-15-
Chơng 2
Lý thuyết về hệ lực
Trong tĩnh học có hai bài toán cơ bản: thu gọn hệ lực và xác định điều
kiện cân bằng của hệ lực. Chơng này giới thiệu nội dung của hai bài toán cơ
bản nói trên.
2.1 Đặc trng hình học cơ bản của hệ lực
Hệ lực có hai đặc trng hình học cơ bản là véc tơ chính và mô men chính.
2.1.1. Véc tơ chính
Xét hệ lực (
1
F
r
,
2
F
r
,..
n
F
r
) tác dụng lên vật rắn (hình 2.1a).
Véc tơ chính của hệ lực là véc tơ tổng hình học các véc tơ biểu diễn các
lực trong hệ (hình 2.1b) a/ b/
F

3

2

b
F
r
O
R
r

m
nR
r
= + + ... =
1
F
r
2
F
r
n
F
r

=
n

y
= y
1
+ y
2
+...+ y
n
=

=
n
1i
Y
i
;
R
r
z
= z
1
+ z
2
+... +z
n
=

=
n
1i
Z

Véc tơ mô men chính của hệ lực đối với tâm O là véc tơ tổng của các véc
tơ mô men các lực trong hệ lấy đối với tâm O (hình 2.2). Nếu ký hiệu mô men
chính là
M
r
o
ta có
M
r
o
=

=
n
1i
m
r
o
(
F
r
i
) (2 -2)
30

m
r
A
3


m
r
20

10

m
r
O
m
2
1
z
r
Hình 2.2
Hình chiếu của véc tơ mô men chính
M
r
o
trên các trục toạ độ oxyz đợc
xác định qua mô men các lực trong hệ lấy đối với các trục đó:

i
);
M
y
= m
y
(
1
F
r
) + m
y
( ) +...+ m
2
F
r
y
(
n
F
r
) =

=
n
1i
m
y
(
F

r
i
).
Giá trị và phơng chiều véc tơ mô men chính đợc xác định theo các biểu
thức sau:
M
o
=
z
2
y
2
x
2
MMM
++

cos(M
o
,x) =
o
x
M
M
; cos(M
o
,y) =
o
y
M

F
r
d
A
B
''
Hình 2.3
-18-
có mô men bằng mô men của lực đã cho lấy đối với điểm cần rời đến.
Chứng minh: Xét vật rắn chịu tác dụng lực
F
r
đặt tại A. Tại điểm B trên vật
đặt thêm một cặp lực cân bằng (
F
r
',
F
r
'') trong đó
F
r
' =
F
r
còn
F
'' = -
r
F

m
r
=
m
r
B
(F) (theo định nghĩa mô men của ngẫu lực).
Ta đã chứng minh đợc
F
r

F
r
' + ngẫu lực (
F
r
,
F
r
'')
2.2.2 Thu gọn hệ lực bất kỳ về một tâm
a.
Định lý 2.2: Hệ lực bất kỳ luôn luôn tơng đơng với một lực bằng véc
tơ chính đặt tại điểm O chọn tuỳ ý và một ngẫu lực có mô men bằng mô men
chính của hệ lực đối với tâm O đó.
Chứng minh: Cho hệ lực bất kỳ (
1
F
r
,

r
o
( ) ,
1
F
r
m
r
2
=
m
r
o
(
2
F
r
), ...
m
r
n
=
o
(
n
F
r
) (hình 2.4).
m
r

A
1

O
m
r
20

m
r
30

M = M
o
F
r
1
R
r
F
r
2
F
r
3

3

2


1
,
F
r
3
)
R
r
2
trong đó
R
r
R
r
F
r
2
=
1
+
3
=
+ +
F
1
F
r
2
F
r

r
=

=
n
1i
F
r
i
Hợp lực
R
của các lực đặt tại O là véc tơ chính
r
R
r
0
của hệ lực.
Các ngẫu lực phụ cũng có thể thay thế bằng một ngẫu lực tổng hợp theo
cách lần lợt hợp từng đôi ngẫu lực nh đã trình bày ở chơng 1. Ngẫu lực tổng
hợp của hệ ngẫu lực phụ có mô men
M
r
o
=

=
n
1i
m
r

r
M
r
01

O
1

O
R
r
R
r
0

01

Trên vật ta lấy một tâm O
1
khác O
sau đó rời lực
R
r
o
về O
1
ta đợc
R
r
o

(
R
r r r
o
, '
R
o1
) +
M
o

Hình 2.4a
Nếu thu gọn hệ về O
1
ta đợc
M
r
o1
và
R
r
o1
.
Điều tất nhiên phải có là :
(
R
r
o
,
M

'
o1
) + M
o
(
R
r
o
+M
o1
)
hay
M
r
01

M
r
o
+ (
R
r
o
,
R
r
'
01
) (2.3)
Ngẫu lực (

r
= 0;
M
r
o
0
Hệ lực tơng đơng với một ngẫu lực có mô men bằng mô men chính.
2.2.3.3. Véc tơ chính khác không còn mô men chính bằng không

0;
R
r
M
r
o
= 0
Hệ có một hợp lực bằng véc tơ chính.
2.2.3.4. Véc tơ chính và mô men chính đều khác không nhng vuông góc với
nhau (hình 2.5)
R
r
0;
M
r
o
0 và
MR
r
r
o

R
r
') P
R
r

O'
O
P'
n
o
R
r
d
O
R
r
R
r
o

M
r
o

o


r
o
và '' cân bằng do đó có thể bớt đi và cuối cùng hệ còn
lại một lực bằng véc tơ chính nhng đặt tại O
R
r
1
. Nói khác đi hệ có một hợp lực đặt
tại O
1
.
2.2.3.5. Hai véc tơ chính và mô men chính khác không nhng song song với
nhau (hình 2.6).
R
r
o
0;
M
r
o
0 và
R
r
o
//
M
r
o
Trong trờng hợp này nếu thay
M

bằng một ngẫu lực (
P
r
P
r
')
trong đó cólực
P
r
đặt tại O còn lực
' đặt tại O
P
r
1
sao cho m
o
(P) =
M
r
o
.
Rõ ràng mặt phẳng tác dụng của
ngẫu lực (
P
') không vuông góc với
r
P
r
R
r

0

Hình 2.7
-22-
vậy đã đa hệ về tơng đơng với hai lực
P
r
',
R
r
' hai lực này chéo nhau.
2.2.4. Định lý Va ri nhông
Định lý: Khi hệ lực có hợp lực
R
r
thì mô men của
R
r
đối với một tâm hay
một trục nào đó bằng tổng mô men của các lực trong hệ lấy đối với tâm hay trục
đó.
m
r
o
( ) =
R
r

=
n

n

O
R
r
'
R
r

F
r
2

F
r
1

x
y
z
Chứng minh: Cho hệ lực (
1
F
r
,
2
F
r
,...,
n

F
r
n
F
r
, + ') 0
R
r
Khi thu gọn hệ lực này về một tâm O bất kỳ ta đợc một véc tơ chính và
một mô men chính. Các véc tơ này bằng không vì hệ cân bằng, ta có:
M
r
o
=

=
n
1i
m
r
o
(
F
r
i
) +
m
r
o
(

R
r

=
n
1i
m
r
o
(
F
r
i
)
Chiếu phơng trình trên lên trục oz sẽ đợc: