18

Chơng III: Hạt chuyển động trong hố thế

3.1. Hạt chuyển động trong hố thế
a) Hàm riêng và trị riêng
Ta đ biết rằng đối với hạt chuyển động tự do thì phổ trị riêng
của toán tử năng lợng là liên tục
m
k
E
2
22
h
=
và các hàm riêng tơng
ứng là
( )
ikx
k
Aex =

.
Bây giờ ta hy xét trờng hợp hạt chuyển động trong hố thế
một chiều
=
)(
xV
khi
0
x

ở miền 1.
Trong miền 2:
( ) ( )
xEx
xm
nnn

=



2
22
2
h
.
Điều kiện biên:
( ) ( )
00
== L
nn

.
Đặt
2
2
2
h
n
n

Từ điều kiện chuẩn hoá
( )

=
L
n
dxx
0
2
1

ta có
L
A
2
=
.
Vậy hàm riêng và trị riêng của hạt chuyển động trong hố thế đ
nêu là
( )






=
L
xn
L

Ta thấy rằng khi
0=n
thì
0=

, do đó
0
2
=

, hạt không tồn tại
ở trạng thái
0
=n
.

b) Thừa số pha tuỳ ý
Ta đ biết rằng hàm sóng

cho thông tin về hệ:

= dxCC


*
.
Điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng là

= 1
*



;
2) lấy tích phân của tích

*
.
Các tính chất:
Nếu
a
là số phức,

và

là 2 hàm sao cho

+

<dx


thì
a)

aa =
;
b)

*
aa =

0,x

.
Sau khoảng thời gian
t
, tất cả các hố thế ở cùng trạng thái
( )
tx,

.
Năng lợng của hạt trong mỗi hố thế ở thời điểm
t
bằng bao
nhiêu?
21
Điều đặc biệt là: năng lợng đo trong các hố thế giống nhau, ở
cùng trạng thái
( )
tx
,

, không nh nhau!
Các câu hỏi thích hợp hơn có thể đặt ra là:
1) Năng lợng trung bình đo đợc trong tất cả các hố thế là bao
nhiêu?
2) Nếu ta đo năng lợng trong một hố thế thì xác suất đo đợc
một giá trị cụ thể, ví dụ
3
E
, là bao nhiêu?

HE

=
. (3)
Ta hy khai triển trạng thái

theo các hàm riêng của
H

. Các
hàm riêng thoả mn phơng trình trị riêng
nnn
EH

=

. (4)
Đối với bài toán hố thế sâu vô hạn thì
( )






=
L
xn
L
x

1n
nn
b

. (7)
Thay (7) vào (3) ta có

=
l
ll
n
nn
bHbE


=
ln
l
ln
n
Hbb


*

=
lnl
l
ln
n

=
( )
n
n
n
EEP

. (9)
Vậy
2
n
b
chính là xác suất để ở thời điểm
t
phép đo năng lợng
của hạt ở trạng thái
( )
tx
,

thu đợc giá trị
n
E
:
( )
n
EP
=
2
n

=
nl
l
ln
n
bb


*
=

=
1
2
n
n
b
, (11)
tức là
2
n
b
là xác suất tuyệt đối.
Nếu

và
n

cha chuẩn hoá thì
( )