GIẢI TÍCH TỔ HỢP

Bài 1: HAI QUY TẮC ĐẾM

1. Quy tắc cộng
Xét bài toán sau: “Có 7 trường ĐHSP và 3 trường KHTN tổ chức thi khối B. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn các trường thi khối B”
Giải: Để chọn trường thi khối B thi ta chỉ chọn trường ĐHSP hoặc trường KHTN.
Nếu chọn trường ĐHSP ta có 7 cách chọn, nếu chọn trường KHTN thì có 3 cách chọn
và hi chọn trường này thì không chọn trường khác . Do vậy có 7+3=10 cách chọn
trường thi khối B.

Ví dụ trên là một minh họa cho quy tắc cộng, trong trường hợp tổng quát ta có định
nghĩa sau:

“ Xét một hành động A. Giả sử A có n phương án A
1
,A
2
,…, A
n
thực hiện hành động
A Nếu có m
1
cách chọn đối tượngthực hiện phương án A
1
, có m
2
cách chọn đối
tượngthực hiện phương án m
2

Giải: Gọi số cần tìm có dạng
abc
khi đó ta có
a: Có 3 cách chọn 1 trong 3 số 1,2,3. Khi đã chọn a thì có 2 cách chọn b từ 1 trong 2
số còn lại và sau cùng chỉ còn 1 cách chọn c. Vậy có 1.2.3=6 số thỏa mãn bài toán.

Bài toán trên là một ví dụ về quy tắc nhân. Ta có định nghĩa về quy tắc nhận như sau
“Nếu có m
1
cách chọn đối tượng x
1
, sau khi chọn x
1
có m
2
cách chọn đối tượng m
2
,…
sau khi chọn x
n-1
có m
n
cách chọn đối tượng x
n
. Thì có m
1
.m
2
…m
n

D.

Bài 2: HOÁN VỊ

1. Giai thừa
a) Định nghĩa: Với mọi số tự nhiên n ≠ 0, tích 1.2.3...n được gọi là n- giai thừa và
kí hiệu n!. Vậy n!=1.2.3...n

Ta quy ước 0!=1
b) Tính chất:

*n! n(n 1)!
*n! n(n 1)(n 2)...(n k 1).k!

    

c) Các ví dụ
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau

15! 1 1 7!4! 9! 11!
1) 2) 3) ( )
13! n! (n 1)! 10! 4!5! 8!3!



Ví dụ 2: Giải các phương trih sau
n! (n 1)! n! (n 1)!

Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Formatted: Font: Not Italic, Spanish (Spain,
International Sort)
Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Field Code Changed
Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Ở vị trí 2: Ta có thể chọn bất kì phần tử nào của A trong n-1 phần tử còn lại suy ra có
n-1 cách chọn….. ở vị trí thứ n có một cách chọn nên theo quy tắc nhân có cả thảy
n(n-1)(n-2)…2.1=n! cách sắp xếp.

Ví dụ 1: Tính số hoán vị của các tập sau
a) A gồm 5 phần tử khác nhau
b) B gôm các chữ cái X,Y,Z,T

Ví dụ 2: Từ các số 1,2,3,4,5 ta có thể lập được bao nhiêu số gồm:
a) Gồm 5 chữ số khác nhau
b) Gồm 5 chữ số khác nhau bắt đầu bằng chữ số 1
c) Gồm 5 chữ số khác nhau không bắt đầu bằng chữ số 1.

Giải: Giả sử các số cần tìm có dạng
1 2 3 4 5
a a a a a

a) Số các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1,2,3,4,5 chính là số các hoán
vị của tập {1,2,3,4,5} suy ra có P
5
=5!=120 số thỏa mãn yêu cầu bài toán
b) Vì a
1
=1 nên a

+10
4
+10
3
+10
2
+10+1)=24.11111
Vậy tổng các số có 5 chữ số là 24.11111(1+2+3+4+5)=5599944.

Nhận xét: Qua ba ví dụ trên ta thấy các dấu hiệu đặc trưng để giúp ta nhận dạng một
hoán vị cảu n phần tử là:
*Tất cả n phần tử đều phải có mặt
* Mỗi phần tủ xuất hiện một lần
* Có thứ tự giữa các phần tử

Formatted: Spanish (Spain, International Sort)
Formatted: Font: Not Italic, Spanish (Spain,
International Sort)
Formatted: Font: Not Italic, French (France)
Ví dụ 4: Có 30 học sinh của trường X tham gia mít tinh, trong đó có 4 học sinh cùng
một lớp 26 học sinh còn lại được chọn từ 13 lớp khác nhau mỗi lớp 2 học sinh. Hỏi
có bao nhiêu cách xếp 30 học sinh thành một hàng sao cho các học sinh cùng một lớp
thì đứng kề nhau.

Giải: Những học sinh cùng một lớp ta xếp cùng một nhóm, ta có 14 nhóm khác nhau
và ta có P
14
cách sắp xếp các nhóm này thành một hàng.
Trong mỗi nhóm 2 người thi ta có 2 cách xếp thành 1 nhóm và nhóm 4 người thì có
4!=24 cách xếp, như vậy với mỗi cách xếp 14 nhóm trên thì ta có 24.2

d) Có bao nhiêu số chia hết cho 5?
e) Có bao nhiêu số lẻ?
2) Có n cuốn sách và n cuốn vở . Hỏi có bao nhiêu cách xếp 2n vật trên vào 2n ô sao
cho những cuốn sách được xếp vào ô có vị trí chẵn?
3) Trên một con tàu có 4 toa trống và có 40 nam, 40 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp
80 người này lên tau biết rằng trong mỗi toa chỉ có nam hoặc nữ và số người mỗi toa
là bằng nhau.
4) Cho 10 học sinh nam và 13 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách xếp 23 người này
thành một hàng dọc sao cho đầu hàng là học sinh nam, cuối hàng là học sinh nữ?
5) Một thư viện có 70 cuốn sách tham khảo gồm 20 cuốn Toán, 13 cuốn Lý, 17 cuốn
Hóa và 20 cuốn Tin. Hỏi cô thư viện có bao nhiêu cách xếp 70 cuốn sách này lên giá
sách sao cho những cuốn sách cùng bộ môn phải xếp canh nhau.
6) Tìm tất cả các số thực k sao cho trong tất cả k! số có đúng k chữ số được lập từ
1,2,...,k luôn có hai số sao cho hiệu của hai số đó chia hết cho k?
7) Có bao nhiêu cách xếp 7 nam, 3 nữ xung quanh một bàn tròn sao cho không có
hai nữ ngồi cạnh nhau?
8) Tìm tất cả các giá trị của n sao cho P
n
<500. Bài 3: CHỈNH HỢP

1. Định nghĩa: Cho tập A gồm n phần tử . Một chỉnh hợp chập k (
1 kn
) của n
phần tử là một cách sắp xếp k phần tử được lấy ra từ n phần tử của A theo một thứ tự
nhất định và được kí hiệu:
k
n

nn
n!
A n! P
(n n)!
  

vậy số chỉnh hợp chập n của n phần tử chính là số
hoán vị của n phần tử đó.

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số khác nhau gồm 5 chữ số khác nhau được lập bởi từ các chữ
số 1,2,..,9.
Ví dụ 2: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau?
Ví dụ 3: Trong cuộc thi đấu cầu mây có 20 vận động viên tham gia. Kết thúc cuộc
đấu người ta trao 1 giải nhất, 1 giải nhì và 2 giải 3. Hỏi có bao nhiêu khả năng xảy ra,
biết khả năng đạt giải của các vận động viên là như nhau?

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng cho n điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu véc tơ khác véc tơ
0

mà điểm đầu và điểm cuối là 2 trong n điểm nói trên?.

Ví dụ 5: Tìm n sao cho

2 1 6 5 4
n n n n n 1 n 4 n 2
1) A A 8 2)A 10A 3)P .A 15P
  
   

1.Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử, mỗi tập hợp con của A gồm k phần tử
(
0 kn
) gọi là tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu
k
n
C
.
2. Số tổ hợp:
Định lí :
k
n
n!
C
k!(n k)!

