Trường THPT Long Mỹ
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
1) Phương trình nhị thức:
( )
0 0, 3
n
x a a n± = ≠ ≥
Đặt
. .
n n
n
x t a x t a= ⇒ =
đưa về dạng
1 0 1 0 1 0
n n n
t t t± = ⇔ + = ∨ − =
2) Dạng 1:
4 2
0ax bx c+ + =
(phương trình trùng phương). HD: Đặt
2
0t x= ≥
Tổng quát: Phương trình tam thức:
2
. . 0
n n
a x b x c+ + =
3) Dạng 2:
( ) ( ) ( ) ( )
;x a x b x c x d k a b c d+ + + + = + = +
HD: đặt

,
Đặt
1
t x
x
= ±

Tổng quát phương trình thuận nghịch bậc chẵn

( )
2 2 1
2 2 1 1 0 2 2
... 0 0; , 0, 1
n n n i
n n n i n i
a x a x a x a a a a k i n
− −
− −
+ + + + = ≠ = = −
Chẳng hạn :
( )
4 3 2
2 3 2 1 0 1x x x x k− + − + = =

( )
6 5 4 2
2 3 6 8 8 0 2x x x x x k− − + − − = = −
Đặt
k
t x

nghịch bậc chẵn.
6) Dạng 6:
( )
( ) ( )
2
2
2 3
1 1 1 0A x B x x C x− + + + + − =
Chia hai vế cho
( )
2
2
1x x+ +
và đặt
2
1
1
x
t
x x
−
=
+ +
Tổng quát:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
. . 0 .a A x bB x c C x A x B x C x+ + = =
BÀI TẬP
1) Giải các phương trình sau

x x
x x
+
   
− =
 ÷  ÷
+
   
b.
4 3 2
2 5 4 12 0x x x x+ + + − =
4) Gải các phương trình
Bài tập phương trình quy về bậc hai Giáo viên Bùi Văn Nhạn
Trang 1
Trường THPT Long Mỹ
a.
( ) ( )
2 3
2 3 1x x− + − =
b.
( )
4
4
1 97x x+ − =
c.
( ) ( )
4 4
3 5 16x x+ + + =
e.
3 5 3 4x x− = − +

1
2
t
t x x x x
−
= + − ⇒ − =
Cách 3: biến đổi
3 1 3
2 1 3
x
x
x
− −
=
− −
đặt
3 3
1
2 3
t
t x x
t
−
= − ⇒ =
−
suy ra
( )
( )
2
1 2 4 3 0 0 1t t t t t t− − + = ⇔ = ∨ =

0
4 3 3 9
x x x x x x x x≤ − ≤ ⇒ − ≥ − ≥ −
2
2 2 2
2
1
3
VP x x VT VP VT
 
⇒ ≥ + − = ⇒ ≥
 ÷
 
.
Đẳng thức có
2
0 0 1x x x x⇔ − = ⇔ = ∨ =
6)
2 2
5 1 ( 4) 1x x x x x+ + = + + +
Đặt
2
1 0t x x= + + >
pt
( )
2
4 4 0
4
t x
t x t x

⇔ − = ⇔

− + +
− + + =

8)
2 2
3 3 3 6 3x x x x− + + − + =

- Đặt
2 2 2
3 3 0 3 3t x x x x t= − + > ⇒ − + =
- Phương trình thành:
( )
2 2
2
2
3
3 3 3 3 1
3 3
t
t t t t t
t t
≥


+ + = ⇔ + = − ⇔ ⇔ =

+ = −


( ) ( )
2 2
2 2
2
2 2
4
4
4 2; 0
2 0
2 3
u v
u v
u x v x
u v u v
u v uv


= +
= +
 
= + ≥ = ≥ ⇒ ⇒
 
− − =
+ =





Giải ra ta được

- Đặt
3
2 ; 1 0u x v x= − = − ≥ dẫn tới hệ:
3 2
1
1
u v
u v
= −


+ =

Thế u vào phương trình dưới được:
( ) ( )
1 3 0v v v− − =
- Đáp số:
{ }
1;2;10x =
12)
2 7 5 3 2x x x+ − − = −
- Điều kiện:
2
5
3
x≤ ≤
- Chuyển vế sao cho 2 vế dương, rồi bình phương 2 vế ta dẫn tới phương trình cơ bản. Sau
đó giải tiếp theo như đã học.
- Đáp số:
14



=
− = −



- Đáp số:
{ }
4;5x =
14)Giải phương trình sau:
a.
2 2
2 6 12 3 2 9x x x x+ + + + + =
b.
2 2
2 6 12 7 0x x x x− + − + =
c.
( 1 1)( 1 1) 2x x x+ − − + =
d.
xx
−=−
22
2
e.
2
2006 2006x x+ + =
Cách 1: Đặt
2006x y+ =
Bài tập phương trình quy về bậc hai Giáo viên Bùi Văn Nhạn



+ = − +


f.
3
3
1 2 2 1x x+ = −
Đặt
3
2 1y x= −
g.
2
2 2 1 4 1x x x+ + = +
Đặt
2
y x x= +
h.
2 2
4 6 7 2 3 9 15x x x x+ + + + + =
i.
3
2 1 1x x− + − =
Đặt 2 ẩn phụ
3
2 ; 1x u x v− = − =
j.
3
2 1 3x x− + + =

b a
=

⇔

=

n.
2 2
2(3 5) 9 3 2 30x x x x+ + = + +
HD:
( )
2 2
3 2 3 1 9 3( 9) 2 3x x x x+ + + = + + +
 
 

Đặt
2
2 3 ; 9x a x b+ = + =
o.
3 2
5 2 16 2( 8)x x+ = +
HD:
2 2
5 2( 2)( 2 4) 2( 8)x x x x+ − + = +
Mối liên hệ
2 2
8 ( 2 4) (2 4)x x x x+ = − + + +
Đặt

++=−⇒=
xxxtu
2 2 2 2
2 1 ; 3 2 ; 2 2 3 ; 2x u x x v x x z x x t− = − − = + + = − + =
Ta có hệ
2 2 2 2
u v z t
u v z t
+ = +



− = −


2 2
2 1 2 3u t x x x⇒ = ⇒ − = + +
s.
2 2 2 2
2006 2005 2005 2004 2006 2 2003 2005 2002x x x x x x x− + − − = + − + + −
Bài tập phương trình quy về bậc hai Giáo viên Bùi Văn Nhạn
Trang 4
Trường THPT Long Mỹ
15) Giải các phương trình sau (Đánh giá)
a.
32254
2
+=++
xxx
Hướng dẩn

2
y x x
x y y

= +

⇒

= +


Nhân 2 vế với 2 và đưa về dạng:
2 2
4 ( 4 1 1) 0x x+ + − =
c.
2
6 26 6 2 1x x x− + = +
d.
5 2 1 1 3x x x+ + − − = −

C1: Ta có:
5 3 4( 1) (1 )x x x+ = + − −
Khi đó
2 2
(2 1) ( 1 ) 2 1 1 0 (2 1) 1 1 0
( 1)(5 1 1) 0
x x x x x x
x x
+ − − + + + − = ⇔ + − − + =
⇔ + + − =

4 1
x x
x
x
−
+ ≥
−
b.
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −
( ) ( )
2 2
2 2
3 6 7 5 10 14 3 1 4 5 1 9 4 9 5VT x x x x x x= + + + + + = + + + + + ≥ + =
2 2
4 2 5 ( 1) 5VP x x x= − − = − + ≤
c.
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −
d.
2
2
2
6 15
6 18
6 11
x x
x x
x x
− +