Phòng giáo dục & đào tạo kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 thcs
th i x Sầm Sơnã năm học 2010-2011
môn thi :Toán
Ng y thi : 21 / 10/ 2010
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đ thi )
Đ này gồm 01 trang
Cõu 1 : ( 5 im )
a) Rỳt gn biu thc A =
( )













+
+
yx
yyxx
yx
yx
yyxx
yx
.

22
20112010
+
xx
b) Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc : Q = -x
2
- y
2
+ xy -3x + 3y + 2008
Cõu 4 : ( 4 im ) Cho hỡnh vuụng ABCD cú di cnh l a . Hai ũng chộo AC v
BD ct nhau ti O . Gi M ; N ln lt l trung im ca OB v CD
a) Tớnh gúc AMN
b) Gi P l trung im ca AN . Tớnh di on thng MP theo a
Cõu 5 : ( 2 im ) cho t giỏc li ABCD .Gi O l im trờn cnh BC v E l im i
xng ca D qua O mt im M di ng trờn cnh AD ( M

A ; M

D) ng thng
EM ct OA ti I. T I k ng thng song song vi BC ct AB v AC ln lt ti K v
H
Chng minh rng
1
=+
AM
AD
AH
AC
AK
AB

2

A =
( )








+
++


+
+
+
))((
).)(())((
.
2
yxyx
yyxxyx
yx
yxyx
yyxx
yx
A =

+
+++
)(
2
A =
yyxx
yx
+
+
.
.
yx
yxyxyxyx
+
++
)2
A =
))(.(
).(
yxyyxx
xyyx
++
+
=
).(
.
yyxx
xy
+
b) vộ trỏi 4 (a

++

222
) c -b ()c- a ()b - a (
++
= 0





=
=
=
0)c - b (
0)c - a (
0)b - a (
2
2
2











(x-1)(y-3) =5


(x;y) =
( ) ( ) ( )( ){ }
2;42;0;8;2;4;6

b) Gii phng trỡnh :

xx 21
++
+
xx 69
+
= 4



( )
2
1
+
x
+
2
)3(

x
= 4


2
+ xy -3x + 3y + 2008


2Q = -(2x
2
+ 2 y
2
- 2xy+ 6x - 6y 4016)

2Q = -
[ ]
4022)12()12()442(
22222
+++++++++
yyxxyxxyzyx


2Q = -
[ ]
4022)1()1()2(
222
++++
yxyx

2Q =
4022
-
[ ]
222

M
N
P
Gọi I là trung điểm của BC
Ta có M là trung điểm cảu OB
⇒
MI là đường tung bình của ttam giác OBC
⇒
MI //OC và MI =
2
1
OC (1)
Hoàn toàn tương tự NI là đường trung bình của tam giác BCD
⇒
NI //BD (1) và NI =
2
1
BD (2)
Vì BD
⊥
AC tại O
⇒
∠
BOC = 1V (3) từ (1) ; (2) và (3) ta có MI
⊥
NI
⇒
∠
MIN = 1V
Mà ta có OB= CO mà OM =

∠
NMI
ta có MI// OC mà OC
⊥
BD ; MI
⊥
OB
⇒
∠
IMO = 1V
Hay
∠
OMN +
∠
AMO = 1V mà
∠
NMI =
∠
AMO ( chứng minh trên )
nên
∠
OMN +
∠
AMO = 1V hay
∠
AMN = 1V
b) áp dụng định lý pi ta go cho tam giác ADN vuông tại D ta có AD
2
+ DN
2

MIN
⇒
MA = MN lại có
∠
AMN = 1V
∆
MAN vuông cân tại M vì P là trung điểm của AN nên MP là trung tuyến ứng với cạnh
huyền AN vậy MP =
2
1
AN suy ra MP =
2
1
.
2
5a
=
4
5a
Câu 5 :

H
I
B
A
D
C
E
O
M