I. HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
Bài 1:
Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:
a) x
2
- 2x -1 b) 4x
2
+ 4x + 5
Bài 2:
Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) 2x - x
2
- 4 b) -x
2
- 4x
Bài 3:
Cho x - y = 7. Tính:
a) x(x + 2) + y(y - 2) - 2xy +37
b) x
2
(x + 1) - y
2
(y - 1) + xy -3xy(x - y + 1) - 95
Bài 4:
Cho x + y = a; x
2
+ y
2
= b; x
3
+ y


.......................................................................................................
II. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Bài 1 Tính giá trị của các biểu thức
a) A = x
5
- 15x
4
+ 16x
3
- 29x
2
+ 13x tại x = 14
b) B = x
14
- 10x
13
+ 10x
12
- 10x
11
+ ... + 10x
2
- 10x + 10 tại x = 9
c) C =
105
4
651.315
4
651

2
+ 10(x
2
–5x) + 24 = 0
(ĐS: tập nghiệm là 1;2;3;4)
b) (x
2
+ x + 1) (x
2
+ x + 2) = 12
(ĐS: tập nghiệm là 1; -2)
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) ( x + 2)(x + 3)(x – 5)(x – 6) = 180
b) 2x(8x –1)
2
(4x – 1) = 9
(ĐS: tập nghiệm là
1 1
;
2 4
x x
−
= =
)
1. Chuyªn ®Ị : §a thøc
I.PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC
Bài 1: Tính giá trò của biểu thức:
a. A =
4 3 2
17 17 17 20x x x x− + − +

( ) ( )
2 2 2 65x x y y xy+ + − − +
b.
( )
2
2 75x y y x+ − +
Bài 5: Tính giá trò của đa thức:

( ) ( )
2
1 1x y y xy x y+ − − −
biết x+ y = -p, xy = q
Bài 6: Chứng minh đẳng thức:
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
x a x b x b x c x c x a ab bc ca x− − + − − + − − = + + −
; biết rằng 2x = a + b + c
b.
( )
2 2 2
2 4bc b c a p p a+ + − = −
; biết rằng a + b + c = 2p
Bài 7:
a. Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab – 2 chia hết cho 3.
b. Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1. Hỏi tích ab có chia
hết cho 3 không? Vì sao?
Bài 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với:

( ) ( )

12 11
n n+ +
+
chia hết cho 133.
Bài 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15,…,
( )
1
2
n n +
, …
Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính phương.
2. Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên
I. Một số hằng đẳng thức cơ bản
1. (a b)
2
= a
2
2ab + b
2
;
(a + b + c)
2
= a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2ab + 2bc + 2ca ;
2

b + 6a
2
b
2
4ab
3
+ b
4
;
3. a
2
b
2
= (a b)(a + b) ;
a
3
b
3
= (a b)(a
2
+ ab + b
2
) ;
a
n
b
n
= (a b)(a
n 1
+ a

2
ab
3
+ b
5
) ;
a
2k + 1
+ b
2k + 1
= (a + b)(a
2k
a
2k 1
b + a
2k 2
b
2
+ a
2
b
2k 2
ab
2k 1
+ b
2k
) ;
II. Bảng các hệ số trong khai triển (a + b)
n
Tam giác Pascal

= a
5
+ 5a
4
b + 10a
3
b
2
+ 10a
2
b
3
+ 10ab
4
+ b
5
II. Các ví dụ
Ví dụ 1. Đơn giản biểu thức sau :
A = (x + y + z)
3
(x + y z)
3
(y + z x)
3
(z + x y)
3
.
Lời giải
A = [(x + y) + z]
3

3
] [z
3
+ 3z
2
(x y) + 3z(x y)
2
+ (x y)
3
] = 6(x + y)
2
z
6z(x y)
2
= 24xyz
Ví dụ 2. Cho x + y = a, xy = b (a
2
4b). Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) x
2
+ y
2
; b) x
3
+ y
3
; c) x
4
+ y
4

2
)
2
2x
2
y
2
= (a
2
2b)
2
2b
2
= a
4
4a
2
b + 2b
2
d) (x
2
+ y
2
)(x
3
+ y
3
) = x
5
+ x

+ y
5
= a
5
5a
3
b + 5ab
2
Chú ý : a
6
+ b
6
= (a
2
)
3
+ (b
2
)
3
= (a
3
)
2
+ (b
3
)
2
a
7

3
)
Ví dụ 3. Chứng minh các hằng đẳng thức :
a) a
3
+ b
3
+ c
3
3abc = (a + b + c)(a
2
+ b
2
+ c
2
ab bc ca) ;
b) (a + b + c)
3
a
3
b
3
c
3
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Lời giải
a) a
3
+ b
3

3
b
3
c
3
= [(a + b + c)
3
a
3
] (b
3
+ c
3
)
= (b + c)[(a + b + c)
2
+ (a + b + c)a + a
2
] (b + c)(b
2
bc + c
2
)
= (b + c)(3a
2
+ 3ab + 3bc + 3ca) = 3(b + c)[a(a + b) + c(a + b)]
= 3(a + b)(b + c)(c + a)
Ví dụ 4. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng : 2(x
5
+ y

2
+ z
2
) = (x
3
+ y
3
+ z
3
)(x
2
+ y
2
+ z
2
)
= x
5
+ y
5
+ z
5
+ x
3
(y
2
+ z
2
) + y
3

= y
2
2zx.
Vì vậy : 3xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
) = x
5
+ y
5
+ z
5
+ x
3
(x
2
2yz) + y
3
(y
2
2zx) + z
3
(z
3
2xy) = 2(x
5
+ y

2
= 14.
Tính giá trị của biểu thức : A = a
4
+ b
4
+ c
4
.
2. Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0. Tính giá trị của biểu thức :
B = (x 1)
2007
+ y
2008
+ (z + 1)
2009
.
3. Cho a
2
b
2
= 4c
2
. Chứng minh rằng : (5a 3b + 8c)(5a 3b 8c) = (3a 5b)
2
.
4. Chứng minh rằng nếu:
5. (x y)
2
+ (y z)

+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) = (ax + by + cz)
2

và x, y, z khác 0 thì
a b c
x y z
= =
.
7. Cho x + y + z = 0. Chứng minh rằng :
a) 5(x
3
+ y
3
+ z
3
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) = 6(x

7
) = 7(x
2
+ y
2
+ z
2
)(x
5
+ y
5
+ z
5
).
8. Chứng minh các hằng đằng thức sau :
a) (a + b + c)
2
+ a
2
+ b
2
+ c
2
= (a + b)
2
+ (b + c)
2
+ (c + a)
2
;

+ (a + b)
4
= c
4
+ d
4
+ (c + d)
4
10. Cho a
2
+ b
2
+ c
2
= a
3
+ b
3
+ c
3
= 1. Tính giá trị của biểu thức : C = a
2
+ b
9
+ c
1945
.
11. Hai số a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau :
a
3

3
+ y
3
; b) x
4
+ y
4
; c) x
5
+ y
5
; d) x
6
+ y
6
;
e) x
7
+ y
7
; f) x
8
+ y
8
; g) x
2008
+ y
2008
.
3. Chuyên đề:

= (A B)(A + B)
3 2 3
3 2 3
3 2 3 2
3 2 3 2
1, 5 8 4 2, 2 3
3, 5 8 4 4, 7 6
5, 9 6 16 6, 4 13 9 18
7, 4 8 8 8, 6 6 1
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
+ +
+ + + +
+ + +
+ + +
3 2 3
3 3 2
3 2 3 2
3 3
9, 6 486 81 10, 7 6
11, 3 2 12, 5 3 9
13, 8 17 10 14, 3 6 4
15, 2 4 16, 2
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x
+

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Giải
a, Giả sử thay x bởi y thì P =
2 2
( ) ( ) 0y y z y z y + =
Nh vậy P chứa thừa số x y
( )
2
2 2 2 2
4 4
4 4
4 4 4
4 4 4 2
1, (1 ) 4 (1 ) 2, 8 36
3, 4 4, 64
5, 64 1 6, 81 4
7, 4 81 8, 64
9, 4 10,
x x x x
x x
x x
x x y
x y x x
+ +
+ +
+ +
+ +
+ + +
1
7 2 7 5

2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2
3 8, ( ) 3( ) 2
9, 2 3 3 10 10, ( 2 ) 9 18 20
11, 4 4 2 4 35 12, ( 2)( 4)( 6)( 8) 16
x x x x
x xy y x y x x x x
x xy y x y x x x x
+ + + + +
+ + + + + +
+ + + + + + +
4 3 2
2 2 2 2 2
1, 6 7 6 1
2,( )( ) ( )
x x x x
x y z x y z xy yz zx
+ + +
+ + + + + + +
2 2 2
2 2 2
, P = ( ) ( ) ( )
, Q = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
a x y z y z x z x y
b a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b
+ +
+ + + + + + + + +
Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P có thể hoán vị
vòng quanh bởi các biến x, y, z). Do đó nếu P đã chúa thùa số x y thì cũng chúa thừa số y z, z

e E a c b b a c c b a abc abc
f f a b c b c a c a b
g G a b a b
= + + + +
= + +
= + + +
= + + + + +
= + + +
= + +
=
2 2 2 2
4 4 4
) ( ) ( ).
) ( ) ( ) ( ).
b c b c a c c a
h H a b c b c a c a b
+ +
= + +
V-Phong pháp hệ số bất định
B i 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
4 3 2
4 3 2
2 2
4 3 2
4
) 6 12 14 3
) 4 4 5 2 1
) 3 22 11 37 7 10
) 7 14 7 1
) 8 63

S 2P-
; a
3
+ b
3
=
3
S 3SP-
. Vì vậy :
A = x
3
3(
2
S 2P-
)x + 2(
3
S 3SP-
) =
3 3 2 3
(x S ) (3S x 3S ) (6Px 6SP)- - - + -
2 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( )( )x y z y z x z x y k x y y z z x
+ + =
=
2 2 2
(x S)(x Sx S ) 3S (x S) 6P(x S)- + + - - + -
=
2 2
(x S)(x Sx 2S 6P)- + - +
= (x a b)[x

5
+ 15x
4
+ 20x
3
+ 15x
2
+ 6x + 1 ;
e) x
6
+ 3x
5
+ 4x
4
+ 4x
3
+ 4x
2
+ 3x + 1.
f) x
8
+ x
4
+ 1;
g) x
10
+ x
5
+ 1 ;
h) x

Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của f(x) không.
Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có:
)()()( xpaxxf
=
Để tìm p(x) thực hiện phép chia f(x) cho x - a.
Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân tích đợc. Sau đó viết kết quả cuối
cùng cho hợp lí.
Dạng 1: Tìm đa thức thơng bằng phơng pháp đồng nhất hệ số(phơng pháp hệ số bất định), phơng pháp
giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức.
*Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :
Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở hai đa thức phải có hệ
số phải có hệ số bằng nhau.
Ví dụ:
32)(
2
+=
bxaxxP
;
pxxxQ
=
4)(
2
Nếu P(x) = Q(x) thì ta có:
a = 1(hệ số của lũy thừa 2)
2b = - 4 (hệ số của lũy thừa bậc 1)
- 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do)
*Phơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x)
Gọi thơng và d trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lợt là M(x) và N(x)
Khi đó ta có:
)()().()( xNxMxQxP

aaaaa
Vi a = -2 thỡ
4104)(,4664
223
+=+=
xxxQxxxA
Vi a = 3 thỡ
69)(,6699
223
=+=
xxQxxxA
*Phơng pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức (nh SGK)
Bài tập áp dụng
B i 1: Cho a thc
2 3 2
( ) 3 6 2 ( )A x a x ax x a a Q= +
. Xác nh a sao cho A(x) chia ht cho x + 1.
Bài 2: Phân tích đa thức
4 3
( ) 2 4P x x x x=
thành nhân tử, biết rằng một nhân tử có dạng:
2
2x dx+ +
Bài 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thức :
bxaxx
+++
2
23
chia hết cho đa thức:
1

33)(
chia ht cho a thc:
43)(
2
+=
xxxg
.
Bi 7: a) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b v c a thc:
cbxaxxxP
+++=
24
)(
Chia ht cho
3
)3(

x
.
b) Xỏc nh cỏc giỏ tr ca a, b a thc:
2376)(
234
+++=
xaxxxxQ
chia ht cho a thc
bxxxM
+=
2
)(
.
c) Xỏc nh a, b


x
d 4.
c)
95
45
+
xax
chia ht cho
1

x
.
Bi 10: Xỏc nh cỏc hng s a v b sao cho:
a)
baxx
++
24
chia ht cho
1
2
+
xx
.
b)
505
23
++
xbxax
chia ht cho

chia cho
1
+
x
thỡ d 7, chia cho
3

x
thỡ d -5.
Bi 12: Tỡm cỏc hng s a, b, c sao cho
cbxax
++
23
chia ht cho
2
+
x
, chia cho
1
2

x
thỡ d
5
+
x
.
(Mt s vn phỏt trin i s 8)
Bi 13: Cho a thc:
baxxxxxP

bxxxQ
+−=
2
)(
. Xác định a và b để P(x)
chia hết cho Q(x).
(23 chuyên đề toán sơ cấp)
Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn
Phương pháp:
Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1 điểm
1321
,,,,
+
n
CCCC 
ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng:
)())(())(()()(
21212110 nn
CxCxCxbCxCxbCxbbxP
−−−++−−+−+=

Bằng cách thay thế x lần lượt bằng các giá trị
1321
,,,,
+
n
CCCC 
vào biểu thức P(x) ta lần
lượt tính được các hệ số
n

Vậy, đa thức cần tìm có dạng:
2519)()1(1825)(
2
+−=⇔−+−=
xxxPxxxxP
.
Bài 2: Tìm đa thức bậc 3 P(x), biết:
1)3(,4)2(,12)1(,10)0(
====
PPPP
Hướng dẫn: Đặt
)2)(1()1()(
3210
−−+−++=
xxxbxxbxbbxP
(1)
Bài 3: Tìm đa thức bậc ba P(x), biết khi chia P(x) cho
)3(),2(),1(
−−−
xxx
đều được dư bằng 6 và
P(-1) = - 18.
Hướng dẫn: Đặt
)3)(2)(1()2)(1()1()(
3210
−−−+−−+−+=
xxxbxxbxbbxP
(1)
Bài 4: Cho đa thức bậc bốn P(x), thỏa mãn:
)1(),12)(1()1()(

43210
−−++−++++++=
xxxxbxxxbxxbxbbxP
(2)
Thay x lần lượt bằng -1; 0; 1; 2; -2 vào (2) ta được:

2
1
)4)(3)(2)(1()3)(2)(1.(3)2)(1.(30
31.2.3.2.3.336
,31.2.6
,00
0
44
33
22
11
0
=⇔−−−−+−−−+−−=
=⇔+=
=⇔=
=⇔=
=
bb
bb
bb
bb
b
Vậy, đa thức cần tìm có dạng:



.
2) Chng minh rng:
)1(,
2
1
),0( PPP






khụng th cựng õm hoc cựng dng.
Bi 6: Tỡm mt a thc bc hai, cho bit:
1985)2(
85)1(
19)0(
=
=
=
P
P
P
Bài 4. Đa thức bậc 4 có hệ số bậc cao nhất là 1 và thoả mãn f(1) = 5; f(2) = 11; f(3) = 21. Tính f(-1)
+ f(5).
Bài 2. Cho 3 số tự nhiên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 3 thì a
3
+ b
3

Vậy phân số
3n 1
5n 2
+
+
là phân số tối giản.
b) Ta có
29
A n 5
n 5
= - +
+
. Để A cha tối giản thì phân số
29
n 5+
phải cha tối giản. Suy ra n + 5
phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29.
Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 29
n + 5 =29k (k N) hay n=29k 5.
Theo điều kiện đề bài thì 0 n = 29k 5 < 2009
1 k 69 hay k{1; 2;; 69}
Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài.
Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + + 69) 5.69 = 69690.
Ví dụ 2. Cho a, b, c 0 và a + b + c 0 thỏa mãn điều kiện
1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
.
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau. Từ đó suy ra rằng :

+ =
+ +
(a + b)(b + c)(c + a) = 0
a b 0
b c 0
c a 0
ộ
+ =
ờ
ờ
+ =
ờ
ờ
+ =
ở

a b
b c
c a
ộ
=-
ờ
ờ
=-
ờ
ờ
=-
ở
đpcm.
Từ đó suy ra :

ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
+ + +
.
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab. Suy ra : a
2
+ b
2
= (a + b)
2
2ab =
2
S 2P-
a
3
+ b
3
= (a + b)
3
3ab(a + b) =
3
S 3SP-
.
Do đó :
1 1 a b S
;
a b ab P
+
+ = =

- - - + - +
+ + = =
Hay A =
3 3 3
1 1
.
P a b
=
Ví dụ 4 . Cho a, b, c là ba số phân biệt. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào
giá trị của x :
(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- - - - - -
= + +
- - - - - -
.
Lời giải
Cách 1

2 2 2
x (a b)x ab x (b c)x bc x (c a)x ca
S(x)
(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)
- + + - + + - + +
= + +
- - - - - -
= Ax
2
Bx + C

(a b)(b a) (b c)(c b) (c a)(a c)
B
(a b)(b c)(c a)
+ - + + - + + -
=
- - -
2 2 2 2 2 2
b a c a a c
0
(a b)(b c)(c a)
- + - + -
= =
- - -
;

ab(b a) bc(c b) ca(a c) ab(b a) bc[(c a) (a b)] ca(a c)
C
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- + - + - - + - + - + -
= =
- - - - - -(a b)(bc ab) (c a)(bc ca) (a b)(b c)(c a)
1
(a b)(b c)(c a) (a b)(b c)(c a)
- - + - - - - -
= = =
- - - - - -
.

1
C x
x
= +
; d)
5
5
1
D x
x
= +
.
Lời giải
a)
2
2
2
1 1
A x x 2 9 2 7
x x
ổ ử
ữ
ỗ
= + = + - = - =
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
;

ữ
ỗ
ố ứ
;
d)
2 3 5
2 3 5
1 1 1 1
A.B x x x x D 3
x x x x
ổ ửổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + + = + + + = +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứố ứ
D = 7.18 3 = 123.
Ví dụ 5. Xác định các số a, b, c sao cho :
2 2
2 ax b c
(x 1)(x 1) x 1 x 1
+
= +
+ - + -
.
Lời giải
Ta có :

. Vậy
2 2
2 x 1 1
(x 1)(x 1) x 1 x 1
- -
= +
+ - + -
.
6. Chuyên đề: Giải ph ơng trình
I/Phng trỡnh ax+b=0 (1) v phng trỡnh a v dng (1)
*Cỏch gii: (Bin i v a ht v mt v sau ú rỳt gn thnh dng ax+b=0)
TH1:a=0 nu b

0 thỡ phng trỡnh (1)vụ nghim
nu b=0 thỡ phng trỡnh (1) vụ s nghim
TH2:a

0 thỡ phng trỡnh (1) cú nghim duy nht x=
b
a

*Vớ d: a)3x+1=7x-11
b1: 3x+1-7x+11=0 (bin i v chuyn v mt v)
b2: -4x+12=0 (rỳt gn v dng ax+b=0)
b3: x=
12
3
4

=

x x
=
v)
3 13
2 5
5 5
x x

+ = +
ữ ữ

w)
3 2 3 2( 7)
5
6 4
x x +
=
s)
7 20 1,5
5( 9)
8 6
x x
x
+
=
y)
5( 1) 2 7 1 2(2 1)
5
6 4 7
x x x + +

Từ (1) x=
10 5
4 2
=
(2)
⇒
x=
24
5
−
Vậy phương trình có 2 nghiệm x=
10 5
4 2
=
hoặc x=
24
5
−
b)(x-1)(5x+3)=(3x-8)(x-1)
⇔
(x-1)(5x+3)-(3x-8)(x-1)=0
⇔
(x-1)(2x+11)=0
⇔
1 0 1
11
2 11 0
2
x x
x x

f)
(2 3 5)(2,5 2) 0x x− + =
g)3x(25x+15)-35(5x+3)=0 h)(2-3x)(x+11)=(3x-2)(2-5x)
i)(2x
2
+1)(4x-3)=(2x
2
+1)(x-12) k)(2x-1)
2
+(2-x)(2x-1)=0
l)(x+2)(3-4x)=x
2
+4x+4 m)(x-1)(x
2
+5x-2)-(x
2
-1)=0
n)x
3
+1=x(x+1) 0)x
2
+(x=2) (11x-7)=4
p)x
3
+x
2
+x+1=0 q)x
2
-3x+2=0
r)4x

+
+−
+
+−
xxxxxx
C©u 3: (1,5 ®). T×m x, y biÕt
a)
)(462
22
yxyx
−=++
b)
0)58()1(27)52(
333
=−+−+−
xxx®Ò 1 (43)
C©u 1: Cho x =
2 2 2
2
b c a
bc
+ −
; y =
2 2
2 2
( )
( )

x b
+
+
+
2
2
( )(1 )a b c
x c
+
+
= 0
(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Câu 3:Xác định các số a, b biết:
3
(3 1)
( 1)
x
x
+
+
=
3
( 1)
a
x +
+
2
( 1)
b
x +

)
Câu 2: Xác định a, b để f(x) = 6x
4
7x
3
+ ax
2
+ 3x +2
Chia hết cho y(x) = x
2
x + b
Câu 3: Giải PT:
a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680.
b, 4x
2
+ 4y 4xy +5y
2
+ 1 = 0
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của phân số mà tử số là một số có 3 chữ số mà mẫu là tổng các chữ số của nó.
Câu 5: Cho

ABC cân tại A, trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho:
AD = EC = DE = CB.
a, Nếu AB > 2BC. Tính góc
à
A
của
ABCV
b, Nếu AB < BC. Tính góc
à

1 1
( )( )
1 1
x x
x x
x x

+
+

+

a, Rút gọn A
b, Tìm A khi x= -
1
2
c, Tìm x để 2A = 1
Câu 3:
a, Cho x+y+z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x
2
+ y
2
+ z
2
b, Tìm giá trị lớn nhất của P =
2
( 10)
x
x +
Câu 4:

Câu 5:Cho
ABCV
đều có độ dài cạnh là a, kéo dài BC một đoạn CM =a
a, Tính số đo các góc
ACMV
b, CMR: AM

AB
c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a. CMR
MNPV
đều.
đề 4 (46)
Câu 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, a
8
+ a
4
+1
b, a
10
+ a
5
+1
Câu 2:
a, Cho a + b + c = 0, Tính giá trị của biểu thức:
A =
2 2 2
1
b c a+

+ c
2
> ab + bc + ca
b, CMR: a
2
+ b
2
+1

ab + a + b
Câu 4:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x
2
+ 2xy + y
2
- 2x + 2y +1
b, Cho a + b + c= 1, Tìm giá trị nhỏ nhất
P = a
3
+ b
3
+ c
3
+ a
2
(b + c) + b
2
(c + a) + c
2
(a + b)

b, 6x
5
+15x
4
+ 20x
3
+15x
2
+ 6x +1
Câu 2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14.
Tính giá trị của A = a
4
+ b
4
+ c
4
b, Cho a, b, c

0. Tính giá trị của D = x
2003
+ y
2003
+ z




4
a b+
b, Cho a, b, c, d > 0
CMR:
a d
d b

+
+
d b
b c

+
+
b c
c a

+
+
c a
a d

+


0
Câu 4:

. D, E, F là trung điểm AB, AC, BC; A, B, C là
điểm đối xứng của M qua F, E, D.
a, CMR: ABAB là hình bình hành.
b, CMR: CC đi qua trung điểm của AA
Đề 6 (48)
Câu 1:
Cho
a
x y+
=
13
x z+
và
2
169
( )x z+
=
27
( )(2 )z y x y z

+ +
Tính giá trị của biểu thức A =
3 2
2 12 17 2
2
a a a
a
+

Câu 2: Cho x


1+ a
2
b + b
2
c + c
2
a
b, Cho 0 <a
0
<a
1
< ... < a
1997
CMR:
0 1 1997
2 5 8 1997
....
....
a a a
a a a a
+ + +
+ + + +
< 3
Câu 5:
a, Tìm a để PT
4 3x
= 5 a có nghiệm

Z

2
b c a
bc
+
+
2 2 2
2
c a b
ac
+
+
2 2 2
2
a b c
ab
+
= 1
Thì hai phân thức có giá trị là 1 và 1 phân thức có giá trị là -1.
Câu 2:Cho x, y, z > 0 và xyz = 1
Tìm giá trị lớn nhất A =
3 3
1
1x y+ +
+
3 3
1
1y z+ +
+
3 3
1

2
+......+n
2
=
( 1)(2 1)
6
n n n+ +
Câu 5:Tìm nghiệm nguyên của PT: x
2
= y(y+1)(y+2)(y+3)
Câu 6:Giải BPT:
2
2 2
1
x x
x
+ +
+
>
2
4 5
2
x x
x
+ +
+
- 1
Câu 7:Cho 0

a, b, c

Câu 2:Cho x, y > 0 và x+y = 1
Tìm giá trị lớn nhất của P = (1 -
2
1
x
)(1 -
2
1
y
)
Câu 3:
a, Cho a, b ,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác
CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
b, Cho 0

a, b , c

1
CMR: a + b
2
+ c
3
ab bc ca


b
a c+
+
c
a b+
; N =
2
a
b c+
+
2
b
a c+
+
2
c
a b+
a, CMR: Nếu M = 1 thì N = 0
b, Nếu N = 0 thì có nhất thiết M = 1 không?
Câu 2: Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 2
CMR:
2
a
b c+
+
2
b
a c+
+
2

d
a c d+ +
không phải là số nguyên.
Câu 6: Cho
ABCV
cân (AB = AC) trên AB lấy điểm M, trên phần kéo dài của AC về phía C lấy điểm N sao
cho: BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP
CMR: BC

PC
Câu 7: Cho x, y thoả mãn: 2x
2
+
2
1
x
+
2
4
y
= 4 (x

0)
Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ nhất
đề 10 (52)
Câu 1: Cho a, b, c > 0 và
P =
3
2 2
a

3
a b c+ +
Câu 2:Cho a, b, c thoả mãn a
2
+ b
2
+ c
2
= 1
CMR: abc + 2(1+ a + b + c + ab + bc + ca)

0
Câu 3:CMR

x, y

Z thì:
A = (x+ y)(x+ 2y)(x+3y)(x+ 4y) + y
4
là số chính phơng.
Câu 4:
a, Tìm số tự nhiên m, n sao cho: m
2
+ n
2
= m + n + 8
b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x
2
y = (x
2

x y
xy
+

Câu 7: Giải BPT:
1 x a x <
(x là ẩn số)
Câu 8:Cho
ABCV
, trên BC lấy M, N sao cho BM = MN = NC. Gọi D, E là trung điểm của AC, AB, P là giao
của AM và BD. Gọi Q là giao của AN và CE.
Tính PQ theo BC
Đề 11 (53)
Câu 1: Cho x =
a b
a b

+
; y =
b c
b c

+
; z =
c a
c a

+
CMR: (1+ x)(1+ y)(1+ z) = (1- x)(1- y)(1- z)
Câu 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của A =

CMR: E, O, F thẳng hàng.
đề 12 (54)
Câu 1:Tìm đa thức f(x) biết:
f(x) chia cho x +3 d 1
f(x) chia cho x- 4 d 8
f(x) chia cho (x+3)(x- 4) thơng là 3x và d
Câu 2:
a, Phân tích thành nhân tử: A = x
4
+ 2000x
2
+ 1999x + 2000
b, Cho:
2 2 2
x yz y zx z xy
a b c

= =
CMR:
2 2 2
a bc b ca c ab
x y z

= =
Câu 4:CMR:
1
9
+
1
25

2
= 1999
Câu 7:Cho hình vuông ABCD. Trên BD lấy M, từ M kẻ các đờng vuông góc AB, AD tại E, F.
a, CMR: CF = DE; CF

DE
b, CMR: CM = EF; CM

EF
c, CMR: CM, BF, DE đồng qui
----------------------- hết ----------------------
đề 13 (55)
Câu 1:
a, Rút gọn: A = (1-
2
4
1
)(1-
2
4
3
).....(1-
2
4
199
)
b, Cho a, b > 0 và 9b(b - a) = 4a
2
Tính M =
a b

2
1
1b +



2
1ab +
Câu 3: Tìm x, y, z biết: x + 2y + 3z = 56 và
1
1x
=
2
2y
=
3
3z
Câu 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của M =
2
2 1
2
x
x
+
+
b, Tìm giá trị nhỏ nhất A =
2
2
6 5 9x x

4
+ 2x
3
2x
2
+ 2x - 3 = 0
b, Giải BPT: 3 mx < 2(x-m) (m+1)
2
Câu 3:Cho a, b, c > 0. CMR:
3
2
a b c
b c a c a b
+ +
+ + +
Câu 4:CM: A = n
6
n
4
+2n
3
+2n
2
không là số chính phơng với n

N và n >1
Câu 5:Cho f(x) = x
2
+ nx + b thoả mãn
1

1 11
; ; .....
2 1 1
x xa
x x x
a x x

= = =
+ + +
Tìm a nếu x
1997
= 3
Câu 3:Tìm m để phơng trình có nghiệm âm:
( 2) 3( 1)
1
1
m x m
x
+
=
+
Câu 4:Với n

N và n >1. CMR:
1 1 1 1
.... 1
2 1 2 2n n n
< + + + <
+ +
Câu 5:Cho M = 3x

)( x
2
+ y
2
+ z
2
) = (ax + by + cz)
2
CMR:
x y z
a b c
= =
với abc 0
Câu 2:Cho abc 0 và
2 2 4 4
x y z
a b c a b c a b c
= =
+ + + +
CMR:
2 2 4 4
a b c
x y z x y z x y z
= =
+ + + +
Câu 3:Cho a, b, c là 3 số dơng và nhỏ hơn 1
CMR: Trong 3 số: (1-a)b; (1-b)c; và (1-c)a không đồng thời lớn hơn
1
4
Câu 4:Cho x

ABCV
về phía ngoài
ABCV
vẽ tam giác vuông cân ABE và CAF tại đỉnh A.
CMR: Trung tuyến AI của
ABCV
vuông góc với EF và AI =
1
2
EF
Câu 8: CMR:
21 4
14 3
n
n
+
+
là phân số tối giản (với n

N).
đề 17 (59)
Câu 1:Phân tích ra thừa số:
a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15
b, x
3
+ 6x
2
+ 11x + 6
Câu 2:Cho x > 0 và x
2


a, b, c


4
3
Câu 5: Tính tổng S = 1+2x+3x
2
+4x
3
+.....+ nx
n-1
(x1)
Câu 6:Tìm nghiệm nguyên của PT:
xy xz yz
z y x
+ +
= 3
Câu 7: Cho
ABCV
biết đờng cao AH và trung tuyến AM chia góc
ã
BAC
thành 3 phần bằng nhau.
Xác định các góc của
ABCV
----------------------- hết ----------------------
Đề 18 (60)
Câu 1:Rút gọn: M =
2 2 2