Các bài toán lớp IX của Nga. Thi ngày 9 tháng X/MMX
Đề bài:
Bài 1: Giả sử 5(а – 1) = b + a
2
. So sánh số а và b.
Bài 2: Cho hai số dương khác nhau а và b thỏa mãn đẳng thức
ba
+
+
+
1
1
1
1
=
ab+1
2
. Chứng
minh rằng số а và b – là hai số nghịch đảo của nhau.
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên tố p, q và r, sao cho thỏa mãn đẳng thức:
p + q = (p – q)
r
.
Bài 4:. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất n, sao cho
số А = n
3
+ 12n
2
+ 15n + 180 chia hết cho 23.
Bài 5: Trong hinh thang cân AВСD đáy lớn AD và đáy nhỏ ВС bằng 12 và 6 tương ứng, còn
chiều cao bằng 4. So sánh góc ВАС và САD.

2
.
Chứng minh rằng số а và b – là hai số nghịch đảo của nhau.
Giải:
Phân tích
:
ba +
+
+ 1
1
1
1
=
ab+1
2

⇔
ab
b
ab
a
+
−
+
+
+
−
+
1
1

1
–
( )
b
abb
+
−
1
= 0
⇔
( )








+
−
+
−
b
b
a
a
ab
11
= 0.

2
+ 15n + 180 = n
2
(n + 12) + 15(n + 12) = (n + 12)(n
2
+ 15).
Số А chia hết cho số nguyên tố 23, nếu một trong hai nhân tử của nó chia hết cho 23
Nhân tử thứ nhất chia hết cho 23 khi n= 11, còn nhân tử thứ hai n=10
Bài 4Tìm tất cả các số nguyên tố p, q và r, sao cho thỏa mãn đẳng thức:
p + q = (p – q)
r
.
Trả lời: p = 5, q = 3, r = 3.
Từ điều kiện của bài toán ta có p + q chia hết p – q, suy ra, (p + q) – (p – q) = 2q cũng
chia hết cho p – q.
Nếu số p – q – nguyên tố là ước của 2q thì có thể là cac số 1, 2, q и 2q.
Nếu p – q = 1, thì vế trái lớn hơn vế phải
Nếu p – q = q, thì p = 2q, lúc đó р – không là nguyên tố.
Tương tự p – q = 2q, thì p = 3q, trong trường hợp này , р – không nguyên tố
Vậy р – q = 2. Khi đó đẳng thức có dạng:
(q + 2) + q = 2
r
⇔ q + 1 = 2
r –1
⇔ q = 2
r – 1
– 1.
Cách 1. Nếu r = 2, thì q = 1 – không là số nguyên tố.
Nếu r – số lẻ thì (r – 1) – số chẵn lúc đó 2
r – 1








+








−
−−
1212
2
1
2
1 rr
, thì q có thể là số nguyên
tố trong trường hợp
112
2
1
=−
−r

Kẻ phân giác AL tam giác АЕD.
Theo tính chất của phân giác
1
10
12
>==
AE
AD
LE
LD
,
Nên L nằm giữa điểm С và Е.
Suy ra, ∠BAC > ∠CAD.
Bài 6: Trong tam giác АВС góc В bằng 45°, АМ và CN – là đường cao, О – tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác, Н – H là trọng tâm giác
Chứng minh, rằng ОNHМ – hình bình hành.
Cáh 1. Kẻ trung trực của cạnh АВ và ВС của tam giác đã
cho cắt nhau tại điểm О (xem hình. 2а).
Vì tam giác vuông BNC có ∠NBC = 45°,
nên BN = NC, suy ra điểm N nằm trên trung trực của đoạn
BC.
Khi đó NO || HM.
Tương tự với tam giác АМВ, ta cũng có MO || HN.
Nên ONHM – hình bình hành( theo định nghĩa).
Cách 2. Khảo sát đường tròn ngoại tiếp tam АВС (xem hình.
2б). Vì tam giác đã cho là nhọn nên tâm O nằm bên trong tam giác,
mà tam giác АОС – cân và ∠AOC = 2∠ABC = 90°.
Ngoài ra, ∠ANC = ∠AMC = 90°, vì thế N, O và M nằm trên
một đường tròn đường kính AC.
Khi đó ∠ONC = ∠OAC = 45°;

;
BM
2
=
9
4
BK
2
=
9
4
a
2

+
9
1
b
2
.
Đoạn CM và BM vuông góckhi và chỉ khi CM
2
+ BM
2
= BC
2
,
Thì ta có
9
1

2
b
2
, ta có b = a
2
.
Vậy trong tam giác vuông có CB = a và CA = a
2
.
Trung tuyến CP và BK vuông góc.
Cách 2. Giả sử
aCA =
,
bCB =
,
lúc đó
( )
baCBCACP
2
1
2
1
2
1
+=+=
;
abAKBABK
−=+=
2
1

4
1
ab −
= 0 ⇔ b = a
2
.
5
Рис. 2б
Рис. 3