SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
THANH HÓA GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY NĂM HỌC 2007- 2008
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
ĐIỂM CỦA BÀI THI
Các giám khảo
(Họ tên và chữ ký)
SỐ PHÁCH
(Do chủ tịch hội
đồng chấm thi ghi)
Bằng số Bằng chữ
…………………………………….
…………………………………….
Chú ý: 1. Thí sinh được sử dụng hai loại máy tính CASIO fx-500MS và CASIO fx-570MS.
2. Nếu không nói gì thêm hãy tính chính xác đến 7 chữ số thập phân.
Đề bài Kết quả
Câu 1: (5 điểm) Tính giá trị của A:
A=
...5135135
+++++
Câu 2: (5 điểm) Tìm số tự nhiên N có 4 chữ số, biết rằng
N là số chính phương và N là bội của 147.
Câu 3: (5 điểm) Tìm phần dư của phép chia
P(x)=1+x+x
2
+…+x
100
cho Q(x)=1-x-x
2
+x
3

nn
−
và thỏa mãn:
121
...6 aaaa
nn
−
=4A
Câu 7: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn đường kính BC. Từ
điểm P trên cung BC không chứa A hạ PK
⊥
BC, PL
⊥
AC, PM
⊥
AB. Khi P chuyển động
trên cung BC. Tìm giá trị nhỏ nhất của
PM
AB
PL
AC
PK
BC
S
++=

Tóm tắt lời giải:
1
Câu 8: (5 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:


...5135135
+++++
Vì A>
5
, bình phương hai vế:
(A-3)[(A+3)(A+1)(A-1)-1]=0
<=> A= 3 (5 điểm)
Có thể dùng máy tính, tính trực tiếp
Câu 2: (5 điểm) Tìm số tự nhiên N có 4 chữ số,
biết rằng N là số chính phương và N là bội của
147.
1764
3969
7056
Câu 3: (5 điểm) Tìm phần dư của phép chia
P(x)=1+x+x
2
+…+x
100
cho Q(x)=1-x-x
2
+x
3
. Biết
rằng khi x=0 thì phần dư là -2449.
Phần dư có bậc nhỏ ≤2 (r(x)=ax
2
+bx+c).
Và Q(x)=(x-1)
2

2
-x+1)
2
=
=…=[x
2
-(x
2
-x+1)
2
][5x
2
-(x
2
-x+1)
2
]=
(x-1)
2
(x
2
+1)[x
2
-(
5
+1)x+1]
[x
2
+(
5

Hãy tìm các hệ số a, b của đa thức
)(xf
.
Thay x=-1, 0, 1 giải hệ bất phương trình
ta tìm được:
a=0 (2,5 điểm)
b=
2
1
−
=-0,5 (2,5 điểm)
Câu 6: (5 điểm) Tìm số tự nhiên A nhỏ nhất có
dạng A=
6...
121
aaaa
nn
−
và thỏa mãn:
121
...6 aaaa
nn
−
=4A
A=153846 (5 điểm)
Câu 7: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp đường tròn đường kính BC. Từ
điểm P trên cung BC không chứa A hạ PK
⊥
BC, PL
⊥

PM
AB
PL
AC
PK
BC
PK
CEBE
+==
+
(1 điểm)
3
Vậy
PK
BC
PM
AB
PL
AC
PK
BC
S 2
=++=
(0,5 điểm)
Do BC cố định nên S nhỏ nhất khi PK lớn nhất tức:

BC
2
1
PK

Vậy có 4 cặp (x,y):
(0,8); (0,-8); (2,8); (-2,-8)
Câu 9: (5 điểm) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên
có dạng
21
xx
và
21
yy
. Biết rằng
2121
yyxx

chia hết cho
21
yy
.
21
xx
Ta có hai cặp:
13 và 52 (2,5 điểm)
17 và 34 (2,5 điểm)
Câu 10: (5 điểm) Tính diện tích của ngũ giác đều, biết rằng diện tích của các tam giác có
ba đỉnh là ba đỉnh liên tiếp của ngủ giác đều bằng 1.
Giải:
Giả sử ngũ giác đều ABCDE thoả mãn bài toán.
Xét ∆BCD và ∆ECD vì S
BCD
= S
ECD

S
IE
IC
S
S
==
(2 điểm)
hay
1
1
1
x
x
x
−
=
−
=> x2-3x+1=0 => x =
2
53
±
do x < 1 => x =
2
53
−
.
Vậy S
IED
=
2