Một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
.
Sn _ ku - 3 -
II.Nội dung
Để chứng minh A

B trong một số trường hợp ta có thể nghĩ đến phương pháp
sau:Tìm C sau đó chứng minh A

C và C

B .Nhưng vấn đề quan trọng là
tìm C.Để tìm C nhiều khi ta phải mò mẫm,dự đo án,dựa vào một phương pháp
cũ đã biết,...Trong bài viết này Tôi sẽ đưa ra một kinh ngiệm tìm C dựa vào
một phương pháp cũ đã biết.
Sau khi chứng minh được một bất đẳng thức ta nên thử xem liệu có thể xây
dựng được một số bất đẳng thức khác từ bất đẳng thức đó hay không hoặc dựa
vào lời giải đó ta có thể xây dựng các bất đẳng thức khác hay không?Sau đây
tôi muốn minh hoạ những vấn đề trên.
Trước hết ta chứng minh các bổ đề sau:
Bổ đề 1. Trong 3 số bất kỳ x
1
,x
2
,x
3
luôn tồn tại hai số x
i
,x
j
(i và j thuộc

x
3
Nếu x
2

a thì x
1

a và x
2

a,ta có điều phải chứng minh.
Nếu x
2
>a thì x
2

a và x
3

a ,ta có điều phải chứng minh.
Bổ đề 2. Nếu





ay
ax
hoặc

5(x+y+z).Đẳng thức xảy ra khi nào.
(Bài I-3 của chuyên mục Chào IMO 2007 đợt 1 của Tạp chí Toán học và tuổi
trẻ số 357 tháng 3 năm 2007)
Chứng minh:
Theo bổ đề 1 và vai trò x,y,z trong bài toán bình đẳng nên không mất tính
tổng quát ta có thể giả sử





1
1
y
x
hoặc





1
1
y
x
.Khi đó theo Bổ đề 2 ta có
xy

x+y-1



(y+z-2)
2
+(x+z-2)
2
+3(x-1)
2
+3(y-1)
2
+2(z-1)
2

0 ,đúng.
Từ (1) và (2) suy ra: xyz+2(x
2
+y
2
+z
2
)+8

5(x+y+z) (Điều phải chứng minh)
Đẳng thức trong trường hợp này xảy ra khi x=y=z=1.
Vậy đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1
WWW.MATHVN.COM
Một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
.
Sn _ ku - 4 -
Nhận xét.Ta có thể chứng minh (2) nhờ định lí về dấu của tam thức bậc hai
như sau:

z
là tam thức bậc hai ẩn x có a=-15<0 và
'
x

=(y+14)
2
-(-15)(-15y
2
+28y-28)
=-224(y-1)
2

0,với mọi y
Do đó

z

0,với mọi x,y
Vậy (3) đúng với mọi x,y,z (đpcm)
Nhận xét 1. Trong ví dụ trên A= xyz+2(x
2
+y
2
+z
2
)+8; B=5(x+y+z);
C= xz+yz-z+2(x
2
+y





1
1
y
x
.Khi đó theo Bổ đề 2 ta có
xy

x+y-1

3xyz

3xz+3yz-3z (vì z

0 )

5(x
3
+y
3
+z
3
)+3xyz+9

5(x
3
+y


z
3
+1+1 (3)
3xz=3
3
33
1..zx

x
3
+z
3
+1

6xz

2x
3
+2z
3
+2 (4)
3yz=3
3
33
1..zy

y
3
+z

3
+y
3
+z
3
)+9

9xy+6yz+6zx+3z.
Từ (1) và (2) suy ra 5(x
3
+y
3
+z
3
)+3xyz+9

9(xy+yz+zx)(Điều phải chứng
minh)
Nhận xét 2.1.Từ hai ví dụ trên tôi định hướng để xây dựng các bất đẳng
thức mới như sau:
WWW.MATHVN.COM
Một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
.
Sn _ ku - 5 -
Hướng 2.1. Từ ví dụ 2 ta có Nếu x,y,z là các số thực không âm và vai
trò x,y,z bình đẳng không mất tính tổng quát ta có thể giả sử :
xy

x+y-1


được m,n,p sao cho bất đẳng thức:xz+yz-z+ m(x
2
+y
2
+z
2
)+p

n(x+y+z) (*)
đúng với mọi x,y,z.Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1.
Sau đây là cách chọn m,n,p sao cho (*) đúng với mọi x,y,z và đẳng thức xảy ra
khi x=y=z=1.
Ta có: (*)

mz
2
+(x+y-n-1)z+mx
2
+my
2
-nx-ny+p

0
Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai ta chọn m,n,p sao cho
1
,,0
2
1
0


0
Trong đó

z
=(x+y-n-1)
2
-4m(mx
2
+my
2
-nx-ny+p)
Thay n=2m+1 vào

z
và rút gọn,ta có

z
=(1-4m
2
)x
2
+2(y+4m
2
-2)x+(1-4m
2
)y
2
+4(2m
2
-1)y+4(m+1)

)24(2
041
'
2
2
2












Ry
m
my
m
x
khi y=1







0

2m
2
(1-2m
2
)y
2
-4m
2
(1-2m
2
)y+(2m
2
-1)
2
-(1-4m
2
)(m
2
+2m+1-mp)

0(***)
Ta cần chọn m,p sao cho (***) đúng với mọi y và đẳng thức xảy ra khi y=1.
Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai ta chọn m,p thoả mãn






'
2
y
m
trong đó
'
y

=[2m
2
(1-2m
2
)]
2
-2m
2
(1-2m
2
)[(2m
2
-1)
2
-(1-4m
2
)(m
2
+2m+1-mp)]
=2m
3
(1-2m



23
021
041
12
0
2
2
mp
m
m
mn
m











23
12
2
2
mp

xyz+m(x
2
+y
2
+z
2
)+3m+2

(2m+1)(x+y+z) (1.1)
trong đó m là số thực cho trước và m

2
2

Hướng 2.2.Chọn m,n,p để có bất đẳng thức Nếu x,y,z là các số thực
không âm thì xyz+m(x
2
+y
2
+z
2
)+p

n(xy+yz+zx) .Đẳng thức xảy ra khi
x=y=z=1.
Từ hướng 2.1 nếu x,y,z là các số thực không âm và vai trò x,y,z bình đẳng
không mất tính tổng quát ta có thể giả sử: xyz

xz+yz-z
Suy ra : xyz+m(x

+[(1-n)x+(1-n)y-1]z+mx
2
+my
2
-nxy+p

0
Chọn m,n,p sao cho
1
,,0
2
1)1()1(
0










Ryx
m
ynxn
m
z
khi x=y=1


12 n
vào

z
và rút gọn,ta có

z
=n(2-3n)x
2
+2[(3n
2
-3n+1)y+n-1]x+n(2-3n)y
2
-2(1-n)y+1-2(2n-1)p
Chọn n,p thoả mãn:
WWW.MATHVN.COM
Một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
.
Sn _ ku - 7 -
1
,0
)32(2
]1)133[(2
0)32(
'
2






=[(3n
2
-3n+1)y+n-1]
2
-n(2-3n)[n(2-3n)y
2
-2(1-n)y+1-2(2n-1)p]
=(1-n)(6n
2
-5n+1)y
2
-2(1-n)(6n
2
-5n+1)y+4n
2
-4n+1+2n(2-3n)(2n-1)p
Chọn n,p thoả mãn













y

=[(1-n)(6n
2
-5n+1)]
2
-(1-n)(6n
2
-5n+1)[4n
2
-4n+1+2n(2-3n)(2n-1)p]
=n(1-n)(2-3n)(2n-1)(6n
2
-5n+1)(1-2p)
Suy ra:Nếu m=
2
12 n
>0,n(2-3n)<0,(1-n)(6n
2
-5n+1)<0 thì
'
y

=0

p=
2
1
Do đó (*) đúng với mọi x,y,z nếu m,n,p thoả mãn














2
1
2
12
1
p
n
m
n
Do đó ta có bất đẳng thức:
Nếu x,y,z là ba số thực không âm thì
xyz+
2
12 n
(x
2
+y
2

+z
2
)+1

2n(xy+yz+zx) (2.1).
Trong đó n là số thực cho trước và n

1
Hướng 2.3.Từ (1.1) và (2.1) (Nhân hai vế của (1.1) với p(p
)0
,nhân hai
vế của (2.1) với q(q
0
) rồi cộng theo vế hai bất đẳng thức cùng chiều vừa thu
được) suy ra bất đẳng thức:
Nếu x,y,z là ba số thực không âm thì
(p+2q)xyz+(mp+2nq-q)(x
2
+y
2
+z
2
)+3mp+2p+q
WWW.MATHVN.COM
Một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
.
Sn _ ku - 8 -

(2mp+p)(x+y+z)+2nq(xy+yz+zx),trong đó m


11


tt
f

(t)=0
1010)1(
11


ttt


Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra:
0)( tf
với mọi t
);0(
Hay t

+

-1


t,với mọi t
);0(
Đẳng thức xảy ra khi t=1(Điều phải chứng minh).
áp dụng bất đẳng thức này ta có:Nếu x,y,z là các số thực dương bất kỳ thì


>1
Suy ra: x
2
+y
2
+z
2




33
222
zyx
, trong đó

là số thực và

>1 (*)
Từ (3.1) và (*) suy ra
Nếu x,y,z là ba số thực dương thì

(p+2q)xyz+(mp+2nq-q) (x
2

+y
2

+z

+z
2
+2

x+y+z+xy+yz+zx
Nhận xét 2.3.3.Đặc biệt hoá 3.2,chẳng hạn chọn m=n=p=1,q=0,

=2 ta có bất
đẳng thức:
Nếu x,y,z là ba số thực dương thì 2xyz+x
4
+y
4
+z
4
+13

6(x+y+z)
Hướng 2.4.
2.4.1.Tương tự trên nếu x,y,z là các số thực không âm và vai trò x,y,z bình
đẳng không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
WWW.MATHVN.COM
Một phương pháp chứng minh bất đẳng thức và xây dựng một số bất đẳng thức
.
Sn _ ku - 9 -
xyz

xz+yz-z

xyz+xy+z

2
z
+
2
22
yx
=
2
1
222
zyx
Do đó xyz+
2
1
222
zyx

xyz+xy+z
Vậy ta có bất đẳng thức: Nếu x,y,z là ba số thực không âm thì
2xyz+ x
2
+y
2
+z
2
+1

2(xy+yz+zx).Đẳng thức xảy ra khi x=y=z=1
2.4.2.Tương tự trên nếu x,y,z,t là các số thực không âm và vai trò của x,y,z,t
bình đẳng thì ta có thể giả sử

3

3
3
333
zyx
=3xyz
x
3
+y
3
+ t
3

3
3
333
tyx
=3xyt
Suy ra
zt +xyz+xyt

3
1
33
tz
+
3
333
zyx

2.4.3.Bằng cách làm tương tự ta có bất đẳng thức
Nếu x
1
,x
2
,x
n
là các số thực không âm thì
(n-1)


n
i
i
x
1
+(n-2)



n
i
n
i
x
1
1
+1

(n-1)

n
;


n
jii
i
x
,1
=x
1
...x
j-1
x
j+1
...x
n
)
Hướng 2.5. Tương tự trên nếu x,y,z là các số thực không âm và vai trò
x,y,z bình đẳng không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
xy

x+y-1

xyz

xz+yz-z

xyz+z+xy