http://violet.vn/tranthuquynh81
CHUYấN 4 : phép chia các đa thức
A. Lý THUYếT:
Cho đa thức f(x) và g(x)

0, ta luôn tìm đợc một đa thức q(x) (đa
thức thơng) và một đa thức r(x) ( đa thức d) sao cho:
f(x) = g(x) . q(x) + r(x) trong đó:
Bậc của đa thức r(x) nhỏ hơn bậc của đa thức g(x)
Nếu f(x) 0 thì bậc của f(x) = bậc của g(x) + bậc của q(x)
Nếu r(x) =0 thì ta nói đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) và f(x) = g(x) .
q(x)
x = a gọi là nghiệm của đa thức f(x)

f(a) = 0
Định lý Bezout: D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a là
một hằng số bằng f(a).
Hệ quả: Nếu x=a là một nghiệm của đa thức f(x) thì đa thức f(x) chia hết cho nhị
thức x-a
Ta có thể vận dụng các tính chất và định lý trên để phân tích một đa thức
thành nhân tử bằng hai phơng pháp sau:
Phơng pháp hệ số bất định
Ví dụ: Phân tích đa thức x
3
- 15x -18 thành tích một nhị thức bậc nhất và một tam
thức bậc hai.
Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì:
x
3
- 15x -18= (x+a)(x
2

2
- 3x -6)
http://violet.vn/tranthuquynh81
CHUYấN 4 : phép chia các đa thức
B.MộT Số Ví Dụ:
Phơng pháp xét giá trị riêng
VD1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử.
f(x) = x
3
- x
2
14x + 24
Ta thấy với x=2 ta có f(2)= 8 - 4 - 28 + 24 = 0

f(x) chia hết cho x-2 và tìm đợc
f(x) = (x-2)(x
2
+ x -12)
Tơng tự với x=3; x=- 4

f(3)= 0; f(- 4)= 0
Và tìm đợc f(x)=(x-2)(x -3)(x + 4)
VD2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( )A x y z y z x z x y
= + +
Nếu x=y A=0
A chia hết cho x-y
Vì x,y,z vai trò nnh nhau nên A cũng chia hết cho y-z, z-x A chia hết cho (x-y)
(y -z)(z -x)

x y z x z x y x
x y z x x y z x
x y z x y z
= + +

= + + +

= +
= +
=
http://violet.vn/tranthuquynh81
CHUYấN 4 : phép chia các đa thức
C.MộT Số BàI TậP áP DụNG:
Bài toán 1: Rút gọn biểu thức
A=
80298
160100
4.5
2.125
; B =
438
88
5.27.3
5.9
; C= (15.3
11
+4.27
4
):9
7

3
+b.x-24 chia hết cho (x+1)(x+3);
c) x
4
-x
3
-3x
2
+ã+b chia hết cho x
2
-x-2 có d là 2x-3.
d) 2x
3
+a.x+b chia cho x+1 d -6, chia cho x-2 d 21.
Bài toán 4: Không làm phép chia đa thức,hãy xác định xem đa thức : 4x
3
-7x
2
-x-2 có hay
không chia hết cho: a) x-1 ; b) x+2 .
Bài toán 5: Làm tính chia
a) (6x
3
-7x
2
-x+2):(2x+1) ; b) (x
4
-x
3
+x

) :( -5 x
3
y
2
z
2
).
b) ( 8x
2
-26x+21):( 2x-3)
Bài toán 7: Tìm m để đa thức
a)2x
3
+5x
2
-2x+m chia hết cho đa thức 2x
2
-x+1.
b) 5x
3
-3x
2
+x+m chia hết cho đa thức x+2.
Bài toán 8: Xác định d của phép chia đa thức : x+x
3
+x
9
+x
27
+x