GVTH : Nguyn Hng Trung
TRNG THPT HM THUN BC
TO TOAN
BAỉI DAẽY

2
)( xxf
=
)(xf
1x
limvà f(1) Tính
→
có) nếulimvà f(1) sánh So
1x
( )(xf
→
? gnét khôn liền đườngmột là có này thò Đồ
. số hàmcủa thò đồ phácVẽ

2
)( xxf
=
1)1( =f
1lim)(lim
2
11
==
→→
xxf

3
•
y
x
o 1
1
2
y
x
o
1
1
Đồ thị không là một đường liền nét
Đồ thị không là một đường liền nétĐồ thị là một đường liền nét
)1()(lim
1
fxf
x
≠
→
)1()(lim
1
fxf
x
=
→
)(lim
1
xf
x

các nghành toán học khác. Người ta
gọi đó là các hàm số liên tục

HÀM SỐ LIÊN TỤC

1.Hàm số liên tục tại một điểm:
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng Kvà
x
0
∈K.

)()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x
0
nếu:
a) Định nghĩa:

2
3 4 1
; 1
( )
1
5 ; 1
x x

3 4 1 ( 1)(3 1)
lim ( ) lim lim
1 ( 1)
1 1 1
x x x x
f x
x x
x x x
− + − −
= =
− −
→ → →
lim (3 1) 3.1 1 2
1
x
x
− = − =
→
Vì f(1) ≠
1
limf(x)
x→
Hàm số đã cho khơng liên
tục tại x = 1
Đồ thị minh họa

VD2 :
Cho
2
; 0

y = 0
y = x
2
a
f(x)=f(0)= a
Limf(x)=limf(x
2
)=0
khi x tiến về 0
Vậy a = 0 thì hàm số
liên tục

II. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN KHOẢNG , ĐOẠN :
* f(x) liên tục trong (a;b) ⇔ f(x) liên tục tại mọi x
0
∈(a;b)
* f(x) liên tục trên [a;b]
lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
x a
x b
f x f a
f x f b
+
−
→
→




Giải thích:
Điều kiện cần và đủ để : là
Lxf
xx
=
→
)(lim
0
)(lim),(lim
00
xfxf
xxxx
+−
→→
đều tồn tại và bằng L

III. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ CƠ BẢN

Ví dụ:
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác
định của nó

Ví dụ: Chứng minh rằng phương trình
f(x) = x
3
+2x – 5 = 0 có ít nhất một nghiệm
Giải
Xét hàm số trên ta có :
f(0)= - 5 và f(2) = 7 . Do đó, f(0).f(2) < 0
Hàm số đã cho liên tục trên R, Do đó , nó liên tục trên [ 0 ; 2] . Từ đó

0
=1






=
≠
−
−
=
1x neáu 2
1 x neáu
1
1
)(
2
x
x
xf
Ta có:
2)1(
=
f
2)1(lim
1
)1)(1(
lim

x
=⇒∧
→
Theo định nghĩa ta suy ra:
Hàm số f(x) liên tục tại x=1






=
≠
−
−
=
1x neáu 2
1 x neáu
1
1
)(
2
x
x
xf
y
x
o
1
2

0 x neáu 1x
)(
2
xf
Ta có: f(0)=0
(1)
và:
0lim)(lim
00
==
−−
→→
xxf
xx
(2)
1)1(lim)(lim
2
00
=+=
++
→→
xxf
xx
(3)
⇒∧ )3()2(
không tồn tại
)(lim
0
xf
x

0
)
f(x
0
) không xác định f (x) không liên tục tại x
0
f(x
0
) xác định tiếp tục bước 2
Bước 2: Tìm
)(lim
0
xf
xx
→
Giới hạn không tồn tại f(x) không liên tục tại x
0
Giới hạn tồn tại tiếp tục bước 3
Bước 3: So sánh
Bằng nhau f (x) liên tục tại x
0
Không bằng nhau f (x) không liên tục tại x
0