x  0 và x  3

 Tại x  0 , ta có f  0   a và lim f  x   lim
x 0


5
và với mọi a thì điểm gián đoạn của hàm số là x  0
3

nÕu x  1
 ax  b

nÕu 1  x  2 liên tục tại điểm x  1 và
Bài 10: Tìm các giá trị của a và b để hàm số f  x    3x
bx 2  a
nÕu x  2


gián đoạn tai x  2
Hướng dẫn
Hàm số liên tục tại x  1 và gián đoạn tại c  2 thì
 lim f  x   lim f  x   f 1 a  b  3
a  b  3
 x 1
x 1



f  x   lim f  x 
4b  a  6 b  3
 xlim
 2
x 2


 g (2)  m  6  0
m2  3m  2  0
2


'

m

3
m

2

0


 m  2
TH 2: 

 '  (m  2)2
 x1  m   '  2



3  17
3  17
m 

m6


x  2mx  3m  2 6  m
2

Hàm số liên tục tại x  2 

3
 3  m  5 (thỏa (*))
6m

 x  1 1
khi x  0

Bài 12: Tìm m để các hàm số f ( x)  
liên tục trên
x
2 x 2  3m  1 khi x  0


Hướng dẫn
 Với x  0 ta có f ( x) 

x 1 1
nên hàm số liên tục trên  0;  
x

2
 Với x  0 ta có f ( x)  2 x  3m  1 nên hàm số liên tục trên (;0) .

Do đó hàm số liên tục trên

m
2
6

HDedu - Page 20


Vậy m  

1
thì hàm số liên tục trên
6

.

 x3  3x 2  2 x
khi x( x  2)  0
 x( x  2)

khi x  2
Bài 13: Xác định a, b để các hàm số f ( x)  a
liên tục trên
b
khi x  0



Hướng dẫn
Hàm số liên tục trên



 x3  x 2  2 x  2
khi x  1

1. f  x   
tại x  1. ĐS: m  0.
x 1
3x  m khi x  1

 x3  2 x  3
5
khi x  1

2. f  x    x 2  1
tại x0  1. ĐS: a  .
2
a khi x  1


 x 2 khi x  1
3. f  x   
tại x  1. ĐS: m  2.
2mx  3 khi x  1

3x 2  2 x  1 khi x  1
4. f  x   
tại x0  1. ĐS: a  2.
2 x  a khi x  1
 1 x  1 x
khi x  0

 x2  x  2
khi x  2

1. f  x    x  2
ĐS: m  3
m khi x  2


 x 2  x khi x  1

khi x  1 ĐS: m  1.
2. f  x   2
mx  1 khi x  1


 x3  x 2  2 x  2
khi x  1

3. f  x   
ĐS: m  0.
x 1
3x  m khi x  1


 x 2 khi x  1
4. f  x   
ĐS: m  2.
2
mx


1

x

khi x  1

x

 x 2 .sin x khi x  0
Bài 5. Tìm m để hàm số f  x   
liên tục tại x  0
 m khi x  0
nÕu x  0
 xa
Bài 6. Cho hàm số y  f  x    2
. Tìm a, b để hàm số liên tục.
ax  bx  1 nÕu x  0

Đáp số: với a  1, b bất kì thì hàm số liên tục trên
Bài 7. Tìm điều kiện của các tham số để hàm số liên tục tại điểm chỉ ra.
 a.sin x
khi x  0
 x

khi x  0 tại x  0
1) f  x   1
 a2
1
  1  x 2  x2 khi x  0
 e

Bài 8. Cho hàm số f  x   
3


nÕu x  2
. Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x  2 .
nÕu x  2

 3 3x  2  2

x 3
Bài 9. Tìm a để hàm số f  x   
 a  2  x  1

4

Bài 10.

liên tục trên

.

nÕu x  2

Tìm điều kiện của các tham số để hàm số liên tục trên R.

khi x  2
x 1
1) f  x   
2

HDedu - Page 23


CHUYÊN ĐỀ 4: SỬ DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ
NGHIỆM

Phương pháp:
Cho phương trình f  x   0 , để chứng minh phương trình có k nghiệm trong  a, b  , ta thực hiện
theo các bước sau:
B-íc 1: Chọn các số a  T1 T2  ... Tk

1

 b chia đoạn  a, b  thành k khoảng thoả mãn :

 f (a). f (T1 )  0

.
 ...
 f (T ). f (b)  0

k 1
B-íc 2: Kết luận về số nghiệm của phương trình trên đoạn  a, b  .

BÀI TẬP MẪU
Dạng 1: Phương trình không chứa tham số.
Bài 1. Chứng minh rằng phương trình x5  x  1  0 có nghiệm trên khoảng  1;1  .

Hướng dẫn
Xét hàm số f  x   x5  x  1 liên tục trên

Bài 3.

Chứng minh rằng phương trình x3  x  1  0 có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn 1 .
Hướng dẫn

Xét hàm số f  x   x3  x  1 liên tục trên

.

Ta có: f  1  . f  0   1.1  1  0 .
HDedu - Page 24


Vậy, phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng  1;0  , do đó nó có ít nhất một nghiệm
âm lớn hơn 1 .
Bài 4.

Chứng minh rằng phương trình 2 x  6 3 1  x  3 có ba nghiệm phân biệt thuộc  7;9  .
Hướng dẫn

Đặt t  3 1  x . Khi đó, phương trình có dạng: 2t 3  6t  1  0
Xét hàm số f  t   2t 3  6t  1 liên tục trên

.

Ta có: f  2   3, f  0   1, f  1   3, f  2   5 ,
suy ra:


f  2  . f  0   3  0 , phương trình có một nghiệm t1   2; 0  , khi đó:

Chứng minh rằng phương trình 4 x3  8 x 2  1  0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng

 1; 2 
Hướng dẫn
Đặt f  x   4 x3  8 x 2  1 .
+ Ta có f  1  11 , f  2   1 nên f  1 . f  2   0
+ Hàm số f  x   4 x3  8 x 2  1 liên tục trên

nên liên tục trên  1; 2  .
HDedu - Page 25