1
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi (a,b) | c
Để giải phương trình ta tìm một nghiệm riêng (x
0
,y
0
) từ đó suy ra tất cả các
nghiệm của phương trình
= +

∈

= −

0
0
x x bt
(t Z)
y y atVí dụ. Giải phương trình 12x + 37y = 2008
Giải
Từ phương trình ta suy ra y ≡ 4 mod 12, ta chọn y
0
= 4 ⇒ x
0
= 155.Vậy nghiệm

= + +


= − + − ∈


=

x 2(2009 41a) 25b
y (2009 41a) 13b (t Z)
z a3. Ph
ươ
ng trình ax + by + cxy = d
Ta
đư
a v
ề
d
ạ
ng tích
+ + + = +
b ab
x(a cy) (a cy) d
c c
⇔ (cx + b)(cy + a) = ab + cd
T
ừ

ộ
t vài ph
ươ
ng pháp th
ườ
ng s
ử
d
ụ
ng khi gi
ả
i ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m
nguyên
4.1.
Đư
a v
ề
t
ổ
ng các bình ph
ươ
ng

Ví d
ụ
. Gi

⇒
(x – 3y)
2
= 21 (lo
ạ
i)
(y – 1)
2
= 1
⇒
(x – 3y)
2
= 16 ta có các nghi
ệ
m (4,0),(–4,0), (10,2),(2,2)
(y – 1)
2
= 4
⇒
( x – 3y)
2
= 1 ta có các nghi
ệ
m (10,3),(8,3),(–2,–1),(–4,–1) 4.2.
Đư
a v
ề

ừ

đ
ây ta có các nghi
ệ
m
(32,32), ( – 30, – 29)

4.3. Dùng các tính ch
ấ
t chia h
ế
t,
đồ
ng d
ư
.

Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình 3x
2
– 2008y
2
= 2009
Gi

ớ
i 0 ho
ặ
c 1 modulo 4.
Ta th
ấ
y v
ế
trái c
ủ
a ph
ươ
ng trình luôn
đồ
ng d
ư
v
ớ
i 0 ho
ặ
c 3 mod 4 còn v
ế
ph
ả
i
đồ
ng d
ư
v
ớ

+ 21y
2
+ 5 ≡ 5, 6, 4 mod 7
⇒
ph
ươ
ng trình vô
nghi
ệ
m.

Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình 5x
2
+ 6x + 11 = y
2
+ 4y
Gi
ả
i.
Ph
ươ
ng trình ⇔ 4x
2
+ (x + 3)

. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình 6
x
= y
2
+ y – 2
Gi
ả
i.
6
x
≡ 1 mod 5
y
2
+ y – 2 = (y – 1)(y + 2) ≡ 0,3,4 mod 5
⇒
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m

Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph

2
+ 4k + 1 = 2y
2
– 8y + 3
⇒
2k
2+ 2k = y
2
– 4y + 1
2k
2
+ 2k = 2k(k + 1)

4
⇒
y
2
+ 1

4 (vô lý)
⇒
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.


< y
3
< (x + 1)
3

⇒
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m
V
ớ
i x = 0 ta có nghi
ệ
m (0,1)
V
ớ
i x = –1 ta có nghi
ệ
m ( –1, 0)

Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình x(x + 1)(x + 7)(x + 8) = y
2

⇒
vô nghi
ệ
m
N
ế
u m ≤ 9 thì – 9 ≤ x ≤ 1. B
ằ
ng cách th
ử
tr
ự
c ti
ế
p ta có các nghi
ệ
m
− ± − − − ± − ±( 9, 12),( 8,0),( 7,0),( 4, 12),( 1,0),(0,0),(1, 12)4.5. Dùng tính ch
ấ
t b
ị
ch
ặ
n
Ví d
ụ
. Tìm nghi

x = 1,2,3
* x = 1 (lo
ạ
i)

* x = 2
⇒

+ = ⇒ ≤
1 1 1 1 2
y z 2 2 y

⇒ y ≤ 4 ⇒ y = 2,3,4
y = 2( lo
ạ
i)
y = 3 ⇒
=
1 1
z 6
⇒ z = 6
y = 4 ⇒ =
1 1
z 4
⇒ z = 4
* x = 3 ⇒
+ =
1 1 2
y z 3
⇒

ươ
ng trình x
2
+ y
2
+ z
2
= 2xyz
Gi
ả
i
2xyz ch
ẵ
n ⇒ x
2
+ y
2

+ z
2
ch
ẵ
n ⇒ trong 3 s
ố
x
2
, y
2
, z
2

≡ 2 mod 4 trong khi
đ
ó 2xyz ≡ 0 mod 4
(vô lý)
⇒ x
2
, y
2
, z
2

đề
u ch
ẵ
n ⇒ x = 2x
1
, y = 2y
1
, z = 2z
1
⇒ x
1
2
+ y
1
2
+ z
1
2
= 4x

+ y
k
2
+ z
k
2
=
2
k+1
x
k
y
k
z
k

N
ế
u x khác 0 thì
đế
n m
ộ
t lúc nào
đ
ó x
k
l
ẻ
(vô lý)
V

ứ
ng t
ỏ
ph
ươ
ng trình x
2
+ y
2
= z
2
có vô s
ố
nghi
ệ
m
H
ọ
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là x = m
2
– n
2
, y = 2mn, z = m
2

ọ
n x = 2k ⇒ y = 2k
2
– 2
V
ậ
y h
ọ
nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình là (2k, 2k
2
– 2,2k
2
– 1)

Ví d
ụ
. Ch
ứ
ng t
ỏ
ph
ươ
ng trình x
2

5. Ph
ươ
ng trình Pytagore x
2
+ y
2
= z
2G
ọ
i d = (x,y) ⇒ x = da, y = db và (a,b) = 1 ⇒ a
2
+ b
2
= (z/d)
2

Đặ
t z = dc (c ∈ Q) ⇒ c
2
∈ N ⇒ c ∈ Z
N
ế
u a, b cùng l
ẻ
thì a
2
+ b

=
 
 
2
b c a c a
.
2 2 2
v
ớ
i
+ −
 
=
 
 
c a c a
, 1
2 2

⇒
+ −
= =
2 2
c a c a
m , n
2 2
⇒ c = m
2
+ n
2


= −


= +

2 2
2 2
x 2mnd
y (m n )d
z (m n )d
với (m,n) = 1 6. Phương trình Pell x
2
– dy
2
= 1 ( d là số không chính phương) (1)

Trong phần này ta chỉ xét nghiệm nguyên dương.

Định nghĩa. Giả sử (x,y) và (x’,y’) là 2 nghiệm của (1). Ta thấy rằng nếu x < x’
thì y < y’ hoặc ngược lại. Như vậy trên tập các nghiệm của phương trình ta xây dựng
được quan hệ thứ tự (x,y) < (x’,y’) ⇔ x < x’

Định lý 1. Phương trình (1) có vô số nghiệm

Định lý 2.
Nếu (a,b) là nghiệm nhỏ nhất củA (1) và

nghiệm của (1).

Ta chứng minh điều ngược lại: nếu (u, v) là một nghiệm của (1) thì +u v d có
dạng (*)
Giả sử
+ ≠ +
n
u v d (a b d)
với mọi n nguyên dương.
Ta có 1 <
+ < +a b d u v dDo dãy số
( ) ( )
+ + +
2 3
a b d, a b d , a b d ,...
không b
ị
ch
ặ
n trên nên t
ồ
n t
ạ
i s
ố

nguyên d

a (1)
⇒
1 <
− + − < +
N N N N
ux vy d (vx uy ) d a b d

⇒
1 < + < +U V d a b d v
ớ
i U = − = −
N N N N
ux vy d, V vx uy
⇒
U
2
– dV
2
=
− − − = − − =
2 2 2 2 2 2
N N N N N N
(ux vy ) d(vx uy ) (x dy )(u dv ) 1

⇒
(U,V) th
ỏ
a (1) và
( )( )
+ − =U V d U V d 1

ng minh. Ta c
ũ
ng có th
ể
bi
ể
u di
ễ
n các nghi
ệ
m c
ủ
a (1) b
ở
i công th
ứ
c
( ) ( )
( ) ( )
+ + −
=
+ − −
=
n n
n
n n
n

o
,y
o
) = (1,0) và (x
1
,y
1
) = (a.b)

Ví d
ụ
. Gi
ả
i ph
ươ
ng trình x
2
– 5y
2
= 1
Gi
ả
i. Ta có nghi
ệ
m nh
ỏ
nh
ấ
t là (9,4). Nghi
ệ

1
,y
1
) =
(9,4)