ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn: TOÁN 9_ Thời gian: 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
-------------------------------------------------------
Bài 1 : (3 điểm)
Chứng minh rằng : A = n
3
( n
2
– 7)
2
– 36 n Chia hết cho 7 với mọi n.
Bài 2 : (4 điểm)
a) Cho
0 1x
≤ ≤
Chứng minh rằng :
3 2
1
4
x x
− + ≤

b) Cho ba số
; ;x y z
thỏa mãn :
3x y z+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
xy yz zx
+ +
Bài 3 : (4 điểm)

Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của
·
BAC
là AD . Biết AD = 6 ; AC = 9 với
·
BAC
= 68
o
. Tính độ dài AD.
------------------------ Hết ------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi : TOÁN ; LỚP 9
Bài Nội dung Điểm
1 Chứng minh rằng : A = n
3
( n
2
– 7)
2
– 36 n Chia hết cho 7 với mọi n 3 điểm
Ta có : A = n
3
( n
2
– 7)
2
– 36 n = n
3
( n

- 1) + 36n (n
2
-1)
=( n
2
-1) .(n
5
-13n
3
+ 36n)
= (n
2
- 1) {(n
5
-4n
3
) - (9n
3
-36n)}
=(n
2
- 1) {n
3
(n
2
- 4) -9n (n
2
- 4) }
= (n
2

2 điểm
Do 0 ≤ x ≤ 1 nên x
2
≤ x => - 4x
2
≥ - 4x và 1-x ≥ 0
Từ đó ta có - 4x
2
(1-x) ≥ -4x (1-x)
 - 4x
2
(1-x) +1≥ - 4x (1-x) +1
 4x
3
- 4x
2
+ 1 ≥ 4x
2
- 4x +1
= (2x -1)
2
≥ 0
=> 4x
3
-4x
2
+1 ≥ 0  - 4x
3
+ 4x
2

x y z 3+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
B xy yz zx= + +
.
2 điểm
Ta có :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
 
= + + = + − + +
 
= + + − + = − − − + +
− − + + − −
   
= − + + = − + + − + ≤
 ÷  ÷
   
2
2 2
2 2
2
2
B xy z x y xy 3 x y x y
xy 3 x y x y x y xy 3x 3y
y 3 3y 6y 9 y 3 3
x x y 1 3 3
2 4 2 4
Dấu = xảy ra khi
− =

2
4 5 3 5 5 3A= + + −
( )
4 5 3 5 5 3A= + + −
=
4 5 3 25 5 3+ + −
=
4 5 3+ =
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
3b
Giải phương trình :
2
2 10 12 40x x x x
− + − = − +
2 điểm
Điều kiện :
2 10x≤ ≤

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm.
Ta có :
( ) ( )
( )
1 1 2 4 10 4
2 10 2 .4 10 .4
2 2 2 2
x x

(2)
Kết hợp (1) và (2)
Phương trình có nghiệm duy nhất là :
6x
=
1
0.75
0.25
4
6 điểm
4a
Chứng minh :
·
·
0
AFM = AEN = 90
Nối A với C chỉ ra được
µ µ
µ
µ
3 1 1 1
A = A ; B = C
=> ∆ AFB
:
∆ AMC (g.g)
=>
)1(
AC
AM
AB

AFM = AEN = 90
1.5
0.5
1
1
3
1
K
N
M
F
E
D
C
B
A
4b
Chứng minh :
1
2
AEF AMN
S S=
Có ∆ AFM
∞
∆ AEN =>
AN
AE
AM
AF
=

= 2AF
2

=>
2
AF
AM
 
 ÷
 
=
2
1
Thay vào (1) ta được
AEF
AMN
S
S
=

2
1
hay:
1
2
AEF AMN
S S=
(ĐPCM)
1.5
0.5

2
=
1
2
AD.AC.sinA
2

S =
1
2
AB.AC.sinA
Vì : S = S
1
+ S
2

Nên :
1
2
AB.AD.sinA
1
+
1
2
AD.AC.sinA
2
=
1
2
AB.AC.sinA