1
1
Giải tích toán học. Tập 1. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007. Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Hàm liên tục, Điểm trong, điểm biên, điểm tụ,
Nguyên lí Canto, Tập compact, Hàm nhiều biến, Liên tục, giới hạn, liên tục đều, Đạo
hàm, cực trị hàm nhiều biến, Phép tích vi phân, Sự hội tụ.Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục
vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả.

Mục lục
Chương 7 Hàm số liên tục trong
n
\
4
7.1 Tập hợp trong
n
\
4
7.1.1 Khoảng cách trong
n
\

7.3 Giới hạn của hàm số trong
n
\
14
7.3.1 Giới hạn của hàm số tại một điểm 14
7.3.2 Giới hạn lặp 15
7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp 16
7.3.1 Chú ý 17
7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục 19
7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm 19
7.4.2 Hàm số liên tục đều 20
7.4.3 Liên tục theo từng biến 21
7.5 Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số 22
7.5.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một 22
7.5.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao 28
7.6 Đạo hàm của hàm số ẩn 31
7.6.1 Khái niệm về hàm số ẩn một biến số 31
7.6.2 Khái niệm hàm số ẩn của hai biến số 33
7.7 Đạo hàm theo hướng 35
7.7.1 Đạo hàm theo hướng 35
7.7.2 Gradien 36
7.8 Công thức Taylor. Cực trị của hàm số nhiều biến số 37
7.8.1 Công thức Taylor 37
7.8.2 Cực trị của hàm nhiều biến số 39
7.8.3 Giá lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số nhiều biến số trên compac 42
7.9 Cực trị có điều kiện 43
7.9.1 Định nghĩa: 43 3

4

Chương 7
Hàm số liên tục trong
n
\

7.1 Tập hợp trong
n
\

7.1.1 Khoảng cách trong
n
\

a) Khoảng cách giữa hai điểm trong
n
\
Cho không gian
n
\ và điểm M
∈
n
\ . Nếu
12 n
, , ,
x
xx là các toạ độ của điểm M trong hệ
toạ độ Descartes vuông góc, ta thường viết
12 n

≤
M
,P M,N N,P
∀
M
,N,P
∈
n
\
Giả sử
12 n
( , , , )
M
xx x và
12 n
( , , , )Ny y y là hai điểm trong
n
\ . Khoảng cách giữa hai
điểm M,N được cho bởi công thức:

1
n
2
2
i=1
()=( )
ρ
⎡
⎤
−

x
yyz≤−+−
∑

nn n
22
i=1 i=1 i=1
2
ii iiii ii
x
yxyyzyz=−+ −−+−
∑∑ ∑
5
5
11
nnnn
22
2222
i=1 i=1 i=1 i=1
2
ii ii ii ii
x
yxyzyyz
⎛⎞⎛⎞
≤−+ − − +−
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

ρ
=−+−+−=.
b) Khoảng cách giữa hai tập hợp
Cho
n
,,⊂≠∅≠∅\A,B A B . Ta gọi số:
{
}
( )=inf ( , ); ,
ρρ
∈∈
A
,B x y x A y B
(7.1.2)
là khoảng cách giữa hai tập hợp A và B. Từ định nghĩa ta thấy ( ) 0
ρ
≥A,B ,
()=().
ρ
ρ
A
,B B,A

Hiển nhiên nếu
∩≠∅AB thì
ρ
(A,B)=0. Tuy nhiên có những trường hợp ∩≠∅AB , nhưng
ρ
(A,B)=0. Ví dụ như =( ,0), =(0,+ )−∞ ∞AB, ta thấy =
∩

c) Đường kính của tập hợp
Cho
n
,⊂≠∅\AA. Đường kính của tập hợp A là số:
{
}
()=sup (,); ,
δρ
∈∈AxyxAyA . (7.1.3)
Nếu A là tập hợp một điểm thì ( )=0
δ
A .
Ví dụ như đường kính của khoảng (−1,1) là 2. Giả sử
n
, ⊂≠∅\AA. Ta nói rằng A là
tập hợp bị chặn nếu ( )
δ
∈\A , nói cách khác tập A được gọi là bị chặn nếu như A được chứa
trong một hình cầu nào đó.
7.1.2 Lân cận của một điểm
a)
ε
- lân cận
Cho
n
0
∈\M
. Người ta gọi
ε
-lân cận của điểm

.
Ví dụ 1 a) Với n=1. Cho
1
0
∈\x . Các điểm x sao cho
00 0 0
(, )xx x x x x x
ρ
εε ε
=
−<↔−<<+.
Vậy
0
O( )
x
ε
là khoảng
()
00
,xx
ε
ε
−+
b) Với n=2. Cho
2
000
(, )∈\Mxy , xét các điểm M(x,y) sao cho
()
2
2

3
0000
(, ,)∈\Mxyz , xét các điểm M(x.y.z) sao cho
()
2
22
00 00
(, )= ( ) ( )
ρ
ε
−
+− +− <MM x x y y z z
()
2
222
000
()()xx yy zz
ε
−+−+−<.
Vậy
0
O( )
ε
M
là hình cầu tâm
0
M
bán kính
ε
.

11
U,UU⊂⊃\ cũng là lân cận của
điểm
0
M
.
β
) Nếu
12
U,U là lân cận của
0
M
thì
1212
UU,UU
∩
∪ cũng là lân cận của điểm
0
M

7.1.3 Điểm trong, điểm biên, điểm tụ của tập hợp
a) Điểm trong
Cho A là một tập hợp trong
n
\ . Điểm
∈
M
A được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại
một
ε

1212
,; ,=∈<<≤≤\Axy axabyb (xem hình 7.1.2)
Các điểm
11
(, )Nxb với
12
<<axa nằm trên đường thẳng y =
1
b và các điểm
22
(, )Nxb
với
12
<<axa nằm trên đường y =
2
b là các điểm biên của tập A. Các điểm biên này thuộc
tập hợp
A. Các điểm
31
(,)Nay với
12
≤
≤byb và các điểm
42
(,)Nay với
12
≤≤byby cũng là
các điểm biên của tập hợp
A. Các điểm biên này không thuộc tập hợp A.
c) Điểm tụ

22 33 nn
⎧⎫
=∈
⎨⎬
⎩⎭
\A
Dễ thấy O(0,0) là điểm tụ của
A.
Ví dụ 4
Giả sử tập hợp
()
{
}
2
=;1,1∈<≤\Ax,y x y
. Ta thấy tất cả các điểm của tập hợp
()
{
}
2
1
;1,1=∈<<\Ax,y xy ⊂ A đều là điểm trong của tập A.
7.1.4 Tập mở, tập đóng
Cho
n
⊂ \A , tập A được gọi là mở nếu mọi điểm M của A đều là điểm trong của A.
Tập
n
⊂ \A được gọi là đóng nếu A chứa mọi điểm biên của A. Hiển nhiên
n

7.1.5 Tập liên thông
Tập A gọi là liên thông nếu có thể nối hai điểm bất kì
12
M,M của A bởi một đường cong
liên tục hoàn toàn nằm trong A( xem hình 7.1.3). 9
9Tập hợp đơn liên Tập hợp không liên thông Tập hợp đa liên (2 liên)
Hình 7.1.3

Tập hợp liên thông được gọi là đơn liên nếu nó được giới hạn bởi một mặt kín, là đa liên
nếu nó được giới hạn bởi nhiều mặt kín rời nhau.
Ví dụ 6: Tập hợp nào trong các tập sau là tập liên thông
a)
()
{
}
2
1
;1=∈+≤\Ex,y xy
b)
()
{
}
22 2
2

}
kkk k
12 n
, , ,Mxx x , k=1,2, ,n
Dãy
{
}
k
M được gọi là hội tụ tới
010 20 n0
( , , , )
M
xx x nếu:
0, k( ) 0
ε
ε
∀> ∃ > sao cho
k
0
O( )
ε
∈
M
M , ( )
ε
∀
≥kk (7.2.1).
hay tương đương với
k
0

0
lim
→+∞
=
k
M
M
hay
k
0
→
M
M khi k →+∞

10
Định lí 7.2.1 Dãy
()
{
}
kkk k
12 n
, , ,Mxx x hội tụ tới
010 20 n0
( , , , )
M
xx x khi và chỉ khi dãy các
thành phần
{
}
k

k2k2 k2
110 2 20 n n0
( ) ( ) ( )
ε
−+−++− <xx xx xx , ( )
ε
∀
≥kk (7.2.2)
Cho nên:
k
110
k
220
k
nn0

ε
ε
ε
⎧
−
<
⎪
⎪
−
<
⎪
⎨
⎪
⎪

kp
k,p
lim ( , ) 0
ρ
→+∞
=
MM (7.2.3)
tức là
0, ( )
ε
ε
∀> ∃k sao cho
kp
(,), ()
ρ
εε
<∀ ≥
M
Mk,pk(7.2.4)
Định lí 7.2.2 Để dãy
{
}
k
M
hội tụ, điều kiện cần và đủ là nó là dãy cơ bản.
Chứng minh
a)
Điều kiện cần
Giả sử dãy
{

ε
ρ
ρρ ε
≤+<+=MM MM MM
()
ε
∀≥k, p k . Vậy dãy
{
}
k
M là dãy cơ bản.
b)
Điều kiện đủ: 11
11
Giả sử dãy
{
}
k
M
là dãy cơ bản, ta phải chứng minh nó hội tụ.
Thật vậy, do
{
}
k
M là dãy cơ bản, nên:
0, ( )
ε

ε
⎧
−
<
⎪
⎪
−
<
⎪
⎨
⎪
⎪
−
<
⎪
⎩
, ( )
ε
∀
≥k, p k ,
tức là các dãy
{
}
{
}
{
}
kk k
12 n
, , ,

⎪⎪
⎝⎠
⎩⎭
, k=1,2, ,n
Ta thấy dãy
k
0
MM(0,1)→ , bởi vì:
k
0
222
11
(,) 0
(1+ ) (1+ )
ρ
=+→MM
kk
khi
→+∞k
.
7.2.3 Nguyên lí Canto
Dãy hình cầu đóng
{
}
n
O ⊂ \
k
gọi là thắt dần nếu:
+1
OO,1⊂∀≥

kk
M
AM M khi
→+∞k
thì ∈
M
A.
7.2.5 Tập hợp compact
Tập
n
⊂ \A được gọi là tập compact nếu mọi dãy
{
}
k
M trong A đều chứa một dãy con
{
}
k
M
hội tụ tới một điểm thuộc A.
Tương tự như trong
1
\
, ta cũng có định lí sau:
Định lí 7.2.5 Tập
n
⊂ \A là compact khi và chỉ khi A đóng và bị chặn.
7.2.6 Định nghĩa hàm nhiều biến số
Cho không gian Euclide n chiều
n

Descarter vuông góc thì ta có thể viết u=f(M).
Trong trường hợp n=2 hay n=3 ta có hàm hai hay ba biến số và thường được kí hiệu là z =
f(x,y) hay u = f(x,y,z).
7.2.7 Tập xác định của hàm nhiều biến số
Nếu hàm u được cho bởi biểu thức u=f(M) (mà không có chú ý gì thêm về tập xác định
của nó) thì tập xác định của hàm u được hiểu là tập hợp những điểm M sao cho biểu thức f(M)
có nghĩa.
Ví dụ 8: Hàm số 1- -4
22
u= x y xác định khi 4 1
22
x+ y
≤
hay 1
1
4
2
2
y
x+
≤
. Miền xác định của
hàm số là miền được giới hạn bởi elip với các bán trục a=1, b=
1
2
(kể cả biên, xem hình
7.2.1). 13

y+
xác định khi 0
22
xy
+
≠ . Miền xác định là toàn bộ mặt phẳng
trừ gốc toạ độ.
Ví dụ 11: Hàm số u=ln(x+y) xác định khi x+y > 0. Vậy miền xác định của hàm số là miền
nằm phía trên đường thẳng y=
−x (xem hình 7.2.3) Hình 7.2.3 Hình 7.2.4
Ví dụ 12: Hàm số arcsin
y
u=
x
xác định khi 1,
y
x
0
x
≤
≠ . Vậy miền xác định của hàm số là
một phần mặt phẳng nằm giữa các đường thẳng y
=
±
x trừ ra gốc toạ độ (xem hình 7.2.4).
7.2.8 Đường mức và mặt mức
Cho hàm u = f(x,y). Ta gọi tập hợp những điểm của miền xác định của hàm số sao cho tại

ab
+
=−. Đường mức là đường elip khi c <1, là
gốc toạ độ khi c
= 1.
b)
2
y
u=
x

Phương trình đường mức u
=c ⇔
2
y
x
=c hay y=c
2
x
. Đường mức là một parabol với mọi
giá trị c.
c) u
= y−2
2
x
.
Phương trình đường mức u
= c
⇔
y = c+2

hay lim
0
MM
f
(M)=l
→

nếu 0, 0
ε
δ
∀> ∃> sao cho ( ) D∀∈Mx,y thoả mãn ( )
0
M,M
ρ
δ
<
thì
()-
ε
<
fM l (7.3.1)
Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau.
Định nghĩa 2: Hàm z = f(M) có giới hạn l khi
0
MM→ nếu với mọi dãy điểm ( )
nnn
M
x,y
(khác
0
15
15
Ta còn gọi giới hạn trên là giới hạn kép hay là giới hạn theo tập hợp các biến.
Chú ý: Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm một
biến số. Chẳng hạn:
(
22
1
fx,y)=
xy
→+∞
+
khi ( ) (0,0)x,y → .
Ví dụ 1: Tìm lim (
(x,y) (0,0)
f
x,y)
→
với (
22
xy
fx,y)=
x
y+
.
Giải: Hàm số được xác định trên
{
}

x,y)= .
Ví dụ 2: Tìm
0
0
lim ( ) = 0
→
→
x
y
fx,y với ()
22
x
y
fx,y=
x
y
+
.
Nếu cho (x,y)
→
(0,0) theo phương của đường thẳng y = kx, ta có:
()
1
2
k
fx,kx=
+k
khi x
≠
0.

xx
f
x,y
→
. Rõ ràng giới hạn này phụ
thuộc vào y, kí hiệu:
() lim ( )
0
xx
gy= f x,y
→
.

16
Gọi
2
D={y R∈ |giới hạn lim ( )
0
xx
f
x,y
→
tồn tại}. Giả sử
0
y
là điểm tụ của
2
D . Ta xét tiếp
giới hạn:
lim ( ) lim lim ( )

Ví dụ 3: Xét hàm số
22
sin (cos 1)
()
1
x
y+
z=f x,y =
x
y++
.
Tìm
00
lim lim ( )
yx
f
x,y
→→
và
00
lim lim ( )
xy
f
x,y
→→
.
∀ y ≠ 0 ta có
0
lim ( ) = 0
x

0
2sin
lim 0
1
2
x
x
+x
→
=
.
Ta thấy trong trường hợp này hai giới hạn lặp tồn tại và bằng nhau.
Ví dụ 4: Tìm giới hạn lặp của hàm số:
cos
()
2
x
+
yy
fx,y=
x
+
y
tại (x,y)=(0,0).
∀ x ≠ 0, ta có
00
cos 1
lim ( ) lim
22
yy

yx y
f
x,y = y
→→ →
= .
Trong trường hợp này, các giới hạn lặp tồn tại nhưng không bằng nhau.
7.3.3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp 1
7
1
7
Định lí 7.3.1 Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập hợp D và
(
)
00
x
,y
là điểm tụ của D. Giả sử
tồn tại giới hạn
()
()
lim ( )
00
x,y x ,y
lfx,y
→
= . Khi đó nếu tồn tại giói hạn lặp nào của hàm số tại
()

→
(7.3.7)
Bởi vì
()
00
(x,y) x ,y
lim f(x,y)=l
→
(7.3.8)
nên 0, 0
ε
δ
∀≥ ∃> sao cho ( )∀
x
,y thoả mãn
22
00
()( )
δ
−
+− <xx yy thì
(, )
ε
−
<
f
xy l (7.3.9).
Trong (7.3.9) cho
0
y

x→ , ta được ' 0
εε
−
≤∀>ll . Do
ε
là tuỳ ý nên ' =ll.
7.3.1 Chú ý
a) Sự tồn tại các giới hạn lặp kể cả khi chúng bằng nhau không suy ra được sự tồn tại giới
hạn của hàm theo tập hợp các biến.
Ví dụ 5: Xét hàm số ()
−
=
x
y
fx,y
x
+y
.
Ta thấy
0
lim ( ) = 1
x
fx,y
→
−
00
lim lim ( ) = 1
yx
fx,y
→→

n
→→+∞
.

18
Mặt khác dãy
()
nn
1
',' (0, )
n
xy = (0,0)→ khi n+→∞, nhưng
1
f(0, ) 1
n
→− . Vậy giới hạn
theo tập hợp các biến
()
lim ( )
(x,y) 0,0
f
x,y
→
không tồn tại.
b) Sự tồn tại giói hạn theo tập hợp các biến không suy ra được sự tồn tại các giới hạn lặp.
Ví dụ 6: Cho hàm
1
()( )sin
fx,y=x+y
x

.
a) Ta thấy với dãy
11
( , ) (0,0) khi
k
z= k +
kk
→→∞
, dãy tương ứng:
11
(,) 0 0 khi
k
zf k
kk
==→→+∞.
Mặt khác với dãy
21
( ) , ) (0,0) khi
kk
x
',y' =( k +
kk
→→∞, nhưng dãy tương ứng:
3
21 3 3
(,)
5
55
2
k

y
zx x
x
π
≤= < → khi ( ) (0,0)x, y → . Vậy
(x,y) (0,0)
lim =0z
→

b)
Dễ thấy
00 0
lim lim = lim 0 0
yx y
z
→→ →
= và
00 0
lim lim = lim 0 0
xy y
z
→→ →
=
. 19
19
Ví dụ 9: Tìm giới hạn khi (x,y)→(0,0) của hàm số
33

(x,y) (0,0)
lim 0z
→
=
.
b) Dễ thấy
00 0
lim lim lim 0
yx y
zy
→→ →
== và
00 0
lim lim lim 0
xy x
zx
→→ →
=
= .
Ví dụ 10: Tìm giới hạn khi (x,y)→(0,0) của hàm số
1
(1 cos=−
22
2
+x +y
zy)
y
.
a) Ta thấy
2

22
2
0
2(1+ )sin
11
2
lim 2.
42
y
y
y
y
→
=
=
và
2
00 0
11
lim lim lim
22
xy x
x
→→ →
+
==
.
7.4 Hàm số nhiều biến số liên tục
7.4.1 Hàm số liên tục tại một điểm
Giả sử

∈
M
D nếu:

0
0
lim ( )= ( )
→MM
f
MfM (7.4.2)
Nếu
D là tập hợp đóng,
0
M
là một điểm biên của D thì
0
lim ( )
→MM
f
M được hiểu là giới hạn
của
f(M) khi M dẫn tới
0
M
ở bên trong của D.

20
Định nghĩa 3: Hàm số f(M) liên tục tại
000
(, )

()
0()(0,0)
22
xy
x,y
fx,y =
x+y
x,y =
⎧
⎪
⎪
≠
⎨
⎪
⎪
⎩
nÕu
nÕu

ta thấy
()
1
2
22
x
yx+y≤
()
()
3
2

xy
(x,y
f x,y =
x+y
x,y
nÕu (0,0)
()
0nÕu ( ) = (0,0).

Ta thấy dãy
nn
11
(, )(,) (0,0)=→xy
nn
khi n→+∞ nhưng
nn
(, )
2
=→+∞
n
fx y khi
+→∞n
. Vậy hàm số không liên tục tại điểm (0,0).
7.4.2 Hàm số liên tục đều
Định nghĩa 4: Hàm số f(M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu: >0, >0
ε
δ
∀∃ sao cho
với mọi cặp điểm
12

121 2 121 2
22 2 2
11 2 2
22 22
11 22
x
xx x yyy y
x+y x+y
x+y x+y
−++−+
−≤
+

Do
22 22
11 22 1 2
x
+y x +y x x+≥+ 21
21
và
22 22
11 22 1 2
x
+y x +y y y+≥+
,
nên
(

MM thì
12
() ()
ε
−<fM fM .
Vậy hàm số liên tục đều trên
2
\ .
Hàm số nhiều biến số liên tục cũng có những tính chất như hàm một biến số liên tục.
Chẳng hạn, nếu hàm số nhiều biến số liên tục trong tập compac (đóng và bị chặn) thì nó bị
chặn trong miền ấy, nó đạt giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất trong miền ấy, nó liên tục đều
trong miền ấy.
7.4.3 Liên tục theo từng biến
Định nghĩa 5: Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập
2
⊂ \D
a) Ta nói rằng hàm
z = f(x,y) liên tục theo biến x tại điểm
000
(, )∈
M
xy Dnếu hàm một
biến
0
f( , )
x
y liên tục tại điểm
0
x
, tức là:

=
(7.4.6)
c) Nếu hàm
z = f(x,y) liên tục theo biến x và y tại điểm
0
M , ta nói rằng nó liên tục theo
từng biến tại
0
M
.
Định lí 7.4.1: Nếu hàm z = f(x,y) liên tục tại
0
∈
M
D (liên tục theo tập hợp các biến) thì nó liên
tục theo từng biến tại
0
M.
Chứng minh: Giả sử
f(x,y) liên tục tại điểm
000
(, )
∈
M
xy D. Khi đó >0, >0
ε
δ
∀∃ sao
cho
∀∈

−< (7.4.7)
Bây giờ ta xét các điểm ( )
∈
M
x, y D mà
00
,
x
-x y=y
δ
<
. Rõ ràng rằng
22
0000
(, ) ( )+( ) | |
ρ
δ
=− − =−<MM xx yy xx nên theo (7.4.7) ta có:

22
000
() ( ) ( ) (,)
0
fM fM fx,y fx y
ε
−= − <
, từ đấy suy ra hàm số liên tục theo biến x tại
0
x.
Tương tự, hàm

Bởi vì
f(x,0)=0, Rx
∀
∈ nên
0
limf( ,0) = 0 = f(0,0)
x
x
→
, tức là hàm số liên tục theo biến x tại
(0,0).
Tương tự
f(x,y) liên tục theo biến y tại (0,0). Tuy nhiên f(x,y
0
) không liên tục tại (0,0), bởi
vì dãy
()
nn
11
,(,)(0,0)
=→xy
nn
khi +→∞n ,
nhưng dãy
11 1
(,)
2
→ f
nn
≠ 0 = (0,0)f .

xy thoả mãn
22
00
+4 =1xy , ta thấy khi
000
((,)→
M
x, y) M x y thì
f(x,y)
22
00
140xy→−− =. Do đó để hàm liên tục trên
2
\ thì c = 0.
7.5 Phép tính vi phân của hàm số nhiều biến số
7.5.1 Đạo hàm riêng và vi phân cấp một
7.5.1.1 Đạo hàm riêng
Cho hàm số z = f(x,y) xác định trong miền
2
D ⊂ \ và điểm
000
M( , )
x
y là một điểm của
D. Cho
0
x
một số gia tuỳ ý
x
Δ và

y
f
Δ
gọi là số gia riêng của hàm f(x,y) theo biến x, y tương ứng tại điểm
000
(, )
M
xy, còn đại lượng:
)(,)
Δ+Δ+Δ−
00 00
f
= f(x x, y y f x y gọi là số gia toàn phần của f(x,y)tại
000
(, )
M
xy.
Định nghĩa 1: Đạo hàm riêng của hàm f(x,y) theo biến x tại điểm
0
M
và kí hiệu
(, )
00
f
x
y
x
∂
∂
là

00 0 0
00
yy
f
f
x,y+ y f x y
f
xy
yy y
Δ→ Δ→
Δ
Δ−
∂
==
∂Δ Δ
(7.5.2)
Đạo hàm riêng của hàm
z = f(x,y) theo biến x tại điểm ( , )
000
M
xy còn được kí hiệu là:
x
f
′
(, ), (, ), (, )
00 00 x00
z
x
y xy z'xy
x

x
của hàm:
10 ( -1)0 ( 1)0 0
) , , , , , , )
ϕ
=
kkkk+n
(x f(x x x x x
và xem các biến khác là tham số cố định.
Ví dụ 1: Cho
23 2
32 1sin()=++−+zxyxy xy
22
62cos()
∂
=++
∂
z
x
yyxy
x
,
22 2
332cos()
∂
=++
∂
z
x
yxyxy

TT
v
p
p
∂∂
==
∂∂
,

Tp
()
RR
vv
pp
∂∂
==
∂∂
.
Tích của ba đạo hàm riêng này là một hệ thức quan trọng trong nhiệt động lực học:
2
TRTR
TR
∂
∂∂
⋅
⋅=−⋅⋅
∂∂ ∂
p
vv
vpvp

α
β
ΔΔΔΔΔ
f
AxBy x y
. (7.5.3)
trong đó
A, B là hằng số chỉ phụ thuộc ,
00
x
y , còn
α
,
β
dần tới 0 khi
0
→
M
M , thì hàm
f
(x,y) khả vi tại điểm
000
(, )
M
xy.
A. +B.
x
y
Δ
Δ (7.5.4)

M
. Vậy hàm số f(x,y) khả vi tại
0
M
thì liên tục tại
0
M
.
Chú ý 2: Đối với hàm một biến số y = f(x), nếu tại x =
0
x
tồn tại đạo hàm hữu hạn
0
()
′
f
x ,
thì ta có:
( ) () ()
000
y
=f x x f x f x x+ . x
α
′
Δ+Δ−=ΔΔ,
trong đó
0
α
→ khi 0xΔ→ , tức là hàm khả vi tại x =
0

nÕu (0,0)
0 nÕu(0,0)

Ta có:
00
()(0,0) (0)
(0,0) lim lim
Δ→ Δ→
Δ
Δ
′
=
ΔΔ
x
xx
f
x,0 -f f x,
f=
x
x
0
0
lim 0
x
x
Δ→
=
=
Δ
,

dz f x f y
′
′
=
Δ+ Δ. (7.5.5)
Chứng minh: Ta có thể viết vi phân toàn phần
f
Δ
dưới dạng
()(,)
00 00
f
= fx x,y y fx yΔ+Δ+Δ−[
]
()(,)
00 00
f
xx,yyfxyy=+Δ+Δ− +Δ
[
]
()(,)
00 0 0
f
x,y y f x y++Δ− . (7.5.6)
Áp dụng công thức số gia giới nội cho hàm một biến số ta được:
1
()(,)(,)

′′
liên tục tại
000
M( , )
x
y nên:
1
(,)(,)
x0 0 x00
fx xy y fxy
θ
α
′
′
+
Δ+Δ= + (7.5.9)

2
(, ) (, )
y00 y00
fxy y fxy
θ
β
′
′
+
Δ= + (7.5.10)
trong đó
0
α