Đề thi học kỳ I
Môn Toán 11 (Chương trình nâng cao)
Thời gian làm bài 90 phút (không kể phát đề)
(Đề gồm có 01 trang)
NỘI DUNG ĐỀ
Câu I :(3đ) Giải các phương trình sau :
1) (1đ)
( )
2
3 tan 1 3 tan 1 0x x− + + =
2) (1đ)
2
3
2 cos 3 cos2 0
4
x x
π
 
− + =
 ÷
 

3) (1đ)
2
1 cos2
1 cot 2
sin 2
x
x
x
−

2 2
( ) : 1 2 4C x y− + − =
. Gọi f là phép biến
hình có được bằng cách sau: thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ
1 3
;
2 2
v
 
=
 ÷
 
r
, rồi đến phép vị tự tâm
4 1
;
3 3
M
 
 ÷
 
, tỉ số
2k
=
. Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép biến hình f.
Câu V :(2đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam
giác SAB và SAD.
1) (1đ) Chứng minh: MN // (ABCD).
2) (1đ) Gọi E là trung điểm của CB. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng
(MNE).

0,25
2
3
pt 1 cos 2 3 cos2 0 1 sin 2 3 cos2 0 sin 2 3 cos2 1
2
x x x x x x
π
 
⇔ + − + = ⇔ − + = ⇔ − =
 ÷
 
0,25

sin 2 sin
3 6
x
π π
 
⇔ − =
 ÷
 
0,25
2 2
3 6 4
sin 2 sin
3 6
5 7
2 2
3 6 12
x k x k

2
cos2 1 cos2
pt 1 sin 2 cos2 sin 2 1 cos2
sin 2
sin 2
sin 2 1 sin 2 cos2 1 0
sin 2 1

sin 2 cos2 1
x x
x x x x
x
x
x x x
x
x x
−
⇔ + = ⇔ + = −
⇔ + + − =
= −

⇔

+ =

0,50
sin 2 1 2 2
2 4
x x k x k
π π

1
ĐK:
2;n n≥ ∈ ¥
;
( )
0 1 2
2 109 1 2 1 109 12
n n n
C C A n n n n
− + = ⇔ − + − = ⇔ =
0,25
( )
12
12 12
12
2 2 4 24 6
12 12
4
0 0
1
k
k k k k
k k
x C x x C x
x
−
− −
= =
 
+ = =

0,25
+Trường hợp 1:
{ } { }
1 2 3
; ; 2;4;5a a a =
thì
{ } { }
4 5 6
; ; 1;3;6a a a =
nên có (1.2!).(3!) = 12 (số)
+Trường hợp 2:
{ } { }
1 2 3
; ; 2;3;6a a a =
thì
{ } { }
4 5 6
; ; 1;4;5a a a =
nên có (1.2!).(3!) = 12 (số)
+Trường hợp 1:
{ } { }
1 2 3
; ; 1;4;6a a a =
thì
{ } { }
4 5 6
; ; 2;3;5a a a =
nên có (1.2!).(3!) = 12 (số)
0,50
Theo quy tắc cộng, ta có: 12 + 12 + 12 = 36 (số) 0,25

C C C C C C C C C C C C
Ω = + + + + + =
0,50
( )
3
12
145 29
44
P B
C
= =
0,50
IV (1đ)
Gọi I là tâm của (C) thì I(1 ; 2) và R là bán kính của (C) thì R = 2.
Gọi A là ảnh của I qua phép tịnh tiến theo vectơ
1 3
;
2 2
v
 
=
 ÷
 
r
, suy ra
3 7
;
2 2
A
 


= ⇒


= − =


uuur uuur
. Vậy
5 20
;
3 3
B
 
 ÷
 
0,25
Gọi R’ là bán kính của (C’) thì R’ = 2R = 4 0,25
Vậy
2 2
5 20
( ') : 16
3 3
C x y
   
− + − =
 ÷  ÷
   
0,25
V (2đ)

4 cos 3 2 sin 2 8cosx x x+ =
3) (1đ)
( )
2
2 3 cos 2 sin
2 4
1
2 cos 1
x
x
x
π
 
− − −
 ÷
 
=
−
Câu II :(2đ)
1) (1đ) Tìm hệ số của
x
31
trong khai triển của
2
1
n
x
x
 
+

 
 ÷
 
, rồi đến phép vị tự tâm
1 3
;
2 2
N
 
 ÷
 
, tỉ
số
2k
=
. Viết phương trình ảnh của đường tròn (C) qua phép biến hình f .
Câu V :(2đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AD // BC, AD > BC). Gọi M là một điểm bất
kỳ trên cạnh AB ( M khác A và M khác B). Gọi (
α
) là mặt phẳng qua M và song song với SB và AD.
1) (1đ) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (
α
). Thiết diện này là hình gì ?
2) (1đ) Chứng minh SC // (
α
).
----------HẾT----------
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
Câu Nội dung Điểm
I (3đ)

− = + = +
 
 
0,25
0,25
2
( )
3 2
2
pt 4 cos 6 2 sin cos 8 cos cos 2 cos 3 2 sin 4 0
cos 0

2sin 3 2 sin 2 0 (*)
x x x x x x x
x
x x
⇔ + = ⇔ + − =
=

⇔

− + =

0,25
cos 0
2
x x k
π
π
= ⇔ = +



= +
=



0,25
0,25
3
Điều kiện:
1
cos 2
2 3
x x k
π
π
≠ ⇔ ≠ ± +
( )
2 3 cos 1 cos 2 cos 1 sin 3 cos 0 tan 3
2
pt x x x x x x
π
 
⇔ − − + − = − ⇔ − = ⇔ =
 ÷
 
0,50
tan 3
3

0,25
40
40 40
40 2 40 3
40 40
2
0 0
1
k k k k k
k k
x C x x C x
x
− − −
= =
 
+ = =
 ÷
 
∑ ∑
0,25
40 3 31 3k k
− = ⇔ =
0,25
Vậy hệ số của x
31
là
3
40
9880C
=

A
210 35
C C
P = =
0,50
Suy ra:
( )
( )
1 34
1 1
35 35
P A P A= − = − =
0,25
2 Gọi B là biến cố “Trong 4 quả cầu lấy ra, có đủ cả ba màu: trắng, đỏ và vàng”.
+Trường hợp 1: 1 trắng, 1 đỏ ở hộp một; 2 vàng ở hộp hai có
( )
1 1 2
2 3 4
C C C
(cách)
+Trường hợp 2: 2 đỏ ở hộp một; 1 vàng, 1 trắng ở hộp hai có
( )
2 1 1
2 3 4
C C C
(cách)
+Trường hợp 3: 1 đỏ, 1 trắng ở hộp một; 1 vàng, 1 trắng ở hộp hai có
( ) ( )
1 1 1 1
3 2 4 3

2 1
;
3 3
A
 
−
 ÷
 
0,25
Gọi B là tâm của (C’) thì B là ảnh của A qua phép vị tự tâm
1 3
;
2 2
N
 
 ÷
 
tỉ số
2k
=
nên :
5
2
6
2
13
2
6
B A N
B A N

C x y
   
− + + =
 ÷  ÷
   
0,25
V (2đ)
0,50
1
( )
( ) //
( ) ( ) // ,
( )
SB
SAB MN SB N SA
SB SAB
α
α

⇒ ∩ = ∈

⊂

( )
( ) //
( ) ( ) // ,
( )
AD
SAD NP AD P SD
AD SAD

Mà
( )
PQ
α
⊂
nên suy ra
( )
//SC
α
(đpcm).
1,00
HẾT
Họ và tên:………………………… KIỂM TRA HỌC KÌ I
Lớp: 11… Môn: Toán
Mã đề: 115 Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian giao đề)
I. Phần trắc nghiệm: ( mỗi câu đúng 0,5 đ)
C©u 1 : Xác suất của biến cố “ hai mặt giống nhau” khi gieo một con súc sắc hai lần:
A.
6
1
. B.
3
2
. C.
8
7
. D.
4
3
.

1
)
6

là:
A. 4. B. 15. C. 2. D. 8.
C©u 5 : Phương trình sin
2
x-3=2sinx có:
A. Vô nghiệm. B. Vô số nghiệm. C. 1nghiệm. D. 2 nghiệm.