C¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n
C¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n
I. Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè
II. Ph­¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn
II. Ph­¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇnPhương pháp đổi biến số
Phương pháp đổi biến số

Đổi biến số dạng 1:
Đổi biến số dạng 1:+Quy tắc:
+Quy tắc:Bước 1: Chọn ( một cách thích hợp )
Bước 1: Chọn ( một cách thích hợp )Bước 2: - Lấy vi phân
Bước 2: - Lấy vi phân - Đổi cận : Giả sử
- Đổi cận : Giả sử



=

( )
b
a
I f x dx=

Tính
Tính

§æi biÕn sè d¹ng 1
§æi biÕn sè d¹ng 1

Mét sè dÊu hiÖu dÉn tíi viÖc lùa chon
Mét sè dÊu hiÖu dÉn tíi viÖc lùa chon
u(t)
u(t)
2 2
a x
−
[ ]
sin , - ;
2 2
cos , 0;
x a t t
x a t t
π π
π


( )a x+
DÊu hiÖu C¸ch chänBµi 1:
Bµi 1:
TÝnh
TÝnh
c¸c tÝch ph©n
c¸c tÝch ph©n
sau
sau
1
2
3
1
0
1I x x dx
= −
∫
2
3
2
1
2 2
dx
I
x x
=
− +

( 1) 1
dx
x
=
− +
∫
2
( 1)t x= +Bµi gi¶i
Bµi gi¶i§Æt:
§Æt:
2 3 2 2 3
3
1 1 1t x t x x t= − ⇒ = − ⇒ = −
Ta cã:
2
2 3xdx t dt
= −
0 1
1 0
x t
x t
= ⇒ =
= ⇒ =
VËy:

=
2
3
2
xdx t dt⇒ = −
3
8
=C¸ch 2
C¸ch 2
1
2
3
1
0
1I x x dx= −
∫
1
1
2 2
3
0
1
(1 ) (1 )
2
x d x= − − −
∫
4

= ∈
 
 
2
6
2
2
2cos
4 4sin

tdt
I
t
π
π
=
−
∫
1 ; 2
6 2
2cos
x t x t
dx tdt
π π
= ⇒ = = ⇒ =
=
§Æt:
Ta cã:
VËy:
2

π
π π π
= = = − =
∫1 , t ;
2 2
x tgt
π π
 
− = ∈ −
 ÷
 
( )
2
2
1 0
1
1
co
; 2
4
s
dx dt tg t dt
x
x t x t
π
= = +
= ⇒ = = ⇒ =

x x x
= =
− + − +
∫ ∫1
2
4
0
1I x x dx= +
∫
, ;
2 2
x tgt t
π π
 
= ∈ −
 ÷
 
0 0
1
4
x t
x t
π
= ⇒ =
= ⇒ =
2
1

= −
∫
2
4
0
sin
cos
xdx
x
π
=
∫
4
0
3
1
3cos t
π
=
2 2 1
3
−
=1
2
4
0
1I x x dx

1
1
3
t=
1
(2 2 1)
3
= −Bµi 2:
Bµi 2:
TÝnh
TÝnh
c¸c tÝch ph©n
c¸c tÝch ph©n
sau
sau
1
5 3
0
1, 1x x dx
−
∫
3
2
2
0
sin cos
3,

∫
3
2
0
1
2,
1
x
dx
x
+
+
∫
3
( 1 )t x
= −
( 1)t x
= +
2
( cos 1)t x
= +
( 1 3ln )t x
= +
( sin )x t
=
2
( 1 )t x
= −
( )x tgt
=

( )
( )
u f x
du
dv f x dx v
=
=




= =


Bước 3: áp dụng (1) ta có:
b
b
a
a
I uv vdu=

(1)
Khi sử dụng phư
Khi sử dụng phư
ơng pháp tích
ơng pháp tích
phân từng phần



Một số dạng cơ bản:
sin
b
x
a
e xdx



( )ln ( )
b
a
P x f x dx

( )sin
b
a
P x xdx


}
Đặt:
( )u P x=
Đặt:
Đặt:
ln ( )u f x
=
sin


x
I xe dx
−
=
∫
II. Ph­¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn
4
2
0
cos 2I x xdx
π
=
∫
2
4
0
sin 2
x
I e xdx
π
=
∫
2
( ln(3 )u x= +
( )u x
=
2
( )
x

=


= +

+
⇒
 
=


=


1
2 3
2 1
1 0
2
0
ln(3 )
2 3
x x
I x dx
x
= + −
+
∫
§Æt:
1
4
2
0
cos 2I x xdx
π
=
∫
1
cos2
sin 2
2
du dx
u x
dv xdx
v x
=

=


⇒
 
=
=



4

3
0

x
I xe dx
−
=
∫
x x
u x du dx
dv e dx v e
− −
= =
 
⇒
 
= = −
 
ln 2
ln 2
3 0
0
x x
I xe e dx
− −
= − +
∫
ln 2 ln 2
0
ln 2

2
1
sin 2
cos 2
2
x
x
du e dx
u e
dv xdx
v x

=

=

⇒
 
=
= −



2 2
4 0
0
1
cos2 cos 2
2
x x

I e xdx
π
=
∫
2
2
2
1
cos2
sin 2
2
x
x
du e dx
u e
dv xdx
v x

=

=

⇒
 
=
=



' 2 2

4
1
(1 )
4
I e
π
⇒ = −
§Æt:
Ta cã:
VËy:
TÝnh:Bµi 4:
Bµi 4:
TÝnh
TÝnh
c¸c tÝch ph©n
c¸c tÝch ph©n
sau
sau
1
2
1

( 1)
e
e
lnx
I dx

I e xdx
π
=
∫
( Sö dông pp tõng phÇn )
( ln )u x
=
2
( 2 )u x x
= +
2
( )u x
=
( )
x
u e
=
Yêu...
Yêu...Víi
( )
a
a
I f x dx
−

( )
b
a
I f x dx=
∫
Cã thÓ ®Æt
Cã thÓ ®Æt
Cã thÓ ®Æt
x t
π
= −
2x t
π
= −
x a b t
= + −TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
1
2006
1
1
sinI x xdx
−
=
∫
x t
= −
dx dt

= −
∫
1
I= −
1 1
2 0 0I I
⇒ = ⇒ =
(TÝch ph©n kh«ng
phô thuéc vµo biÕn)2
2
0
sin
sin cos
n
n n
x
I dx
x x
π
=
+
∫
2
x t
π
= −
dx dt

n
n n
x
dx
x x
π
=
+
∫
2
0
cos
cos sin
n
n n
t
dt
t t
π
=
+
∫
§Æt:
Ta cã:
(TÝch ph©n kh«ng
phô thuéc vµo biÕn)