ĐỀ NGHIỆM THU HSG CẤP TRƯỜNG
HỌC KÌ II- LỚP 7
MÔN: TOÁN ( Thời gian làm bài : 150 phút)
Bài 1: (6 điểm)
a) Cho các số:
A = 11 … 11 (2m chữ số 1)
B = 11 … 11 ((m+1) chữ số 1)
C = 66 … 66 (m chữ số 6)
Chứng minh rằng: A + B + C + 8 là một số chính phương.
b) Chứng minh rằng: 3
2n + 1
+ 2
n + 2

M
7 ,
n N∀ ∈
Bài 2: ( 3 điểm) Cho hai số dương x, y và x + y = 5. Tìm giá trò nhỏ nhất của tổng:
P =
1 1
x y
+
.
Bài 3: (3 điểm)
Tìm đa thức P(x) rồi tìm nghiệm của đa thức P(x), biết rằng:
x
3
+ 2x
2
(4y – 1) – 4xy
2

a) Ta có: A = 11 … 11 = 10
2m – 1
+ 10
2m – 2
+ … + 10 + 1 =
m 1
10 1
9
+
−
B = 11 … 11 = 10
m
+ 10
m – 1
+ … + 10 + 1 =
m 1
10 1
9
+
−
C = 66 … 66 = 6.11 … 11 = 6.
m
10 1
9
−
2m m 1 m
10 10 6.10 64
A B C 8
9
+

∈
N
Ta lại có: 2
n+2
= 4.2
n
Do đó, ta có: 3
2n + 1
+ 2
n + 2
= 7a + 7.2
n
Vậy: 3
2n + 1
+ 2
n + 2

M
7 ,
n N∀ ∈
.
0.5 điểm
0.5 điểm
0.5 điểm
1.0 điểm
0.5 điểm
1.0 điểm
0.5 điểm
1.0 điểm
0.5 điểm

– P(x) =
= – 5x
3
+ 8x
2
y – 4xy
2
– 9y
3
⇒
P(x) = [x
3
+ 2x
2
(4y – 1) – 4xy
2
– 9y
3
] – (– x
3
+ 8x
2
y – 4xy
2
– 9y
3
)
= x
3
+ 8x

⇔

x 0
1
x
3
=



=

Vậy: Nghiệm của đa thức P(x) là x
1
= 0; x
2
=
1
3
1.0 điểm
1.5 điểm
0.5 điểm
- Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho: MD = MA
- CM:
AMB DCM AB DC
∆ = ∆ ⇒ =
(1)
p dụng bất đẳng thức trong tam giác ACD có: AD < AC + CD
Hay: 2AM <AC + AD
AC CD

0.25 điểm
B
H
C
R
Q
P
E
M
A
D
P
N
M
B
C
A
G
Mỗi cách giải khác (nếu đúng) đều được điểm tối đa
--------------- hết ------------
DANH SÁCH HỌC SINH THI GIỎI TOÁN CẤP TRƯỜNG - LỚP 7
1. Bùi Lê Kim Anh
2. Nguyễn Hoài Nghóa
3. Nguyễn Quốc Thông
4. Trần Trung Hiếu
5. Huỳnh Hiệp
6. Phạm Thuý Hằng
7. Nguyễn Văn Lập
8. Nguyễn Tấn Trường
9. Nguyễn Bá tấn