<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM -TÍCH PHÂN -ỨNG DỤNG</b>
<b>BÀI 2: TÍCH PHÂN</b>

<b>A – LÝ THUYẾT</b>

<b>B – PHƯƠNG PHÁP GIẢI</b>

<b>I. Sử dụng định nghĩa, tính chất của tích phân + bảng nguyên hàm các hàm số</b>
<b>1. Dạng 1: Các câu hỏi liên quan đến lý thuyết</b>

<b>2. Dạng 2: Tìm tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản, mở rộng và định </b>
<b>nghĩa, tính chất của tích phân</b>

<b>3. Dạng 3: Tính tích phân hàm có chứa dấu giá trị tuyệt đối</b>
<b>II. Phương pháp đổi biến số</b>

<b>1. Dạng 1: Phương pháp đổi biến số dạng 1: Đặt </b><i>u</i>=<i>u x</i>( )

<b>2. Dạng 2: Phương pháp đổi biến số dạng 2: Đặt </b><i>x</i>=<i>u t</i>( )<b> (Đổi biến qua lượng giác)</b>
<b>3. Dạng 3: Đổi biến dựa vào cận</b>

<b>III. Phương pháp tính tích phân từng phần</b>
<b>Phương pháp: ….</b>

<i><b>1. Dạng 1:</b></i>

<i><b>2. Dạng 2:</b></i>

<i><b>3. Dạng 3:</b></i>

<i><b>4. Dạng 4: Kết hợp đổi biến và tích phân từng phần</b></i>

<i>b</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>k f x dx k f x dx</i>

 

.

<b>Tính chất 2: </b>

 ( ) ( ) ( ) ( )

<i>b</i> <i>b</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>f x</i> <i>g x dx</i> <i>f x dx</i> <i>g x dx</i>

  

.

<b>Tính chất 3: </b>

( ) ( ) ( ) , ( )

<i>b</i> <i>c</i> <i>b</i>

<i>f x dx</i> <i>f x dx</i>

 

.

<i> +) Tích phân chỉ phụ tḥc vào hàm f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến: </i>

( ) ( )

<i>b</i> <i>b</i>

<i>a</i> <i>a</i>

<i>f x dx</i> <i>f t dt</i>

 

.

<b>Ví dụ 1: Cho hàm số </b> <i>f x</i>( ) liên tục trên khoảng 2;3. Gọi <i>F x</i>( ) là một nguyên hàm của <i>f x</i>( ) trên

khoảng 2;3. Tính  

2

1

( ) 2 d



_          

<b>Ví dụ 2: Cho </b>

3

1

( ) 5

<i>f x dx</i>

,

 

3

1

( ) 2 ( ) 9

<i>f x</i> <i>g x dx</i>

. Tính

3

10

0

( )d 7
<i>f x x </i>



và

6

2

( )d 3

<i>f x x </i>



. Tính

2 10

0 6

( ) x ( )d
<i>P</i>_<i>f x d</i> _<i>f x x</i>

0

2
sin .sin 2 d

7

<i>a</i>

<i>x</i> <i>x x </i>



.

<b>A. </b>9<b>.</b> <b>B. </b>10<b>.</b> <b>C. </b>19<b>.</b> <b>D. </b>20<b>.</b>

<b> Lời giải</b>
<b>Chọn </b>B.

Ta có:

 

7 7

5 6 6

0 0 0 0

; 20 0 2 20 0;1;2;3;...;9

2 4 4

<i>a</i> <i>o</i>    <i>k</i>      <i>k</i>  <i>k</i>

.
<i>Vậy có 10 giá trị của k .</i>

<b>Ví dụ 2: Tìm tất cả các số hữu tỉ m dương thỏa mãn </b>

2

0

1

d ln 2

1 2

<i>m</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i>  



<i>dx</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>m</i>

<i>x</i> <i>x</i>

   

 _   _ _    _      

     

 

2 ₁

1

2 2

1 2


 



 



 _{ }

<b>A. </b><i>I</i> <b>_.</b> <b>_B.</b><i>I</i> <b>_.</b> <b>_C.</b>

145
12

<i>I </i>

<b>.</b> <b>D. </b><i>I </i>0<b>. </b>

<b>Lời giải</b>
<b>Chọn </b>D.

Đặt

d d

sin cos

 

 



 

 

 

 _{ thỏa mãn}

0

sin 2

?
3
1 3 cos

<i>a</i>

<i>xdx</i>
<i>x</i> 





<b>A. </b>2. <b>B. </b>1<b>.</b> <b>C. </b>4. <b>D. </b>3_.

<b>Lời giải</b>
<b>Chọn </b>A.

Đặt

2 2

1 3 cos 1 3 cos 2 3 sin sin .

2
3

0;1 ; .

2 2

<i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i>
<i>a</i>

<i>a</i> <i>k</i>

<i>xdx</i> <i>tdt</i>

<i>dtt</i> <i>a</i>
<i>t</i>

<i>x</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>k</i>

<i>k</i> <i>a</i>







<b>c) Dạng 3: Tích phân có chứa tham số dưới dấu tích phân</b>

<b>Ví dụ 1: Biết </b>

2 2 2

  

<i>xe dx axex</i> <i>x</i> <i>be</i> <i>x</i> <i>C</i>_{, với}<i>a b</i>,  _{. Tính tích}<i>_{a b}</i>_. _.

<b>A. </b>

1
.

4

<i>a b </i>

. <b>B. </b>

1
.

4

<i>a b </i>

. <b>C. </b>

1

2 2 2 4

2

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

<i>du dx</i>
<i>u x</i>

<i>I</i> <i>x e</i> <i>e dx</i> <i>x e</i> <i>e dx C</i>

<i>dv e dx</i> <i>v</i> <i>e</i>





 

      

 

 

1

2
0

2

ln 12 ln 7

4 7

<i>x</i>

<i>dx</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>x</i> <i>x</i>



 

 



, với ,<i>a b là các số nguyên. Tổng a b</i> _{là :}

<b>A. </b>1. <b>B. </b>1<b>.</b> <b>C. </b>0_. <b>_D.</b>

4 7 4 7

ln 12 ln 7 ln 12 ln 7

<i>d x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>dx</i> <i>dx</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>a</i> <i>b</i>

 


     

   

   

 

Do 



    

là:

<b>A. </b><i>x </i>0<b>.</b> <b>B. </b><i>x </i>1<b>.</b> <b>C. </b><i>x </i>2<b>.</b> <b>D. </b><i>x </i>3<b>. </b>

<b>Lời giải</b>
<b>Chọn </b>A.

Ta có:

2

2 3 2 2 4 2 2

1
1

(4 4 ) 4 d ( (2 2 ) 6 21

<i>m</i> <i>m x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>m x</i> <i>m x</i> <i>x</i> <i>m</i> <i>m</i>

           

 



và

4





được kết quả <i>I a</i> ln 3<i>b</i>ln 5_với<i>a,b</i>_{là các số hữu tỉ. Giá trị}
của <i>a</i>2<i>ab</i>3<i>b</i>2_là

<b>A. </b>4. <b>B. </b>1.<b>_.</b> <b>_C.</b>0. <b>_D.</b>5.

<b>Lời giải</b>
<b>Chọn </b>D.

Đặt

2

2

2
d
3

3 1 3 1

1
2
<i>dx</i> <i>t t</i>

<i>t</i> <i>x</i> <i>t</i> <i>x</i>

   

4

4 4

2

2 2 2

2

d _d ₁ ₉

3 ₂ _ln _ln _{2ln 3 ln 5} _{ln 3} _{ln 5}

1 1 . 1 1 5

.
3

<i>t t</i> <i>_t</i> <i>_t</i>

<i>I</i> <i>a</i> <i>b</i>

<i>t</i> <i>t</i> <i>t</i> <i>t</i>

<i>t</i>

  _  _



<b>d) Dạng 4: Một số dạng khác</b>

<b>Ví dụ 1: Cho hàm số </b> <i>f x</i>( ) liên tục trên đoạn [ ]0;1 và thỏa mãn

( )

1
3

0

d 1
<i>f x x</i>=

ò

,

( )

1
2

1
6

1 1

2

2

1 1 1

6 3 3

1

2 13 13 26

2
<i>t</i> <i>x</i>

<i>f</i> <i>x dx</i>₌ _ắắắ= _đ <i>f t dt</i>₌ _ắắ_đ <i>f t dt</i>₌

ị ị ị

hay

( )

1

1
3

1 1

<i>x</i> <i>t</i>

<i>x</i> <i>t</i>

ì = ® =
ïï

íï = ® =

ïỵ _.

Khi đó

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1

1 1 3 1

1

0 0 0

3

1 1 1 1

1 26 9.



Tính

4

2

d
2
<i>x</i>
<i>f</i> _ _ <i>x</i>

 



.

<b>A. </b>6<b>_.</b> <b>_B.</b>

3
2


<b>.</b> <b>C. </b>1<b>_.</b> <b>_D.</b>5<b>_.</b>

<b> Lời giải</b>

<b>Chọn </b>A.

<i>f x x</i>  <i>x</i> <i>x</i> 

 

.

Suy ra

4 4

2 2

d 3d 6

2
<i>x</i>

<i>f</i> _ _ <i>x</i>  <i>x</i>
 

 

.

<b>Ví dụ 3: Cho hàm số </b> <i>f x</i>  thỏa mãn

   

1

<i>u</i> <i>x</i>
<i>u x</i>

<i>v</i> <i>f x x</i> <i>v</i> <i>f x x</i>



 

 

 

 

  _.

Suy ra

         

1 1

1

0

0 0

10

2 3 3

<i>a</i>

<i>a</i> <i>f x</i> <i>x b</i>

      

.

Suy ra      

20 34 20 34

2 2 1 0 2

3 3 3 3

<i>f</i> <i>f</i>  <i>b</i> <i>b</i> <i>b</i> <i>f x</i> <i>x</i>

   _  _     

  _.

Suy ra:

1

. Tính tích phân hàm:

   

2

0

d
<i>I</i> _<i>G x f x x</i>

.

<b>A. </b><i>I </i>3<b>.</b> <b>B. </b><i>I </i>0<b>.</b> <b>C. </b><i>I </i>2<b>_.</b> <b>_D.</b><i>I </i>4<b>_.</b>

<b>Lời giải</b>

<b>Chọn </b>C.

Đặt

d ( ) d ( )d
( )

( )d ( )
( )d

<i>u G x x g x x</i>
<i>u G x</i>

( ). ( ) ( ) ( )d (2) (2) (0) (0) 3 1 0 3 2
<i>I G x F x</i>  _<i>F x g x x G</i> <i>F</i>  <i>G</i> <i>F</i>      

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<b>THÔNG HIỂU.</b>

<b>Câu 1.</b> Nếu  

2

1

d 2
<i>f x x </i>



thì  

2

1

3 2 d

<i>I</i> __ <i>f x</i>  _ <i>x</i>

bằng bao nhiêu?

<b>A. </b><i>I  .</i>2 <b>B. </b><i>I </i>3. <b>C. </b><i>I  .</i>4 <b>D. </b><i>I  .</i>1

<i>F x</i> =- + <i>x</i>

.

<b>C. </b> ( )

3 cot .

<i>F x</i> =- + <i>x</i> <b>_D.</b><i>F x</i>( )= 3 cot .- <i>x</i>

<b>Câu 3.</b> Tìm các số a, b để hàm số f x  a sin x b  thỏa mãn: f 1   và 2

 

1

0

4

<i>f x dx </i>



<b>A. </b>

a, b 2 _. <b>_B.</b>a , b 2 _. <b>_C.</b>a ₂, b 2



 



với <i>a b</i>, là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
<b>A. </b><i>a b</i> 2_. <b>_B.</b><i>a</i> 2<i>b</i>0_. <b>_C.</b><i>a b</i> 2_. <b>_D.</b><i>a</i>2<i>b</i>0_.

<b>Câu 5.</b> Kết quả của tích phân

0

1

2

1 d

1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

-ổ ử_ữ

ỗ + + _ữ

<b>VẬN DỤNG.</b>

<b>Câu 6.</b> Biết rằng  

2

1

ln <i>x</i>1 d<i>x a</i> ln 3<i>b</i>ln 2<i>c</i>



với <i>a b c</i>, , là các số nguyên. Tính <i>S</i>   <i>a b c</i>_.

<b>A. </b><i>S </i>1. <b>B. </b><i>S </i>0. <b>C. </b><i>S </i>2. <b>D. </b><i>S </i>2.

<b>Câu 7.</b> Ta có tích phân  

2

1

4 1 ln d . .

<i>e</i>

<i>I</i>  _<i>x</i>  <i>x x a e</i> <i>b</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

<b>Câu 8.</b> Cho tích phân  

<i>I</i> <i>t</i>

<i>t</i> <i>n</i>






(với <i>m n  </i>, ).
Tính <i>T</i> 3<i>m n</i> .

<b>A. </b><i>T </i>7. <b>B. </b><i>T </i>2. <b>C. </b><i>T </i>4. <b>D. </b><i>T </i>5.

<b>Câu 9.</b> Cho hàm số <i>y</i>=<i>f x</i>( ) có đạo hàm <i>f x</i>'( ) liên tục trên đoạn [ ]0;1 thỏa mãn <i>f</i>( )1=1 và

( )

1

0

d 2

<i>f x x =</i>

ị

. Tính tích phân ( )

0

d 3.

<i>f x x</i>=

ị

Tính ( )
1

1

2 d .

<i>I</i> <i>f</i> <i>x</i> <i>x</i>

-=_ò

<b>A. </b><i>I</i>=0. <b>B. </b>

3
.
2

. <b>B. </b><i>2a</i>. <b>C. </b>3

<i>a</i>

. <b>D. </b><i>a</i>ln(<i>a+</i>1).

<b>Câu 13.</b> Nếu

( )

2 d 6 2

<i>x</i>

<i>a</i>
<i>f t</i>

<i>t</i> <i>x</i>

<i>t</i> + =

ò

với <i>x</i>>0 thì hệ số a bằng:

<b>A. </b>5. <b>B. </b>9. <b>C. </b>19. <b>D. </b>29.

<b>Câu 14.</b> Biết rằng  

2
4

ln 2 ( , )
sin

<i>x</i>

<i>dx m</i> <i>n</i> <i>m n</i>

<i>x</i>







  

 

, hãy tính giá trị của biểu thức <i>P</i>2<i>m n</i>

<b>A. </b><i>P  .</i>1 <b>B. </b><i>P </i>0,75. <b>C. </b><i>P </i>0, 25. <b>D. </b><i>P </i>0.

<b>Câu 17.</b> Cho hàm số <i>y</i><i>f x</i>  liên tục trên  thỏa mãn

 

Tích phân

 

3

0

<i>I</i> _<i>f x dx</i>
bằng

<b>A. </b><i>I  .</i>2 <b>B. </b><i>I </i>6. <b>C. </b><i>I  .</i>4 <b>D. </b><i>I </i>10.

<b>Câu 18.</b> Giả sử

2

2
0

1

d ln 5 ln 3; ,

4 3

<i>x</i>

<i>x a</i> <i>b</i> <i>a b</i>

<i>e</i>  <i>x</i> <i>e</i> <i>e c a b c</i>

   

 

Tính 2 3.
<i>b c</i>
<i>T</i>  <i>a</i> 

<b>A. </b><i>T </i>6. <b>B. </b><i>T </i>9. <b>C. </b><i>T </i>10. <b>D. </b><i>T </i>5.

<b>Câu 20.</b> Cho hàm số <i>y</i>= <i>f x</i>( ) xác định trên ¡ _{, thỏa mãn} <i>f x</i>( )>0, " Ỵ ¡<i>x</i> _và <i>f x</i>'( )+2<i>f x</i>( )=0_.

Tính <i>f</i>( )- 1 , biết rằng <i>f</i>( )1 =1.

<b>A. </b><i>e</i>-2. <b>B. </b><i>e</i>3. <b>C. </b><i>e</i>4. <b>D. </b>3.

<b>Câu 21.</b> Biết rằng  

2<i>x</i>_cos3 2<i>x</i> _cos3 _{sin 3}
<i>e</i> <i>xdx e</i> <i>a</i> <i>x b</i> <i>x</i> <i>c</i>

 _{, trong đó a, b, c là các hằng số, khi đó tổng}

a + b có giá trị là

<b>A. </b>

<i>x</i>

+ - =

+ _{. Tính} ( )
2

2

d .

<i>I</i> <i>f x x</i>

-=_ị

<b>A. </b><i>I</i> 10.
<i>p</i>
=

. <b>B. </b><i>I</i> 10.

<i>p</i>

=-. <b>C. </b><i>I</i> 20.
<i>p</i>
=

---