ĐỀ THI VÀO LỚP 10 VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

ĐỂ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TPHCM
NĂM HỌC2008 – 2009
Bài 1:
a) Tìm m để phương trình
( ) ( )
2
41 2 40xmxm+ ++ −=
có hai nghiệm
12
,x x
thỏa mãn
12
17xx−=

b) Tìm m để hệ bất phương trình
21
1
xm
mx
≥−
⎧
⎨
≥
⎩
có nghiệm duy nhất.
Bài 2:
Thu gọn các biểu thức sau:
a)


a) Cho a, b là hai số thực thỏa 5a + b = 22 và phương trình
2
0xaxb+ +=
có nghiệm là hai
số nguyên dương. Tìm các nghiệm đó.
b) Cho hai số thực x, y sao cho
2244
,,x yx y x y+ ++
là các số nguyên. Chứng minh
33
x y+

cũng là số nguyên.
Bài 5:
Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm thuộc đường tròn, kẻ CH vuông góc
với AB (C khác A, B và H thuộc AB). Kẻ đường tròn tâm C bán kính CH cắt đường tròn (O) tại
hai điểm D và E. Chứng minh DE đi qua trung điểm của CH.
Bài 6:
Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Trên cạnh AC lấy điểm D, E sao cho
n
n
20
o
ABD CBE==
. Gọi M là trung điểm của BE, N là điểm thuộc cạnh BC sao cho BN = BM.
Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và BEN.
Bài 7:
Cho a, b là hai số thực sao cho
33

⎪
⎨
==−
⎪
⎩
.
Ta có:
() ( )
()()
22
2
12 12 12 12
2
2
17 17 4 289
4 1 8 4 289
16 33 289
4
xx xx xx xx
mm
m
m
−=⇔− = ⇔+ − =
⇔+−−=
⇔+=
⇔=±

Vậy giá trị m cần tìm là 4 và – 4.
b)
()

+ Nếu m < 0 ta có
()
1
2 x
m
⇔≤

Từ đó suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
()
2
0
0
1
11
1
20
2
m
m
m
m
mm
m
<
⎧
<
⎧
⎪
⇔⇔=−
⎨⎨

GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

b)
(
)
()()
()()
()
()
22
22
21 21 1211 1211
1
21 21
2221 2221
2
11 11
2.
211 21
11 11
2.
211 211
11 11
2. Do 2 suy ra -1 1 0, 2 1 1 0
211 211
xx xx x x x x
xx xx
xx xx
xx
xx

. Ta đặt
,kbadc bkadck= −=−⇒=+ =+
và k là số
tự nhiên.
Khi đó ta có:

() ()
()
()
()
() () ()
()()
22
222 2 2 2 2 2 2
2 2 22 22
22
22
22
2
22222
22 2
2
abcd a ak c ck a ak c k ck
aacc kackaacck
ac kac k ac k
ack ac k
+++ =++ +++ = + + + +
=+ ++ +++− ++
=+ + +++− +
=++ +− +

Suy ra:

()
()() ()
12 12
12 1 2
12
522 5 22
5 5 25 47
5547 1
ab x x xx
xx x x
xx
+= ⇔− + + =
⇔−−+=
⇔− −=

Ta có
12
555xx−≥ −≥−
và
( ) ( )
47 47.1 47 . 1==−−
nên ta có:
ĐỀ THI VÀO LỚP 10 VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI
GV: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

()
11
22

2
+ y
2
nguyên. Đặt k = 2xy.
Từ (2) suy ra 2x
2
y
2
nguyên vì x
2
+ y
2
, x
4
+ y
4
nguyên.
Ta có
()
2
2
22
1
22
22
k
xy xy==∈⇒
]

k chẵn. Suy ra

DFM CEM g g DM EM CM FM
CM EM
ΔΔ ⇒=⇒ =
Chứng minh tương tự ta có
..DM EM MH MI=
(2)
Từ (1) và (2) ta có CM. MF = MH. MI
( )( )
..
..
CM MF MH MI CM MH HF MH CM CI
CM HF MH CI
CM MH
=⇔+=+
⇒=
⇒=

( Vì HF = CI = CH )

I
F
E
D
H

DBM DBE
SS= ( Vì M là trung điểm BE).
Do đó
1
2
EBN DBE
SS=
Từ đó ta có
()
2
11 113. 3
.
22 2248
BCE EBN DBE BCE ABD ABC
AB
SS S SS S+= + + = = =
Bài 7:
Ta có
()
()
33 2 2
02ab abaabb<= + = + + +
Mà
2
22 2
13
0
24
aabb a b b
⎛⎞

0
0
ab a b a ab ab b a b
ababab
aab bab
aba b
+≤ + ⇔+ + +≤ +
⇔+−−≥
⇔−−−≥
⇔− − ≥

()()
2
0ab ab⇔− +≥ (Đúng vì a + b > 0)
Vậy
02ab<+≤
N
M
A
B C
E
D