GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 02 – TH&TT
LUYỆN THI ĐH – CĐ NĂM HỌC 2010 – 2011
PHẦN CHUNG
CâuI. Cho hàm số
3 2
2 3 1 ( )y x x C= − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm
có tung độ bằng 8.
Giải:
1. Bạn đọc tự giải.
2.
2
' 6 6y x x= −
. Tiếp tuyến (d) tại M(
3 2
0 0 0
;2 3 1x x x− +
) :
2 3 2
0 0 0 0 0
6( )( ) 2 3 1y x x x x x x= − − + − +
cắt Oy tại điểm có tung độ là
3 2
0 0
4 3 1x x− + +
khi đó
3 2 3 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0
4 3 1 8 4 3 7 0 ( 1)(4 7 7) 0 1x x x x x x x x− + + = ⇔ − + = ⇔ + − + = ⇔ = −
,

9
3
xy x
xy y

− = −


= +


2 2 2 2 2
2
2 2
27 (27 ) 9(9 )
12 9 12
3 9 9.3
y y t
t
y t
− + +
⇒ = − ⇒ − = −

(Với
3y t=
)
2
4 2
4 2 2 2 2
2

y x
t
y x

= ⇒ =
= ⇒

= − ⇒ = −


( do
0xy >
)
Với
2
9
4
t =
khi đó
2 2
2
2
(27 3 ) 75
12
27 4
t
x
t
+
= = >

2
a
. Có SA = SB = SC nên
( )SH ABC⊥
,
Với H là trọng tâm của tam giác đều ABC.
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
( )SN NA SA SH AH SM MH AH
SN NM MH AH
+ = = + = − +
= + − +
2 2 2 2
2 .SN NA NA NM MH HA⇒ + = − +
Mặt khác
2 2 2
NA MA MN= −

2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 .
2
2
SN NA MA MN MN MH HA
MN HA MA MH
SH
MA MN
NA MA MN

π
= +
∫
Giải:
5 5
0 0 0
(cos sin ) cos sinI x x x dx x xdx x xdx
π π π
= + = +
∫ ∫ ∫
Tính
( )
1
0
0
0 0
cos sin sin cos 2I x xdx xd x x x x
π π
π
π
= = = + = −
∫ ∫
hạ bậc liên tiếp rồi dung tích phân từng phần cho hàm xsinx; xcoskx để được kết quả.
5 2
2
0 0 0
1 cos 2 1 1 cos4 1
sin sin ( ) sin ( cos 2 )
2 4 2 8
x x

A B A A A A⇒ − + = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =
Tương tự, từ
2
( )
2
C
b b a c B+ = ⇒ =
,
S
B
A
C
M
N
P
H
Kết hợp với A + B + C = 180
0
ta được
0 0 0
180 2.180 4.180
; ;
7 7 7
A B C= = =
.
Mặt khác
1 1 1 1
sin .sin sin .(sin sin )
b c
B C A B C

2 4
( ) :
1 2 3
x y z
d
+ −
= =
− −
. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc (d) và tiếp
xúc với
1 2
( ); ( )P P
Giải:
1. Đường tròn (C) có tâm I(-1;3) với bán kính R = 1
( , )
2 1
I d
d R= > =
. Đường thẳng (a) qua I(-1;3) vuông góc với (d) có phương trình là:
4 3 5 0x y+ − =
; (a) cắt (d) tại điểm H(
1 7
;
5 5
); (a) cắt (C) tại M là trung điểm của IH khi đó
M(
2 11
;
5 5
−

.
Giải:
2 3 4 2 4 4 2 4
(1 ) [(1 )(1 )] (1 ) (1 )x x x x x x x− + − = − + = − +
Có
4
4 4 4
4
0
(1 ) ( 4) ( 1)
k k k
x x C x
−
− = − = −
∑
và
4 4
2 4 2 4 2 2
4 4
0 0
(1 ) ( 1) ( )
p p p p
x x C x C x+ = + = =
∑ ∑
Khi đó
4
4 2 4 4 2
4 4
0
(1 ) (1 ) ( 1)

MN có độ dài lớn nhất.
2. Mặt cầu (S):
2 2 2
2 4 2 5 0x y z x y z+ + + − − + =
và mặt phẳng (P): x-2y+2z-3=0.
Tìm những điểm M thuộc (S), N thuộc (P) sao cho MN nhỏ nhất.
Giải:
(C) có tâm I(-1;3) và bán kính R = 1
MI = 2 khi đó M nằm ngoài đường tròn.
Trung điểm A của MI thuộc đường tròn (C), A(
2 11
; )
5 5
; Lấy N đối xứng
với A qua I được N(
14 19
; )
5 5
−
. Khi đó, mọi điểm P thuộc đường tròn thì
PM
NM≤
. Dấu “=” xảy ra khi
P N≡
.
2. (S) có tâm I(-1;2;1) và bán kính R = 1;
( , )
2
I P
d =

( ) ( ) ( ) (0) ( )y f x x f x f x f f x∆ = + ∆ − = ∆ − = ∆
+)
3
2
0 0
1 3 1 2
lim lim
( )
x x
y x x
x x
∆ → ∆ →
∆ + ∆ − + ∆
=
∆ ∆
Ta tính
3 3
2 2 2
0 0 0
1 3 1 2 1 3 (1 ) 1 2 (1 )
lim lim lim
x x x
x x x x x x
x x x
→ → →
+ − + + − + + − +
= −
2
3
1

I
x
x x x
→ →
+ − + −
= = = −
 
+ + +
 
1 2
1
2
I I I⇒ = − = −

Vậy f’(0) =
1
2
−
1 7
( ; )
5 5
M
N
P
I
A