đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn toán
Thời gian làm bài 150 phút
-----------------------------------------------
Đề 2
Câu 1:
Cho x + 2y = 1 Tìm giá trị lớn nhất của tích x.y
Câu 2:
Phân tích ra thừa số
a. a
8
+ a
4
+ 1
b. a
10
+ a
5
+ 1
Câu 3:
Chứng minh rằng:

2
322
32
322
32
=
+

+

b. Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm.
Câu 6:
Cho hình vuông ABCD. Lấy một điểm trên đờng chéo BD chiếu lên AB và AD tại
E và F.
1. Chứng tỏ: CF = DE và CF

DE
Tìm quỷ tích giao điểm N của CF và DE
2. Chứng tỏ: CM = EF và CM

EF
3. Chứng minh rằng các đờng thẳng CM, BF và DE đồng quy tại một điểm.
Hớng dẫn chấm học sinh giỏi toán 9
®Ò II
C©u 1: (1 ®iÓm)
Ta cã : x + 2y = 1 <=> x =1 – 2y
Do ®ã P = x.y = (1 - 2y)y = y – 2y
2
= -(2y
2
– y)

8
1
22
1
2
8
1
22





−−
yy

Do ®ã tÝch sè P=x.y ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng
8
1
t¹i trÞ sè
1 1
;
4 2
y x= =

C©u 2: (2 ®iÓm)
a. Ta cã a
8
+ a
4
+ 1 = (a
4
+ 1)
2
- a
4

= (a
4

10
+ a
5
+ 1 = a
10
+ a
9
+ a
8
+ a
7
+ a
6
+ a
5
+ a
5
+ a
4
+ a
3
+ a
2
+ a + 1
- a
9
- a
8
- a
7

3
)

+ (a
2
+ a + 1)
- (a
9
+ a
8
+ a
7
)

- (a
6
+ a
5
+ a
4
)

- (a
3
+ a
2
+ a)
= a
8
(a

5
– a
4
+ a
3
– a + 1)
VËy a
10
+ a
5
+ 1 = (a
2
+ a + 1)(a
8
– a
7
+ a
5
– a
4
+ a
3
– a + 1)
C©u 3: ( 1®iÓm)
BiÕn ®æi:
( )
2
13
2
324

2 2
3 1 3 1
2 2 3 2 2 3
2 2
2 2
3 1 3 1 3 1 3 1
2 2 6 2 2 2 6 2 3 2 6 3 2 6
3 1 3 1
3 1 3 1 2 3
2
6 6
6 3 1 6 3 1
+ −
+ −
+ = +
+ −
+ + − −
+ −
+ − + −
= + = +
+ + − + + −
+ −
+ + −
= + = = =
+ −
VËy
2
322
32
322

2
2
2 2
2 2
2
2
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1
1 1 2 1
1 1
1 1
1 1
1 1
2 2 1 1 1
2
1 1 1 1
1
x x
P
x x
x x
x x x x
x x x x x x
x x x
x x

x
x 11
2
−−
nÕu 0 < x < 1
=

x
x 11
2
−−
−
nÕu -1 < x < 0
=>
Q
P
A
=

* NÕu -1 < x < 0 ta cã
1
11
11
2
2
−=
+−
−
−+
=

xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
A
−−−
=
−
−−−
=
−−
+−
=
−−
+−
=
−−
−+
=
VËy -1 nÕu -1 < x < 0
A=

2

<=>
2
33
=
−=
x
xy
<=>
3
2
−=
=
y
x
VËy khi a = 3 hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (2;-3)
b. XÐt hÖ
14
3
−=+
=+
ayx
yax
(I), ta cã (I) <=>
1)3(4
3
−=−+
−=
axax
axy
<=>



13
4
2

=
a
a
3
1
2

=
a
a



2
=
a
Vậy : Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất là
2

a
Điều kiện để hệ vô nghiệm là

hay
DECF

Qủy tích của N: ta có
VCND 1
=
(câu a)
=> N chạy trên đờng tròn đờng kính CD.
Giới hạn : N ở miền trong của hình vuông ABCD .
- Khi M ở B thì F ở A, E ở B suy ra CF trùng với CA và DE trùng với DB do đó
N ở tại O (tâm của hình vuông).
- Khi M ở D thì F ở D, E ở A suy ra CF trùng với CD và DE trùng với DA do
đó N ở tại D.
Vậy N chỉ chạy trên 1/4 đờng tròn, cung DNO, có đờng kính CD.
Phần đảo: Lấy N thuộc cung phần t DO ở trên đờng tròn đờng kính CD ta có
VCND 1
=
(1)
Gọi E là giao điểm của DN và AB, F là giao điểm của CN và AD. Dựng hình
chữ nhật AEMF ta chứng minh rằng
BDM

.
Từ (1) =>
11
DC
=
(góc nhọn có cạnh đối một vuông góc)
=>
AEDFgcgDAECDF

Do đó:
EFCMcgCFMECKM
==
)(
Ta cũng có:
KCM MFE CM EF =
.
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
3. Chứng minh CM, BF, DE đồng quy
Chứng minh tơng tự câu 1 ta có
CEBF

Trong
CEF

ta có
EFCM

;
EFED