Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
4
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)
2
£ (a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
) BĐT Bunhiacopxki
2. Chứng minh: +£sinxcosx2
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 4b
2
³ 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 5b
2
³
725
47
.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a
2

22
(*)
(*) Û
++
æö
-³
ç÷
èø
3
33
abab
0
22
Û
()( )
+-³
2
3
abab0
8
. ĐPCM.
2. Chứng minh:
++
£
22
abab
22
(«)
÷ a + b £ 0 , («) luôn đúng.
÷ a + b > 0 , («) Û

()
++
£
3
33
abab
82

Û
( )
( )
--£
22
3baab0 Û
()( )
--+£
2
3baab0, ĐPCM.
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: +³+
ab
ab
ba
(«)
(«) Û +³+aabbabba Û
()()
---³abaabb0
Û
()
( )
--³abab0 Û

£
22
abab
22

3. Cho a + b ³ 0 chứng minh:
++
³
33
3
abab
22

4. Cho a, b > 0 . Chứng minh: +³+
ab
ab
ba

5. Chứng minh: Với a ³ b ³ 1: +³
+
++
22
112
1ab
1a1b

6. Chứng minh:
( )
+++³++
222

a
bcabac2bc
4

11. Chứng minh: ++³++
22
ab1abab
12. Chứng minh: ++³-+
222
xyz2xy2xz2yz
13. Chứng minh: +++³-++
4422
xyz12xy(xyxz1)
14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: +³
33
1
ab
4

15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca £ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
c. 2a
2

3. Chứng minh:
( )( )( )
( )
+++³+
3
3
1a1b1c1abc với a , b , c ³ 0
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
+
æöæö
+++³
ç÷ç÷
èøèø
mm
m1
ab
112
ba
, với m Î Z
+

5. Chứng minh: ++³++³
bccaab
abc;a,b,c0
abc

6. Chứng minh:
+
³-³
69

abc1111
2abc
abbcac

11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ³-+-abab1ba1.
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13. Cho a > b > c, Chứng minh:
( )( )
³--
3
a3abbcc.
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c ³ 16abc.
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ³ 8abc
c)
æöæöæö
+++³
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
111
11164
abc

15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
( )
+³
-
1
x3
xyy

++£>
+++
abbccaabc
;a,b,c0
abbcca2

18. Chứng minh: +£
++
22
44
xy1
4
116x116y
, "x , y Î R
19. Chứng minh: ++³
+++
abc3
bcacab2
; a , b , c > 0
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
3
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
++£
++++++
333333
1111
abc
ababcbcabccaabc

21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:

27. Cho =+>
-
x51
y,x
32x12
. Định x để y đạt GTNN.
28. Cho =+
-
x5
y
1xx
, 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
29. Cho
+
=
3
2
x1
y
x
, x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
30. Tìm GTNN của
++
=
2
x4x4
f(x)
x
, x > 0.
31. Tìm GTNN của =+

. Định x để y đạt GTLN
38. Cho
( )
=
+
2
3
2
x
y
x2
. Định x để y đạt GTLN

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
8
7. Chứng minh: +³-
+
42
2
1
2a3a1
1a
(«)
(«) Û ++++³
+
4422
2
1
aaa14a
1a

+>+=++++³=
14243
1995
1995199519951995
1994soá
a1995a1994a11...11995a1995a

9. Chứng minh:
( ) ( ) ( )
+++++³
222222
a1bb1cc1a6abc .
°
( ) ( ) ( )
+++++=+++++
222222222222222
a1bb1cc1aaabbbccca
÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm:
° +++++³=
6
222222222666
aabbbccca6abc6abc
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
æö
++£++
ç÷
èø
+++
222222
abc1111

2abc
abbcac

11. Cho a , b ³ 1 , chứng minh: ³-+-abab1ba1.
°
( ) ( )
=-+³-=-+³-aa112a1,bb112b1
° ³-³-ab2ba1,ab2ab1
° ³-+-abab1ba1
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz ³ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
°
( ) ( )
=-+=-+++-xx11x1xyz3

( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
=-+-+-+-³---
2
4
x1x1y1z14x1y1z1
Tương tự:
( )
( )
( )
³---
2

Û
( )
( )
( )
( )
--
+³
++++
22
22
abaabb
0
1a1ab1b1ab

Û
( )
( )
( )
( )
( )
( )
--
+³
++++
22
ababab
0
1a1ab1b1ab
Û
-

( )
( )( )
--
³
+++
2
22
baab1
0
1ab1a1b
, ĐPCM.
÷ Vì : a ³ b ³ 1 Þ ab ³ 1 Û ab – 1 ³ 0.
6. Chứng minh:
( )
+++³++
222
abc32abc ; a , b , c Î R
Û
( ) ( ) ( )
-+-+-³
222
a1b1c10. ĐPCM.
7. Chứng minh:
( )
++++³+++
22222
abcdeabcde
Û -++-++-++-+³
2222
2222

abcabbcca
;a,b,c0
33

÷ ++³++
222
abcabbcca
÷
+++++++++
æö
=³
ç÷
èø
2
222
abcabc2ab2bc2caabbcca
393

Û
++++
³
abcabbcca
33

b. Chứng minh:
++++
æö
³
ç÷
èø

a
bcabac2bc
4

Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
6
Û
( )
--++-³
2
22
a
abcbc2bc0
4
Û
( )
æö
--³
ç÷
èø
2
a
bc0
2
.
11. Chứng minh: ++³++
22
ab1abab
Û ++---³
22

xyxzx10.
14. Chứng minh: Nếu a + b ³ 1 thì: +³
33
1
ab
4

° a + b ³ 1 Þ b ³ 1 – a Þ b
3
= (1 – a)
3
= 1 – a + a
2
– a
3

Þ a
3
+ b
3
=
æö
-+³
ç÷
èø
2
111
3a
244
.

2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
b. abc ³ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
÷
( )
>--
2
22
aabc Þ
( )( )
>+-+-
2
aacbabc
÷
( )
>--
2
22
bbac Þ
( )( )
>+-+-
2
bbcaabc
÷
( )
>--

– b
4
– c
4
> 0
Û 4a
2
b
2
+ 2c
2
(b
2
+ a
2
) – a
4
– b
4
– 2a
2
b
2
– c
4
> 0
Û 4a
2
b
2

2
– c
2
] > 0
Û (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng
° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác
Þ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0.
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
7
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:

1. Chứng minh: +++³³(ab)(bc)(ca)8abc;a,b,c0
÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:
Þ +³ab2ab , +³bc2bc , +³ac2ac
Þ
( )( )( )
+++³=
222
abbcac8abc8abc .
2. Chứng minh: ++++³³
222
(abc)(abc)9abc;a,b,c0
÷ Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
Þ ++³
3
abc3abc , ++³
3
222222
abc3abc
Þ

1a1b1c13abc3abcabc1abc
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
+
æöæö
+++³
ç÷ç÷
èøèø
mm
m1
ab
112
ba
, với m Î Z
+

÷
+
æöæöæöæöæö
+++³++=++
ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèøèø
³=
mmmmm
mm1
ababba
1121.122
babaab
242

5. Chứng minh: ++³++>

6. Chứng minh:
+
³-³
69
23
xy
3xy16;x,y0
4
(«)
(«) Û ++³
6923
xy6412xy Û
( )
( )
++³
3 3
23323
xy412xy
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:

()
()
++³=
33
2332323
xy43xy412xy .
Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
12
Du = xy ra
( )


ữ p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm
( )
+
+
3x11
,
2x1
:

( ) ( )
++
=+--=-
++
3x1133x1133
y2.6
2x122x122

Du = xy ra

( )
( )
ộ
=-
ờ
+
ờ
=+=
ờ
+

-
=++
-
2x151
y
62x13

ữ p dng bt ng thc Cụsi cho hai s khụng õm
-
-
2x15
,
62x1
:

--+
=+++=
--
2x1512x151301
y2.
62x1362x133

Du = xy ra

( )
ộ
+
=
ờ
-

-
x5
y
1xx
, 0 < x < 1 . nh x y t GTNN.
Trn S Tựng Tuyn tp Bt ng thc
9
14. Cho: a , b , c > 0 v a + b + c = 1. Chng minh:
a) b + c 16abc.

+
ổử

ỗữ
ốứ
2
bc
bc
2

( )
+-
ổửổử
Ê==-
ỗữỗữ
ốứốứ
22
2
bc1a
16abc16a16a4a1a

2
1aabc4abc
1
aaa


+
4
2
14abc
1
bb

+
4
2
14abc
1
cc

ữ
ổửổửổử
+++
ỗữỗữỗữ
ốứốứốứ
111
11164
abc

15. Cho x > y > 0 . Chng minh:

x1
++
22
x22x1 +++
22
x112x1
b)
+
-
x8
x1
=
-+
=-+-=
---
x1999
x12x16
x1x1x1

c.
( ) ( )
+++=+
222
a1424a14a1
+

+
2
2
a5

abcabbcca .

++++
++ÊÊ
+++
abbccaabbcacabc
abbcca22

Tuyn tp Bt ng thc Trn S Tựng
10
18. Chng minh: +Ê
++
22
44
xy1
4
116x116y
, "x , y ẻ R

( )
=Ê=
+
+
222
422
xxx1
8
116x2.4x
14x



+-+-+-
===
YZXZXYXYZ
a,b,c
222


ộự
ổửổửổử
++=+++++-
ỗữỗữỗữ
ờỳ
+++ốứốứốứ
ởỷ
abc1YXZXZY
3
bcacab2XYXZYZ[ ]
++-=
13
2223
22
.
Cỏch khỏc:

ổửổửổử
++=+++++-

2bcacab22

20. Cho a , b , c > 0. C/m:
++Ê
++++++
333333
1111
abc
ababcbcabccaabc


( )
( )
( )
+=+-++
3322
ababaabaabab
ị
( ) ( )
++++=++
33
ababcabababcababc, tng t

( ) ( )
++++=++
33
bcabcbcbcabcbcabc

( ) ( )
++++=++

ữ
++++
+++
4
abcabc
abc4.abc
33


++++

4
abcabc
abc
33

++++
ổử

ỗữ
ốứ
4
abcabc
abc
33


++
ổử


vỡ : ++
333
abc3abc
Vy: ++++
333222
abcabcbaccab
23. Chng minh: ++
39
4
2a3b4c9abc
ữ p dng bt ng thc Cụsi cho 9 s khụng õm:
=++++++++
3339
4444
VTaabbbcccc9abc
24. Cho =+
x18
y
2x
, x > 0. nh x y t GTNN.
ữ p dng BT Cụsi cho hai s khụng õm: =+=
x18x18
y2.6
2x2x

Du = xy ra ===
2
x18
x36x6
2x


Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
16
°
( )
æö
-£++
ç÷
èø
22
2349
3a5b3a5b
35
35
Û 3a
2
+ 5b
2
³
735
47
.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a
2
+ 11b
2
³
2464
137
.

4
+ b
4
³ 2.
÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
°
( )
( )
=+£++
22
2ab11ab Û a
2
+ b
2
³ 2
°
( )
( )
( )
£+£++
2244
2ab11ab Û a
4
+ b
4
³ 2
7. Cho a + b ³ 1 Chứng minh: +³
22
1
ab

Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
13
°

( )
-+--
=+=++³+=+
---
x51x5xxx1x1x
f(x)55255255
1xx1xx1xx

Dấu “ = ‘ xảy ra Û
--
æö
=Û=Û=
ç÷
--
èø
2
x1xx55
55x
1xx1x4
(0 < x < 1)
° Vậy: GTNN của y là +255 khi
-
=

Û =
3
x2.
° Vậy: GTNN của y là
3
3
4
khi =
3
x2
30. Tìm GTNN của
++
=
2
x4x4
f(x)
x
, x > 0.
°
++
=++³+=
2
x4x444
x42x.48
xxx

° Dấu “ = ‘ xảy ra Û =
4
x
x

2
5
3
x1
x3
3
x
Û x = 2 (x > 0).
° Vậy: GTNN của y là
5
5
27
khi =
5
x3.
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
° f(x) = –10x
2
+ 11x – 3 =
æöæö
---=--+£
ç÷ç÷
èøèø
2
2
11x1111
10x310x
10204040

° Dấu “ = “ xảy ra Û =

æö
-££
ç÷
èø
5
3x
2
:
°
( ) ( ) ( )( )
=++-³+-112x652x22x652x Þ
1
2
(2x + 6)(5 – 2x) £
121
8

° Dấu “ = “ xảy ra Û 2x + 6 = 5 – 2x Û =-
1
x
4

° Vậy: Khi =-
1
x
4
thì y đạt GTLN bằng
121
8
.

4

° Vậy: Khi =
5
x
4
thì y đạt GTLN bằng
625
8

36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) , -
1
2
£ x £
5
2
. Định x để y đạt GTLN
÷ y = 3(2x + 1)(5 – 2x)
÷ Áp dụng BĐT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,
æö
-££
ç÷
èø
15
x
22
:
°
( ) ( ) ( )( )
++-³+-2x152x22x152x Þ (2x + 1)(5 – 2x) £ 9

.
38. Cho
( )
=
+
2
3
2
x
y
x2
. Định x để y đạt GTLN
° +=++³
3
222
x2x113x.1.1 Û
( )
( )
+³Þ£
+
2
3
22
3
2
x1
x227x
27
x2


adcb0.
2. Chứng minh: +£sinxcosx2
÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :
° +=sinxcosx
( )
( )
+£++=
2222
1.sinx1.cosx11sinxcosx2
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 4b
2
³ 7.
÷ Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số 3,3a,4,4b:
°
( )
( )
+=+£++
22
3a4b3.3a4.4b343a4b Û 3a
2
+ 4b
2
³ 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 5b
2
³