ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

———- * ———

NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀ ĐỊNH TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - Năm 2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

o0o

NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀ ĐỊNH TÍNH
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN SINH BẢY


Khái niệm phương trình sai phân . . . . . . . . . .

5

Phương trình sai phân trong R1 và một vài ứng dụng . . . .

7

1.2.1

Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số hằng .

7

1.2.2

Một vài ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

Phương trình sai phân tuyến tính trong Rp . . . . . . . . . 13
1.3.1

Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất. . . . . . . . . 14

1.3.2

Nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất. . . . . 16


Phương pháp bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . 43
i

. . . . . . . . . . 28


MỤC LỤC

Kết luận

49

Tài liệu tham khảo

50

ii


Bảng ký hiệu
ρ(A) - tập giải của toán tử tuyến tính A.
σ(A) - tập phổ của toán tử tuyến tính A.
Φ(n, m) - ma trận cơ bản của hệ thuần nhất.
K - lớp hàm Hahn

iii


Mở đầu
Các quá trình với thời gian liên tục (t ∈ R) trong Toán học và trong các

Chương 2 trình bày một số định tính, chủ yếu là tính ổn định của các
phương trình sai phân, phương pháp nghiên cứu tính ổn định.
Do em mới bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu nên bản luận văn
không tránh khỏi nhiều thiếu sót. Kính mong các thầy và các đồng nghiệp
chỉ bảo và lượng thứ.
Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Sinh
Bảy. Nhân dịp này em xin cảm ơn thầy đã giúp đỡ em trong việc nắm
bắt các kiến thức chuyên ngành và trong việc định hình, hoàn thiện bản
luận văn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo và các thầy
cô trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại Học, trường ĐHKHTN,
ĐHQGHN về kiến thức quý giá mà em đã nhận được trong thời gian học
tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn các thầy cô, các bạn trong Xemina của tổ Giải tích, ĐHKHTN. Cảm ơn các bạn trong tập thể lớp Cao
học giải tích. Cám ơn gia đình, người thân về những lời động viên, khích lệ.

Hà Nội tháng 12 năm 2011

Nguyễn Thị Mỹ Hằng

2


Chương 1

Phương trình sai phân
và một vài ứng dụng
1.1
1.1.1

Sai phân và phương trình sai phân
Thang thời gian Z và sai phân

giá trị trong Rp . Khi đó, sai phân cấp một của hàm f (·) tại n ∈ Z là hiệu
sau đây:

∆f (n) = f (n + 1) − f (n).

(1.1)

Sai phân cấp hai là:

∆2 f (n) = ∆(∆f (n)) = f (n + 2) − 2f (n + 1) + f (n).

(1.2)

Sai phân cấp k là:
k
k

∆ f (n) = ∆(∆

k−1

Cki (−1)i f (n + i).

f (n)) =
i=0

Sai phân các cấp có các tính chất (xem [3]):
1. ∆c = 0 (c là hằng số).

0


(1.4)

trong đó không được khuyết ∆k x(n). Khi đó, đẳng thức (1.4) được gọi là
một phương trình sai phân cấp k .
Từ định nghĩa 1.1.1, ta thấy mọi phương trình sai phân cấp k có thể
đưa về dạng tương đương sau đây

F1 (n, x(n + k), x(n + k − 1), ..., x(n + 1), x(n)) = 0.

(1.5)

Trường hợp riêng sau đây của (1.5) gọi là một phương trình sai phân
cấp k dạng chính tắc

x(n + k) = f (n, x(n + k − 1), x(n + k − 2), ..., x(n + 1), x(n)).

(1.6)

Trường hợp đặc biệt sau đây của (1.6) được gọi là phương trình sai
phân tuyến tính cấp k

x(n + k) + ak−1 (k)x(n + k − 1) + · · · + a1 (k)x(k + 1) + a0 (k)x(k) = f (k).
(1.7)
Nếu f (k) ≡ 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất

x(n+k)+ak−1 (k)x(n+k −1)+· · ·+a1 (k)x(k +1)+a0 (k)x(k) = 0. (1.8)
Nếu các hệ số ai (k) đều không phụ thuộc vào k thì ta có phương trình
sai phân hệ số hằng.
Tính chất của phương trình sai phân tuyến tính



x(k − k + 2) = x0−k+2

 0
......





x(k0 − 1) = x0−1




x(k ) = x0 .
0
0

Trong đó (x0−k+1 , x0−k+2 , ..., x0−1 , x00 ) là một bộ gồm k vector cho trước trong
Rp .
Phương trình sai phân phi tuyến dạng chính tắc
Phương trình sai phân chính tắc cấp k (1.5) (trong không gian X nào đó)
cũng thường được viết theo cách sau

x(n + 1) = f (n, x(n), x(n − 1), ..., x(n − k + 1)).
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình này không đòi hỏi
tính liên tục, tính Lipschtz của hàm f . Đây là một điểm khác biệt (đơn
giản hơn) so với trường hợp phương trình vi phân. Với điều kiện ban đầu


Xét phương trình sai phân (xem [3, 7])

x(n + k) + ak−1 x(n + k − 1) + · · · + a1 x(n + 1) + a0 x(n) = f (n) (1.9)
và phương trình thuần nhất tương ứng

x(n + k) + ak−1 x(n + k − 1) + · · · + a1 x(n + 1) + a0 x(n) = 0. (1.10)
7


Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng

Phương trình đặc trưng

P (λ) = λk + ak−1 λk−1 + · · · + a1 λ + a0 = 0.

(1.11)

Định lý 1.2.1. Nếu phương trình đặc trưng (1.11) có k nghiệm thực phân
biệt là λ1 , λ2 , ..., λk thì nghiệm tổng quát của (1.10) là

x(n) = c1 λn1 + c2 λn2 + · · · + ck λnk ,

(c1 , c2 , .., ck là các hằng số).

Nếu có λj = αj + iβj (nghiệm phức đơn) thì số hạng cj λnj được thay
bởi

(αj )n [c0j cos nβj + c1j sin nβj ]



1.2.2

Một vài ứng dụng

Ta tìm hiểu cách vận dụng kiến thức về phương trình sai phân đã xét trên
đây cho một số bài toán trong Số học, Đại số, Giải tích.
1.2.2.1. Tính tổng của một dãy số
Ví dụ 1.2.3. Tính tổng S1 = 13 + 23 + 33 + · · · + n3 .
Lời giải. Đặt ∆x(k) = k 3 hay

x(k + 1) − x(k) = k 3 .

(*)

Đây là một phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng.
Phương trình thuần nhất tương ứng là

x(k + 1) − x(k) = 0.

(**)

Phương trình đặc trưng là: λ − 1 = 0 ⇔ λ = 1. Vậy nghiệm tổng quát
của phương trình thuần nhất (∗∗) là:

x(n) = c · 1n = c.
Do f (k) = k 3 = 1n · P3 (n) và α = 1 là nghiệm của phương trình đặc
trưng nên ta có thể tìm nghiệm riêng của phương trình (∗) ở dạng:

xˆ(n) = n(An3 + Bn2 + Cn + D).

4



B = − 1
2
⇔
1


C=



4


D = 0.


Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (∗) là

x(n) = x(n) + xˆ(n) = c +

1 4 1 3 1 2
·n − ·n + n .
4
2

1.2.2.2. Tính định thức
Ví dụ 1.2.4. Tính định thức cấp n:

3 2 0 0
1 3 2 0
D(n) = 0 1 3 2
... ... ... ...
0 0 0 0

... 0
... 0
... 0
... ...
... 3

Lời giải. Phân tích định thức trên theo dòng một, ta được

D(n) = 3D(n−1)−2D(n−2) ⇔ D(n)−3D(n−1)+2D(n−2) = 0. (*)
Đây là một phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số
hằng, với điều kiện ban đầu:



D(1) = 3



3 2

D(2)

D(1) = 3
C = 2.


2

D(2) = 7
Vậy D(n) = 2n+1 − 1.
1.2.2.3. Tìm quy luật của một dãy vec tơ

Ví dụ 1.2.5. Tìm quy luật của dãy vector (x(n), y(n))T , trong đó:

x(n) :

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

y(n) :

7, 19, 37, 65, 91, 127, 169, 217, ...

Lời giải. Từ dãy số liệu của x(n), ta thấy

∆x(0) = 7

∆2 x(0) = 12

∆3 x(0) = 6

∆4 x(0) = 0



Như vậy, ta có hệ phương trình sai phân tuyến tính với điều kiện ban
đầu



x(n + 4) − 4x(n + 3) + 6x(n + 2) − 4x(n + 1) + x(n) = 0 (∗)


x(n + 1) = y(n) + x(n)
(∗∗)



x(0) = 1, x(2) = 8, x(3) = 27, x(4) = 64; y(1) = 7.
(∗ ∗ ∗)
Phương trình đặc trưng của (∗) là:

λ4 − 4λ3 + 6λ2 − 4λ + 1 = 0 ⇔ λ = 1 (bội 4).
Vậy nghiệm tổng quát của (∗) có dạng:

x(n) = (an3 + bn2 + cn + d) · 1n
Thay điều kiện ban đầu:



x(n) = an3 + bn2 + cn + d





b = 5
⇔
3


c
=


2



d = 1.

1
3
Vậy x(n) = n3 + 5n2 + n + 1. Tiếp theo từ (**) và (***), ta có
2
2
3
23
y(n) = x(n + 1) − x(n) = ... = n2 + n + 7.
2
2
Dãy vector cần tìm là:
3
3
23

Xét phương trình sai phân tuyến tính dạng chính tắc:

x(n + k) =
ak−1 x(n+k−1)+ak−2 x(n+k−2)+· · ·+a1 x(n+1)+a0 x(n)+f (n). (1.13)
Đặt




y1 (n) = x(n)






y (n) = x(n + 1) = y1 (n + 1)

 2
..............





yk−1 (n) = x(n + k − 2) = yk−2 (n + 1)







yk−1 (n + 1) = yk (n)




y (n + 1) = a y (n) + a y (n) + · · · + a y (n) + a y (n) + f (n).
k
0 1
1 2
k−2 k−1
k−1 k
13


Chương 1. Phương trình sai phân và một vài ứng dụng



0 1 0 0

0 0 1 0

Đặt A = 
0 0 0 1

. . . . . . . . . . . .
a0 a1 a2 a3


, Y (n) =  ...  và F (n) =



. . . . . .
yk (n)
. . . ak

(1.13) trở thành

Y (n + 1) = AY (n) + F (n).

(1.14)

Ngược lại, ta cũng có thể đưa một phương trình sai phân tuyến tính
cấp một trong Rp về một phương trình sai phân tuyến tính cấp k trong
R1 . Một cách tổng quát, mỗi phương trình sai phân tuyến tính cấp l trong
Rd đều có thể đưa về một phương trình sai phân tuyến tính cấp một trong
Rl+d . Vì vậy, không giảm tính tổng quát khi ta xét các phương trình sai
phân tuyến tính cấp một:

x(n + 1) = A(n)x(n) + f (n).

(1.15)

Phương trình thuần nhất của nó là:

x(n + 1) = A(n)x(n).

1.3.1






..............




x(n) = A(n − 1)A(n − 2) · · · A(n )x0 .
0
n−1

Đặt Φ(n, n0 ) = A(n − 1)A(n − 2) · · · A(n0 + 1)A(n0 ) =

A(i)
i=n0

và C = x(n0 ) - vector hằng tùy ý. Khi đó, ta có

x(n) = Φ(n, n0 )C.

(1.17)

Ma trận

Φ(n, m) = A(n − 1)A(n − 2) · · · A(m + 1)A(m)

(m ≤ n)

Từ nghiệm tổng quát của (1.16) ở dạng (1.17):

x(n) = Φ(n, n0 )C
bằng phương pháp biến thiên hằng số ta có thể tìm được công thức nghiệm
tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất (1.15).
Giả sử A(n) không suy biến với mọi n ∈ Z. Ta làm như sau: Ở (1.17) coi

C là một hàm của n, tức là C = C(n). Khi đó
x(n) = Φ(n, n0 )C(n) ⇒ x(n + 1) = Φ(n + 1, n0 )C(n + 1).
Thay x(n), x(n + 1) vào (1.15), ta được

Φ(n + 1, n0 )C(n + 1) = A(n)Φ(n, n0 )C(n) + f (n)
⇔ Φ(n + 1, n0 )C(n + 1) = Φ(n + 1, n0 )C(n) + f (n)

(1.20)

⇔ C(n + 1) − C(n) = Φ−1 (n + 1, n0 )f (n).
Từ (1.20), ta có:



C(n0 + 1) − C(n0 ) = Φ−1 (n0 + 1, n0 )f (n0 )




C(n + 2) − C(n + 1) = Φ−1 (n + 2, n )f (n + 1)
0
0
0


Φ−1 (n0 + i, n0 )f (n0 + i − 1)]

x(n) = Φ(n, n0 )[C +
i=1
n−1

⇔ x(n) = Φ(n, n0 )C +

(1.22)

Φ(n, n0 + i)f (n0 + i − 1)
i=1

Hai trường hợp riêng:
1) Nếu lấy n0 = 0 thì
n−1

Φ(n, i)f (i − 1).

x(n) = Φ(n, 0)C +
i=1

2) Nếu A là ma trận hằng và n0 = 0 thì
n−1
n

An−i f (i − 1).

x(n) = A C +

3
1

x3 (n + 1) = −
x1 (n) + x3 (n).
2
2
√ 

1
3
0
 2
2 


n
. Ta có det(A(n)) = 4n khác 0 với
Lời giải. A(n) = 
0
4
0

 √

3
1 
−
0
2

n
A(n) =  0
4
0 

π
π
− sin
0 cos
3
3


Bằng phương pháp quy nạp, ta có thể chứng tỏ:

nπ 
π
0
sin
cos n

3
3 
2


n
−n
Φ(n, 0) = 
0

3


3
3
n2 −n 0
x2 (n) = 2
x2



x (n) = −x0 sin nπ + x0 cos nπ .
3
1
3
3
3

1.3.3

Ứng dụng kết quả trong R1 cho phương trình
trong Rp

Công thức nghiệm tổng quát của hệ x(n + 1) = Ax(n), x ∈ Rp là x(n) =

An C và của hệ x(n + 1) = Ax(n) + f (n) là
n−1
n

An−i f (i − 1).

.
2n + 1.

Khi đó, hệ trên có dạng

X(n + 1) = AX(n) + F (n).

(3*)

Tránh việc tính An trong công thức tính nghiệm tổng quát của hệ, ta
1
giải cách khác như sau: Từ (1∗) và (2∗) ta có y(n) = [x(n + 1) − x(n) − n]
2
và

x(n + 2) = x(n + 1) + 2y(n + 1) + n + 1
= x(n + 1) + 2[−x(n) + 4y(n) + 2n + 1] + n + 1
= 5x(n + 1) − 6x(n) + n + 3.
Vậy ta đưa được hệ (1∗), (2∗) về hệ:

x(n + 2) − 5x(n + 1) + 6x(n) = n + 3 (4∗)
y(n) = 1 [x(n + 2) − x(n + 1) − n − 1]. (5∗)
2
1
9
Giải (4∗) ta có: x(n) = C1 2n + C2 3n + n + . Thay vào (5∗) ta có
2
4
5
y(n) = 3C1 2n + 6C2 3n +




k + 1 3
0
k+2
Lời giải. Do A(0) khác 0 nên ta có thể lấy điều kiện ban đầu tại k = 0
là (0, u0 ). Ma trận cơ bản:

1

Φ(k, 0) = 


0


k
k+1 




1
(k + 1)3

(*)

Ta có thể kiểm tra (∗) bằng phương pháp quy nạp. Nhắc lại rằng




3
2
0
33

2
3


1
33

Ta cần chỉ ra rằng Φ(2, 0) = A(1)A(0). Quả vậy, ta có



 
1 22 1
22  1 
2
1 3  1 2  1 2 + 3 · 23  1 3 

 

 


