Bách Khoa Online
Giao lưu - Học hỏi - Chia sẻ kinh nghiệm
của các thế hệ sinh viên Bách Khoa

hutonline.net -15-
Chơng 2
Lý thuyết về hệ lực
Trong tĩnh học có hai bài toán cơ bản: thu gọn hệ lực và xác định điều
kiện cân bằng của hệ lực. Chơng này giới thiệu nội dung của hai bài toán cơ
bản nói trên.
2.1 Đặc trng hình học cơ bản của hệ lực
Hệ lực có hai đặc trng hình học cơ bản là véc tơ chính và mô men chính.
2.1.1. Véc tơ chính
Xét hệ lực (
1
F
r
,
2


R
r

Hình 2.1
n
F
r
F
r
1

a
c
F
r
3

2

b
F
r
O
R
r

m
n


1
+ x
2
+...+ x
n
=

=
n
1i
X
i
;
Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com
-16-
R
r
y
= y
1
+ y
2
+...+ y
n
=

=
n
1i

2
RRR ++
;
cos(R,X) =
R
R
x
; cos(R,Y) =
R
R
y
; cos(R,Z) =
R
R
z
.
Véc tơ chính là một véc tơ tự do.
2.1.2. Mô men chính của hệ lực
Véc tơ mô men chính của hệ lực đối với tâm O là véc tơ tổng của các véc
tơ mô men các lực trong hệ lấy đối với tâm O (hình 2.2). Nếu ký hiệu mô men
chính là
M
r
o
ta có
M
r
o
=


1

F
r
1

3
z
r2
z
r
M
r
0

m
r
20

10

m
r
O
m
2
1

x
( ) +...+ m
2
F
r
x
(
n
F
r
) =

=
n
1i
m
x
(
F
r
i
);
M
y
= m
y
(
1
F
r

r
z
( ) +... +m
2
F
r
z
(
n
F
r
) =

=
n
1i
m
z
(
F
r
i
).
Giá trị và phơng chiều véc tơ mô men chính đợc xác định theo các biểu
thức sau:
M
o
=
z
2

R
r
véc tơ mô men chính
M
r
o
là véc tơ buộc nó phụ
thuộc vào tâm O. Nói cách khác véc tơ chính là một đại lợng bất biến còn véc
tơ mô men chính là đại lợng biến đổi theo tâm thu gọn O.
2.2. Thu gọn hệ lực
Thu gọn hệ lực là đa hệ lực về dạng đơn giản hơn. Để thực hiện thu gọn
hệ lực trớc hết dựa vào định lý rời lực song song trình bày dới đây.
2.2.1. Định lý 2.1 : Tác dụng của lực lên vật rắn sẽ không thay đổi nếu ta
rời song song nó tới một điểm đặt khác trên vật và thêm vào đó một ngẫu lực phụ
F
r
'
F
r

F
r
d
A
B
''
Hình 2.3
Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com
-18-

r
,
F
r
',
F
r
'').
Hệ ba lực (
F
r
, ', '') có hai lực (
FF
r
F
r
r
,
F
r
'') tạo thành một ngẫu lực có mô
men
m
r
=
m
r
B
(F) (theo định nghĩa mô men của ngẫu lực).
Ta đã chứng minh đợc

điểm O tuỳ ý trên vật, áp dụng định lý rời lực song song đa các lực của hệ về
đặt tại O. Kết quả cho ta hệ lực (
1
F
r
,
2
F
r
,...,
n
F
r
)
o
đặt tại O và một hệ các ngẫu lực
phụ có mô men là
m
r
1
=
m
r
o
( ) ,
1
F
r
m
r

F
r
n
r
o
về tơng
đơng với một lực
.
R
r
Cụ thể có:
A
3

F
r
F
r
F
r
1

A
1

O
m
r
20


2
F
r
R
r
1
trong đó
R
r
1
=
1
F
r
+
2
F
r

(
R
r
1
,
F
r
3
)
R
r

R
r
(n-1)
,
F
)
n
r
R
r
Hình 2.4
Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com
-19-
trong đó
=
R
r
R
r
(n-2)
+
n
F
r
=

=
n
1i

hệ lực đã cho đối với tâm O
Theo định lý 2.2, trong trờng hợp tổng quát khi thu gọn hệ lực về tâm O
bất kỳ ta đợc một véc tơ chính và một mô men chính. Véc tơ chính bằng tổng
hình học các lực trong hệ và là một đại lợng không đổi còn mô men chính bằng
tổng mô men các lực trong hệ lấy đối với tâm thu gọn và là đại lợng biến đổi
theo tâm thu gọn.
Để xác định quy luật biến đổi của mô men chính đối với các tâm thu gọn
khác nhau ta thực hiện thu gọn hệ lực về hai tâm O và O
1
bất kỳ (hình 2.4a).
Thực hiện thu gọn hệ về tâm O ta
đợc
R
r r
0
và
M
o
.
R
r
0

M
r
M
r
01

O

r
o
,
R
r
'
o1
).
'
01

Suy ra (
R
r
o
,
M
r
o
)
R
r
o1
+ ngẫu lực
(
R
r r r
o
, '
R

,
M
r
o1
).
Thay kết quả chứng minh ở trên ta có:
Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com
-20-
(
R
r
o
,
M
r
o
) R
o1
+(
R
r
o
,
R
r
'
o1
) + M
o

R
r
01
) có mô men
M
r
' =m
o1.
(R
o
)
Kết luận: Khi thay đổi tâm thu gọn véc tơ mô men chính thay đổi một đại
lợng M' bằng mô men của véc tơ chính đặt ở tâm trớc lấy đối với tâm sau.
2.2.3. Các dạng chuẩn của hệ lực
Kết quả thu gọn hệ lực về một tâm có thể xẩy ra 6 trờng hợp sau
2.2.3.1. Véc tơ chính và mô men chính đều bằng không
R
r
= 0 ;
M
r
o
= 0
Hệ lực khảo sát cân bằng.
2.2.3.2. Véc tơ chính bằng không còn mô men chính khác không
R
r
= 0;
M
r

bằng ngẫu lực (
R
r
',
R
r
'')
với điều kiện:
R
r
' = ;
R
r
R
r
'' = - và
R
r
M
r
o
=
m
r
o
(
R
r
')


R
r

a)
'
b)
O'
Bỏch Khoa Online: hutonline.net
Tỡm kim & download ebook: bookilook.com
-21-

Ta có ( ,
MR
r r
o
) ( ,
RR
r
r
',
R
r
'' ).
Theo tiên đề 1
R
r
o

bằng một ngẫu lực ( ') mặt phẳng
của ngẫu này vuông góc với véc tơ chính
P
r
P
r
R
r
.
Hệ đợc gọi là hệ vít động lực. Nếu véc tơ
R
r
song song cùng chiều với
véc tơ
M
r
o
hệ gọi là hệ vít động lực thuận (phải) và ngợc lại gọi là hệ vít động
lực nghịch (trái). Hình 2.6 biểu diễn vít động lực thuận
2.2.3.6. Hai véc tơ chính và mô men chính khác không và hợp lực với nhau
một góc

bất kỳ (hình 2.7)
Trờng hợp này nếu thay thế
véc tơ
M
r
o
bằng một ngẫu lực (
P

lực
và
P
r r
R
o
thành một lực
R
r
'. Nh
R
r
'
R
r
0
O
1P
r

P
r
'
M
r
0


1i
m
r
o
(
F
r
i
)
m
r
z
(
R
) =
r

=
n
1i
m
r
z
(
F
r
i
) (2.4)
F
r

F
r
)
tác dụng lên vật rắn. Gọi
là hợp lực của hệ
(hình 2.8).
R
r
Tại điểm C trên đờng tác dụng của
hợp lực
đặt thêm lực ' = -
R
r
R
r
R
r
.Hệ lực đã
cho cùng với
' tạo thành một hệ lực cân
bằng:
R
r
Hình 2.8
(
, ,...
1
F
r
2

R
r
') = 0
Thay
' = - ta có:
R
r
R
r

=
n
1i
m
r
o
(
F
r
i
) -
m
r
o
( ) = 0
R
r
Hay m
o
( ) =