Sở Giáo Dục & Đào Tạo NGhệ an

Kỳ thi chọn đội tuyển dự thi
học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT
năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán
Ngày thi: 07/10/2010
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Cõu 1 (4,0 im).
Gii h phng trỡnh sau trờn tp s thc:

( )
2 2
2
1
5
57
4 3 3 1 .
25
x y
x x y x

+ =




+ = +



S
b c c a a b
+ + +
+ +
+ + +
.
Cõu 5 (4,0 im).
Cho s nguyờn dng
2n
v tp
{ }
1; 2; 3; ... ;M n=
. Vi mi tp con A khỏc rng
ca M ta ký hiu
A
l s phn t ca tp A, minA v maxA tng ng l phn t nh
nht v ln nht ca tp A. Tớnh
( )
A M, A
minA maxA A

+

theo
n
.
- - - Hết - - -
Họ và tên thí sinh:............................................................................................ Số báo danh:........................................
Tài liệu tích lũy : 2010 - 2011 Trang 1/ 5 Phan Anh C ơng
Đề chính thức


2 2
2 2
5 5 1
47
2 2 3 3
25
x y
x y xy x y

+ =



+ + + =


1.0
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
5 5 1
47
2 2 2 2
25
x y
x y x y x y x y

+ =



a b ab
ab a b

+ =



+ + =



( )
( )
2
2
2 1
144
1
25
ab a b
a b

= +



+ + =


1.0



+ =







=




( )
3 4
; ( ; )
5 5
a b =
hoc
4 3
( ; )
5 5

( )
2 1
; ( ; )
5 5
x y =

(*) Ta chng minh nu tn ti
k
sao cho
0 1
k
x
thỡ dóy hi t. Tht vy:
1 2 3 4
1 1
0 1 0, 0 1, 0,0 1,...
4 4
k k k k k
x x x x x
+ + + +

Dóy
( )
2k l
x
+
n iu gim vỡ
( )
3
2 2 2 2 2
2 0
k l k l k l k l
x x x x
+ + + + +
=
. Vỡ vy tn ti

(**) Ta chứng minh nếu tồn tại
k
sao cho
0 2
k
x≤ ≤
thì dãy hội tụ. Thật vậy:
1
0 2 2
k k k
x x x
+
≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
. Nếu
2 1
2
k k
x x
+ +
≤ ≤
.
Nếu
0,
k l
x l
+
≥ ∀
thì dãy
( )
k l

1 0 0 2,a x− ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤
suy ra dãy có giới hạn.
Vậy điều kiện cần và đủ để dãy có giói hạn là
1 2a− ≤ ≤
.
1.0
Câu 3
(4,0 đ)
Gọi K là hình chiếu của A trên BC.
0.5
Vì K, E, F theo thứ tự thuộc các đoạn BC, CA, AB nên:

KB FC EA KB FC EA
KC FA EB
KC FA EB
=−
.
0.5
Từ giả thiết ta có EA = FA; ED = FD, do đó:

cot tan cot tan 1
KB FC EA KB KA FC ED
B C C B
KA KC FD EB
KC FA EB
=− = − =−
.
1.5
Vậy theo định lý Ceva, với chú ý AK, BF, CE không thể đôi một song song, ta có
AK, BF, CE đồng qui.

2 2 2
2( ) 4 3ab bc ca a b c S+ + − − − ≥
.
Chứng minh: Vận dụng kết quả
( ) ( )
2
3x y z xy yz zx+ + ≥ + +
. Ta có
[ ]
2
( )( ) ( )( ) ( )( ) 3 ( )( )( )p a p b p b p c p c p a p p a p b p c− − + − − + − − ≥ − − −
(với
2
a b c
p
+ +
=
)

( )( ) ( )( ) ( )( ) 3p a p b p b p c p c p a S⇒ − − + − − + − − ≥2 2 2
2( ) 4 3ab bc ca a b c S⇒ + + − − − ≥
1.0
Bổ đề 2: Với
, ,a b c
là ba cạnh của một tam giác có diện tích
S
và

2 2 2
2( )
xa yb zc
ab bc ca a b c
y z z x x y
⇒ + + ≥ + + − − −
+ + +
.
Áp dụng Bổ đề 1 ta có
2 2 2
2 3
xa yb zc
S
y z z x x y
+ + ≥
+ + +
.
1.0
Trở lại bài toán:
Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp của các góc A, B, C của tam
giác ABC.
Ta có
( )
2

2 2 2
( ) ( ) ( )
'( ) '( )
a a
b c a a ar b c a x r p a ax
b c S b c S b c
+ +
= =
+ + +
2 2
( )
'
b c a a S ax
b c S b c
+
=
+ +
Tng t
2 2
( )
,
'
c a b b S by
c a S c a
+
=
+ +
2 2
( )
'

2 ' 3
ax by cz
S
b c c a a b
+ +
+ + +
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 3
b c a a c a b b a b c c
S
b c a c a b
+ + +
+ +
+ + +
(pcm).
Du bng xy ra khi v ch khi tam giỏc ABC u.
1.0
Cõu 5
(4,0 )
Vi mi
1 k n
,
t
{ }
k
E A M A k= =
v
( )
min ax

A n a n a n a= + + +
.
Ta cú
( )
*
* *
,
k
A E A A =
{ } { }
*
,
k
E A M A k A A M A k = = = =
( )
* *
2 min ax min ax 2
k
k
A E
x A m A A m A A

= + + +

1.0
Gi s
1
min , ax
k
A a m A a= =

n
k
n
k
T n k C
=
= +

.
Ta cú
( ) ( )
1 1
0 0
1 ( 1) ( 1) 1
n n
n
k n k n n k n k
n n
k k
x x C x x nx x n k C x
+
= =
+ = + + + = +

.
Thay
1x=
, ta cú
( )
1