Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên PGS-TS. Lê Anh Vũ

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê
II.1
CHƯƠNG 2
ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN VÀ
QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Nội dung

Đại lượng ngẫu nhiên (ĐLNN) và phân loại cácĐLNN. Quy luật phân phối xác suất
(PPXS) của ĐLNN.

Bảng PPXS của ĐLNN rời rạc. Hàm PPXS của ĐLNN ( rời rạc hay liên tục). Hàm
mật độ xác suất của ĐLNN liên tục.

Các phép tốn trên các ĐLNN. Hàm của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Các đặc trưng số cơ bản của ĐLNN.

Các phân phối thơng dụng: Nhị thức, Siêu bội, Poisson, Chuẩn.

Phương pháp tính xấp xỉ giữa các phân phối xác suất.
1. ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN - QUYLUẬT PHÂN PHỐI
XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯNG NGẪU NHIÊN
Ví dụ 2.1.
Bảng dưới đây ghi kết quả khảo sát số xe máy hiện có ở 6.487 hộ gia đình tại Tp.
Hồ Chí Minh năm 2003.
Số xe máy (X) Số hộ (ni) Tần suất
0 27 0,004
1 1422 0,219
2 2865 0,442

Trong ví dụ 2.1, đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị một cách ngẫu nhiên thuộc
tập {0, 1, 2, 3, 4, 5}, ta viết X = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Khả năng (xác suất) để X nhận giá trị 3
là 27,7%. Trong ví dụ 2.2, đại lượng ngẫu nhiên K nhận giá trị một cách ngẫu nhiên
thuộc tập [0, 50cm]. Căn cứ vào tập giá trị của ĐLNN, ta phân chúng thành hai loại: rời
rạc và liên tục. Cụ thể, ta có phân loại dưới đây.

Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Đó là ĐLNN mà tập các giá trị có thể có
của nó là một tập rời rạc, tức là có thể đánh số thành một dãy (hữu hạn hay
vơ hạn).

Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Đó là ĐLNN mà tập các giá trị có thể có
của nó là một đoạn hay khoảng (hữu hạn hay vơ hạn).
Nhận xét quan trọng
• Cần phân biệt ĐLNN với BCNN. ĐLNN thì nhận giá trị này khác một
cách ngẫu nhiên nhưng khơng có xác suất, BCNN là một sự kiện có thể
xẩy ra sau khi thực hiện phép thử với xác suất xác định nhưng BCNN
khơng có giá trị.
• Tuy nhiên ĐLNN và BCNN có mối quan hệ khăng khít với nhau. Cụ thể,
khi gán cho mỗi ĐLNN một giá trị cụ thể hoặc một ràng buộc nào đó về
giá trị, ta sẽ nhận được một BCNN với xác suất xác định. Về mặt hình
thức, có thể hình dung ĐLNN như là hàm của BCNN trên khơng gian các
biến cố sơ cấp
• Trở lại ví dụ 2.1. Ta có (X=3) là một BCNN với P(X=3) = 0,277. Tương
tự (X<3), (X>3), (X≤3), (X≥3) cũng là những BCNN mà có thể dễ dàng
tính xác suất của chúng theo bảng số liệu đã cho.
• Một cách tổng qt, với mỗi ĐLNN X tùy ý và x, y là hai số thực bất kỳ
(x<y), (X<x), (X=x), (X>x), (X≤x), (X≥x), (x<X<y), ... đều là các BC mà
nói chung là ngẫu nhiên. Qua xác suất của các BC này, ta sẽ biết được
những giá trị nào hoặc những khoảng giá trị nào X dễ nhận, những giá trị
nào hay những khoảng giá trị nào X ít nhận hay khơng thể nhận. Nói một


…


Tính chất đặc trưng: Các xác suất tương ứng p
i
trong bảng PPXS có hai
tính chất đặc trưng sau đây.
(i) 0 ≤ p
i
≤1;
(ii)
1p
n
.
1i
i
=
∑
=


Các tính chất khác
(i) P(a ≤ X < b) =
i
i
ax b
p
≤<
∑

Giải
Ta có X = {0, 1, 2, 3}. Ta cần tìm P(X = k), k = 0, 1, 2, 3.
Xem phép thử là bắn 1 viên đạn và A là biến cố viên đạn đó trúng mục tiêu. Ta có
P(A) = 0,8 khơng đổi ở mỗi lần bắn nên đây là một dãy 3 phép thử Bernoulli với p = 0,8 ;
q = 1 – p = 0,2. Áp dụng cơng thức Bernoulli, ta được
P(X = 0) = P
3
(0 ; 0,8) = 0,8
0
.0,2
3
= 0,008 ;
0
3
C
II.3
Tài Liệu Xác Suất Thống Kê
Chương 2: Đại Lượng Ngẫu Nhiên PGS-TS. Lê Anh Vũ

P(X = 1) = P
3
(1 ; 0,8) = 0,8
1
.0,2
2
= 0,96 ;
1
3
C
P(X = 2) = P

\

Tính chất : Hàm phân phối xác suất có các tính chất sau
(1) F(x) là hàm khơng giảm và liên tục trái;
(2) 0 ≤ F(x) ≤ 1, ∀ x ∈
\
;
(3)
0)(lim =
−∞→
xF
x

1)(lim =
+∞→
xF
x
;
(4) P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a), với mọi a, b ∈
\
, a < b.
F(x) đặc trưng cho loại của ĐLNN X theo nghĩa sau
(5) F(x) gián đoạn khi và chỉ khi X rời rạc;
(6) F(x) liên tục trên
\
khi và chỉ khi X liên tục.


Chú ý: Ba tính chất đầu đặc trưng cho hàm PPXS theo nghĩa sau đây: nếu
F(x) là hàm số xác định trên

2
1
1
12 1
0
( ) ...............
...........................
....
1
nn
n
n
xx
x xx
p
Fx
x xx
pp p
xx
−
−
≤
⎧
⎪
<≤
⎪
⎪
=
⎨
⎪

x
Px X x x
x
Δ→+
≤≤+Δ
Δ
=
0
()
lim
x
Px x X x
x
Δ→+
− Δ≤ ≤
Δ
;
Tất nhiên là trong giả thiết rằng cả hai giới hạn đó tồn tại hữu hạn.

Nếu đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất F(x) khả vi thì
hàm mật độ XS chính là đạo hàm của hàm PPXS: f(x) = F’(x), x∈
\
.

Tính chất
: Hàm mật độ xác suất có các tính chất sau
(1)

f(x) ≥ 0, x ∈
\


1.5. C
ÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC ĐLNN
–
HÀM TRÊN ĐLNN

1.5.1. C
ÁC PHÉP TOÁN TRÊN CÁC ĐLNNĐể đơn giản, ta chỉ xét phép cộng và nhân trên các ĐLNN rời rạc. Giả sử
X và Y là các ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xácsuất như sau
X x
1
x
2
… x
m

P p
1
p
2
… p
m Y y
1
y

Tài Liệu Xác Suất Thống Kê