I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Ăngghen nói : " Biện pháp của hiện thực thế giới thực tế đã phản ánh được trong
những khái niệm và công thức toán học". Bất cứ ở nơi đâu học sinh cũng nhận thấy có
những quy luật của phương pháp biện chứng đó, cho nên học sinh nhận rõ được điều
này thì sẽ phát triển được sự suy luận theo phương pháp biện chứng. Toán học dạy ta
cách rút kết luận từ những tiên đề có sẵn, cách làm cho kết luận có chứng cứ. Dùng
ngôn ngữ toán học là luyện tập diễn đạt tư tưởng một cách khoa học, vì ngôn ngữ toán
học bắt ta đem lại kết quả nhận thức diễn đạt được thật tinh tế logic- chính xác.
Do vai trò quan trọng của toán học trong đời sống, trong khoa học và công nghệ
hiện đại, là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn khác, giúp học sinh hoạt
động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực. Bác Phạm Văn Đồng đã từng nói "Dù các bạn ở
ngành nào, trong công tác nào thì các kiến thức và phương pháp toán học cũng cần cho
bạn". Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển năng lực, phẩm chất trí tuệ
và có khả năng đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức
trong cuộc sống và lao động.
Các em học sinh đã làm quen với Bất đẳng thức từ năm lớp 7, đến lớp 10 vấn đề
này được đề cập kỹ hơn. Tầm quan trọng của sự hiểu biết và kỹ năng vận dụng Bất đẳng
thức đã quá rõ ràng . Ta có thể vận dụng Bất đẳng thức vào các bài toán khác như giải
và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của một biểu thức toán học và nhiều ứng dụng toán học khác.
Mặc dầu quan trọng nhưng Bất đẳng thức là một chủ đề khó đối với đa số học
sinh, nhưng cũng là mảng kiến thức dễ đâm chồi, nảy lộc những bông hoa đẹp nhất của
tính sáng tạo, đòi hỏi sự kiên trì, ham học hỏi. Rèn luyện về Bất đẳng thức giúp học sinh
tăng cường khả năng tính toán, khả năng tìm tòi lời giải bài toán. Hơn nữa luyện tập
chứng minh Bất đẳng thức còn góp phần phát triển tư duy lôgíc và bồi dưỡng trí thông
minh, đọc vấn đề một cách nhanh nhạy cho học sinh.
Trong chương trình toán THPT có rất nhiều phương pháp chứng minh một Bất
đẳng thức. Nhưng có một phương pháp quan trọng là sử dụng Bất đẳng thức Côsi.
Đây là một mảng Bất đẳng thức mà các đề thi hay khai thác và vận dụng để giải quyết
các bài toán khác.
Qua một thời gian nghiên cứu ,giảng dạy và vận dụng Bất đẳng thức Côsi tôi đã

n
n
aaa
n
aaa21
21


Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi:
n
aaa


21
Chúng ta thường sử dụng cho bộ 2 số hoặc 3 số, cụ thể:
Cho a

0 , b

0 , c

0 ta luôn có:

abba 2

Dấu đẳng thức xẩy ra khi a = b


b
b
a
vì vậy áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:
2122

a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
.
3
Dấu "=" xẩy ra khi
baba
a
b
b
a

2
2

baabba
.
. . .
Tuy nhiên để học sinh thấy hứng thú và tạo nên một lớp bài toán về sử dụng Bất
đẳng thức Côsi ta có cách giải sau:
Giải
Vì
0,0

ba
nên
0
1
,0
1

ba
áp dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:
2
1 1 1 1 1
( )( ) 2 .2 ( )( ) 4
1 1 1
2
a b ab
a b ab a b
a b ab a b
a b ab

21
21
)
1

11
)( ( n
aaa
aaa
n
n

Dấu "=" xẩy ra khi
n
aaa


21
Đến đây giáo viên cần chú ý cho học sinh là từ hai Bất đẳng thức (2) và (3) bằng
cách biến đổi tương đương ta có các Bất đẳng thức phụ khá hữu ích .
4

baba


411
(2a)
2
)(
41

cbacba


(3a)
Các Bất đẳng thức phụ trên thường được sử dụng xem như là một bổ đề để chứng
minh các bài toán khó một cách đơn giản.
1) Cho a,b,c là các số dương thõa mãn :
1

cba
. Chứng minh rằng:

9
2
1
2
1
2
1
222






bacacbbca
(ĐH Bách khoa)
Giải:
Theo (3) ta luôn có :

(
2
222






cba
bacacbbca

Do 3 số a,b,c dương và
1

cba
Nên ta có
1)(
2

cba
: Từ đó suy ra:

9
2
1
2
1
2
1

1
2
1


zyx
(ĐH khối A năm 2005)
Giải:
Từ (2d) với
0,

ba
ta có:
)
11
(
4
11
baba


. Dấu "= " xẩy ra khi và chỉ khi a=b.
Áp dụng kết quả trên ta có:
zyxzyxzyxzyx 16
1
16
1
8
111
4









.
5
zxyzxyzxyzyx 16
1
16
1
8
111
4
1
2
1
4
11
2
1
4
1
2
1



4
1
2
1
4
11
2
1
4
1
2
1





















zyx
111
4
1
= 1 (Đpcm)
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi : x = y = z =
4
3
3) Cho x,y,z là các số dương thõa mãn :
3
222

zyx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1
1
1
1
1
1






xzzyxy


zyx
zxyzxy
A
zxyzxy
xzzyxy
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A lµ 3/2 khi x=y=z=1.
Các bài tập tương tự dùng để củng cố:
1. Cho
0,,

cba

i)
abcaccbba 8))()((


ii)
ababba 4)1)((


iii)
abccbacba 9))((
222


iv)
8)1)(1)(1(

a

zyx
.
CMR:


1x
x


1y
y
4
3
1


z
z
.
6
2. Kỹ thuật dùng hoán vị vòng.
Đây là một kỹ thuật thường gặp khi sử dụng Bất đẳng thức Côsi .
Bài 3: Chứng minh
0,,

cba
thì
cbaab
c
ac

b
bc
a
bbc
a
ab
c
bc
a
ab
c
bc
a
ab
c
aab
c
ac
b
ab
c
ac
b
ab
c
ac
b
cac
b
bc

b
bc
a 111

(Đpcm)
Dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c .
Ta có thể áp dụng phương pháp Hoán vị vòng quanh cho một số bài tập sau:
Cho
0,,

cba
1)
cba
b
ac
a
bc
c
ab

2)
bccaabcba

222
3)
cabcabcba 53423

4)
)(
222222

3 3 3 3
3 3
1 1
1
3 3
x y y z
z x
xy yz zx
+ + + +
+ +
+ + ³

(
Đ
H khèi D-2005)
4)
0,,

cba
:
a
bc
a
cb
c
ba
cba
222
222222


=c không đổi ,sau đó ta áp dụng Bất đẳng thức Côsi.
Bài 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) =
1
1


x
x
với x >1.
Giải
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho hai số x -1 >0 và
0
1
1


x
ta có:
 
3
1
1
2
1
1
1
1
1
12
1

1
2
2



x
x
Phân tích: Áp dụng trực tiếp Bất đẳng thức Côsi cho 3 số hạng ta thấy không có
kết quả. Nếu ta linh hoạt áp dụng cân bằng tổng bằng cách phân tích 2x
thành (x+1)+ (x+1)-2 rối áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số sẽ có
kết quả tức thì.
Bài 6. Với mọi số thực x

0 CMR:
 
1
3
27
2



x
x
Phân tích: Biến đổi vế trái thành một tổng của các số hạng có tích không đổi nên
ta phân tích x thành 3 số hạng có dạng
3
3


3
3
3
3
3









x
xxx
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 4 số ta có
điều phải chứng minh. Dấu "=" xẩy ra khi x = 0.
8
Ta có thể áp dụng phương pháp cân bằng tổng cho các ví dụ sau:
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
12
2


x
xP
với x > 0.
2) CMR: với x>-3 thì:
 

1
32

yx
ta có: y =
2
6
3
2
3



xx
x

Vậy Q=
5
2
6
2
2
6
3





x

ta áp dụng Bất đẳng thức Côsi.
Bài 7: Cho hai số dương a,b thõa mãn: a+b=1 CMR:
27
4
2

ab
Phân tích: Ta phân tích biểu thức ab
2
thành một tích có tổng không đổi mà tổng
đó có mối liên hệ đến a+b=1.
Giải:
Ta có :
22
4
2
bb
aab

Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương là:
2
,
2
,
bb
a
Suy ra:
27
4
2

(Đpcm)
Dấu "=" xẩy ra khi:
3
2
,
3
1

ba
9
Ta có thể áp dụng phương pháp cân bằng tích cho các ví dụ sau:
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1) y = 4x
3
- 3x
2
với 0 ≤ x ≤ 4/3
2) y = (3 - x) (4 - y) (2x + 3y) với 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 4
3) y = (2 + x) (4 - x
2
) với 0 ≤ x ≤ 4
4) y = x (1 - x
2
) với 0 ≤ x ≤ 1
5) y =
2 3 5 2x x
- + -
5. Phương pháp chọn điểm rơi Côsi và thêm hạng tử .
Đây là một phương pháp quan trọng thường áp dụng để biến đổi bài toán
theo định hướng sử dụng Bất đẳng thức Côsi, với phán đoán dấu đẳng thức xẩy ra khi

Giải:
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho các số dương
a
a
c
c
c
b
b
b
a
,,,,,
222
ta có:

2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 ; 2 ; 2
2 2 2
a b c
b a c b a c
b c a
a b c a b c
b c a a b c a b c
b c a b c a
+ ³ + ³ + ³
Þ + + + + + ³ + + Þ + + ³ + +
Dấu "=" xẩy ra khi: a=b=c.
Theo phân tích ở trên thì sẽ có câu hỏi là tại sao lại thêm hạng tử b cho
b

Nên chỉ có thể chọn b=m.
Để nắm rõ ta làm tiếp bài tập sau.
Bài 9: Cho 3 số
0,,

cba
CMR:
2
222
cba
ab
c
ca
b
cb
a







Phân tích: Điểm rơi a=b=c
Ta thêm cho
cb
a

2
một số m thõa mãn :

cb
a



2
. Khi thay a=b=c thì
4


Giải:
Áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho các số dương

4
,,
4
,,
4
,
222
ba
ba
cac
ac
bcb
cb
a




ï
+ ³ Þ + + + + + ³ + + Þ
ý
+ + + +
ï
ï
+
+ ³
ï
+
þ
+ +
+ + ³
+ + +

Dấu "=" xẩy ra khi a=b=c.
Tuy nhiên thêm hạng tử nào cho hợp lý thì tùy từng bài và ví dụ cụ thể.
11
Bài 10: Chứng minh rằng với a,b,c dương ta luôn có:
222
333
cba
a
c
c
b
b
a



2c

Chứng minh
cabcabcba

222
và cộng các Bất đẳng thức ta có ĐPCM.
Cách 2:
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
3 ; 3 ; 3
a a b b c c
b b c b a c
b b c c a a
+ + ³ + + ³ + + ³

Cộng lại theo vế ta có ĐPCM
Bài 11. Chứng minh rằng với a,b,c>0 ta có:
a
c
a
b
b
a
a
c
c
b
b
a

2

,
c
b
c
b
21
2
2

,
a
c
a
c
21
2
2


Cộng lại theo vế ta có ĐPCM
Bài 12. Chứng minh rằng với x,y,z là các số dương thõa mãn xyz=1 ta có:

zyxzyx

333
Phân tích: Điểm rơi x=y=z=1
Vì vậy ta thêm vào x
3

a b c
b c c a a b
+ + ³
+ + + + + +
Phân tích: Điểm rơi a=b=c=1
12
Ta sẽ thêm cho
)1)(1(
3
cb
a

những hạng tử nào? Chắc chắn là:

cb

1
;
1
với

là một số dương nào đó. Để xẩy ra dấu "=" khi sử dụng Bất đẳng
thức Côsi
3
1 1
(1 )(1 )
a b c
b c
a a
+ +

+ +
+ + ³
+ +
3 3 3
3 1 3
( )
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 4 2 2
a b c
a b c
b c c a a b
Þ + + + ³ + + ³
+ + + + + +
(Đpcm)
Dấu "=" xẩy ra khi a=b=c=1.
Bài 14: Cho a,b,c là các số dương thõa mãn: a + 2b+ 3c=20
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
cba
cbaS
4
2
93


(Đề thi HSG tỉnh Khối 12 năm 2006)
Phân tích: Dự đoán điểm rơi a=2, b=3,c=4.
Giải:
Sử dụng Bất đẳng thức Côsi ta có:

3
4









b
b
b
b
b
b



8
4
2
93
4
1
2
1
4
3

cba
cba

2
1
4
1
2032

cbacba
(2)
13
Cộng các vế của (1) và (2) ta có
S =

13
4
2
93

cba
cba
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của S =13 khi a=2, b=3,c= 4 .
Bài 15. Cho a,b là các số dương thõa mãn a.b=1 .
Tìm giái trị nhỏ nhất của
a
b
b
a
P



; ( )
1 4 2 2 1 4 2 2 1 1 2 4 2
a b b c a b
a b a b
b c b c
+ +
+ + ³ + + ³ Þ + + ³ + ³
+ + + +
MinP = 1. khi a=b=1
Một số ví dụ áp dụng phương pháp chọn điểm rơi và thêm hạng tử :
1. Cho a+b+c=0 . CMR:
8
a
+ 8
b
+ 8
c

≥
2
a
+ 2
b
+ 2
c
(ĐHQGHN 2000)
Hướng dẫn: Đặt
cba
zyx 2;2;2


3
3 3 3 3
1 3 . .1 3
a a a a a
b b b b b
+ + ³ =
tương tự cho
3 3
3 3
;
b c
c a
3. Cho
0,,

cba
CMR
2
cba
ca
ac
cb
cb
ba
ab






yx
z
zx
y
yz
x
6. Với x,y,z > 0:
xzzyyxzyx
222333

7. CMR: 8
x-y
+ 8
y-z
+ 8
z- x
≥ 4
x-y
+ 4
y-z
+ 4
z-x
8. Cho a,b,c>0 thõa mãn abc=1. tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
14
acbc
ab
cbab
ca
caba
bc





22
23
1
yx
yx













32
3
32
2
y
x
Bài tập 15: Tìm giá trị nhỏ nhất của P =
2 3

b c c a a b
+ +
+ + +
HD: Thêm 3 vào hai vế của bất đẳng thức ta xuất hiện

1 1 1
2( )( ) 9a b c
a b b c c a
+ + + +
+ + +
II.3 Các bài tập chọn lọc
15
Cuối cùng tôi xin đa ra một lớp các bài tập tham khảo để các thày cô nâng cao kĩ
năng giải bài cho các em:
1. Cho x, y, z > 0 cm:
26
)(
16
)(
9
)(
4






z
xy

c
b
b
a
a











1
1
1
1
1
1
2
3
111
222
4. Cho x + y = 1, x, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
xy
yx
A

- + - + - +
ỗ ữ
ố ứ
6. ĐH BKHN - 2000:
a) Cho a + b 0. Chứng minh
3
33
22









baba
b) Cho tam giác ABC. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
333
333
2
cos
2
cos
2
cos
sinsinsin
CBA
cBA

cabcba
HD:
abc
abcacabcbcabcba
1111
333333






; sau đó sử dụng a
3
+b
3
ab(a+b)
8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
12
44
22
ba
ba
ab
A







b)
8
)(
4
44
yx
yx


c) x > 0, y > 0, x + y = 1. CM:
5
1
)(8
44

xy
yx
11. Giả sử x, y là các số dơng thoả mãn x + y =
10
. Tìm giá trị của x, y để P = ( x
4
+ 1)
( y
4
+ 1) đạt giá trị nhỏ nhất.
HD. đặt t= xy thì x
2
+ y







cabcba
HD tách:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
( )
2 3 2( 1) 4 1 2 2a b a b a b
= Ê +
+ + + + + +
14. Cho a + b = 5, a, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất
ba
P
11

15. CMR
)(
2
1
1
444333222
zyxzyxxzzyyx

Trong đó x, y, z là những số không âm thoả mãn x + y + z = 2.
16. Với a, b, c dơng và thoả mãn a + b + c = 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của

3
abc
cba
a
c
c
b
b
a


b)
3
2
2
2
2
2
2
2
2
abcd
dcba
a
d
d
c
c
b
b

các bài kiểm tra.
Kết quả:
Tầm kiến thức Số lợng HS Tỷ lệ
Nhận biết 82 82%
Thông hiểu 75 75%
Vận dụng 65 65%
b.
Trong các kỳ thi Đại học cao đẳng:
Khối D năm 2004, Khối A,D năm 2004 Tỷ lệ học sinh làm đợc
câu V khá cao.
(Các câu có dạng toán thuộc đề tài đã nêu)
IV. Kết luận
Đề tài này đã đợc kiểm nghiệm và cho kết quả khả quan,
nhng cha rộng. Tôi xin chân thành cám ơn các đồng nghiệp đã góp ý
để hoàn thiện đề tài. Tuy nhiên đề tài chắc chắn còn có nhiều khiếm
khuyết. Tôi rất mong tiếp tục nhận đợc sự góp ý của đồng nghiệp.

Một lần nữa xin chân thành cảm ơn!
19