UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2006 - 2007
Môn : Toán
Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút
Đề thi gồm 02 trang
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức:
3
3
6 4 3 1 3 3
3
3 2 3 4 1 3
3 3 8
x x x
A x
x x x
x+ +
=
ữ
ữ
ữ
ữ
+ + +
1. Rút gọn biểu thức
A

để
d
cắt (P) tại 2 điểm có hoành độ dơng.
3. Tìm các giá trị của
m
để phơng trình
4 2
4 2 0x x m + =
có 4 nghiệm phân
biệt. Tính các nghiệm đó theo
m
.
Bài 3: (3,5 điểm)
1. Tìm số có hai chữ số biết rằng phân số có tử số là số đó, mẫu số là tích của
hai chữ số của nó có phân số tối giản là
16
9
và hiệu của số cần tìm với số có
cùng các chữ số với nó nhng viết theo thứ tự ngợc lại bằng 27.
2. Hãy tìm các chữ số
, , ,a b c d
biết rằng các số
, , ,a ad cd abcd
là các số chính
phơng.
Bài 4: (4,5 điểm)
Cho đờng tròn (O; R) và đờng thẳng d không đi qua O cắt đờng tròn (O) tại
hai điểm A và B. Từ một điểm M tùy ý trên đờng thẳng d và ở ngoài đờng tròn (O)
vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đờng tròn (O) (M, N là hai tiếp điểm).
1. Chứng minh rằng

M
3
6
UBND TỉNH Thừa Thiên Huế kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh
Sở Giáo dục và đào tạo lớp 9 thCS năm học 2006 - 2007
Môn : toán
Đáp án và thang điểm:
Bài 1
ý
Nội dung Điểm
(2 điểm)
1.
1.1
(2 đ)
3
3
6 4 3 1 3 3
3
3 2 3 4 1 3
3 3 8
x x x
A x
x x x
x+ +
=
ữ
ữ

A x
x x x
x

+
+
ữ ữ
=
ữ ữ
+ + +
ữ ữ


( )
( ) ( )
( )
6 4 3 2 3
3 3 1 3
3 2 3 2 3 4
x x x
A x x x
x x x

+
ữ
= +
ữ
+ +

( ) ( )

0,50
0,25
0,50
0,25
0,50
1.2
(1,0
đ)
( ) ( ) ( )
2 2
3 1 3 2 2 3 2 1
1
3
3 2 3 2 3 2
x x x
A x
x x x
+ +
= = = +

Với
x
là số nguyên không âm, để A là số nguyên thì
3 3 3 9
3 2 1 3
3 1
3 1
x x
x x
x

x x m x x m = + + =
(1)
Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai nên để (P) và d chỉ có một điểm chung
thì phơng trình (1) có nghiệm kép, tơng đơng với:
' 4 2 0 2m m
= = =
Khi đó đờng thẳng d là tiếp tuyến của (P) có phơng trình
2 2y x= +
Vẽ đúng tiếp tuyến
0,25
0,50
0,25
0,25
0,25
2.2
(1,25 đ)
+ Vẽ đúng (P)
+ Đờng thẳng
: 2d y x m= +
song song
với đờng thẳng
2 2y x= +
và cắt trục
Oy tại điểm B(0; m).
+ Dựa vào đồ thị ta có: Để d cắt (P) tại
hai điểm có hoành độ dơng thì 0 2m< <
0,25
0,50
0,50
2.3

( )
10 16
3
9
90 9 16
10 10 27
x y
x y
xy
x y xy
x y y x
+

=
=




+ =


+ + =

Giải hệ ta có
1 2
3
9;
16
x x= =

cd
chỉ có thể là 16, hoặc 36, hoặc 49. Nên Nên
c
chỉ có thể là 1, hoặc 3, hoặc 4.
Nếu 1a = thì 6d = và 1c = hoặc 3c = , khi đó
1 16 1 36abcd b hay b=
và
( ) ( )
2 2
1 6 4 6bc x hay x= .
Ta có:
2 2 2 2 2
26 676; 34 1156; 36 1296; 44 1936; 46 2126= = = = = . Chỉ chọn
đợc 1936.
Nếu
4a
=
thì
9d
=
và
4c
=
, khi đó
( ) ( )
2 2
4 49 3 7abcd b x hay x= =
.
Ta có:
2 2 2

điểm D, cắt (d) tại M.
Chứng minh: Từ M vẽ 2 tiếp tuyến MN và MP. Ta có
2 2
MN MO ON R= =
, nên Tam giác ONM vuông cân tại N. Tơng tự, tam
giác OPM cũng vuông cân tại P. Do đó MNOP là hình vuông.
Bài toán luôn có 2 nghiệm hình vì
2OM R R= >
0,25
0,25
0,50
0,25
4.3
(2,0 đ)
+ Ta có: MN và MP là 2 tiếp tuyến của (O), nên MNOP là tứ giác nội tiếp đ-
ờng tròn đờng kính OM. Tâm là trung điểm H của OM. Suy ra tam giác cân
MPQ nội tiếp trong đờng tròn đờng kính OM, tâm là H.
+ Kẻ
OE AB

, thì E là trung điểm của AB (cố định). Kẻ
( )HL d
thì HL //
OE, nên HL là đờng trung bình của tam giác OEM, suy ra:
1
2
HL OE=
(không đổi).
+ Do đó, khi M đi động trên (d) thì H luôn cách dều (d) một đoạn không đổi,
nên H chạy trên đờng thẳng (d') // (d) và (d') đi qua trung điểm của đoạn OE.