100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
MỘT TRĂM
BÀI TẬP HÌNH HỌC LỚP 9
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
1
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
Bài 1:
Cho ∆ABC có các đường cao BD và CE. Đường thẳng DE cắt đường tròn ngoại
tiếp tam giác tại hai điểm M và N.
1. Chứng minh:BEDC nội tiếp.
2. Chứng minh:
·
·
DEA ACB=
.
3. Chứng minh: DE song song với tiếp tuyến tai A của đường tròn ngoại tiếp tam
giác.
4. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh: OA là phân
giác của góc
·
MAN
.
5. Chứng tỏ: AM
2
=AE. AB.

Gợi ý:
1.C/m BEDC nội tiếp:
C/m:
·
·

Mà
·
»
1
s® ACB s® AB
2
=
. ⇒
·
·
xAB ACB=
mà
·
·
ACB AED=
(cmt)
⇒
·
·
xAB AED=
hay xy // DE.
4. C/m OA là phân giác của
·
MAN
.
Do xy//DE hay xy//MN mà OA⊥xy⇒OA⊥MN. ⊥OA là đường trung trực của
MN. (Đường kính vuông góc với một dây) ⇒ ∆AMN cân ở A ⇒ AO là phân giác
của
·
MAN

»
AM AN=
. ⇒
·
·
MBA AMN=
(Góc nội tiếp
chắn hai cung bằng nhau);
·
MAB
chung
⇒ ∆MAE
:
∆ BAM ⇒
MA
AE
AB
MA
=
⇒ MA
2
= AE. AB.
Bài 2:
Cho(O) đường kính AC. trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn tâm O’,
đường kính BC. Gọi M là trung điểm của đoạn AB. Từ M vẽ dây cung DE vuông góc
với AB;DC cắt đường tròn tâm O’ tại I.
1. Tứ giác ADBE là hình gì?
2. C/m DMBI nội tiếp.
3. C/m B;I;E thẳng hàng và MI=MD.
4. C/m MC. DB=MI. DC

GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
3
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
* Chứng minh: MI = MD: Do M là trung điểm DE; ∆EID vuông ở I ⇒ MI là đường
trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông DEI ⇒ MI=MD.
4. C/m MC. DB=MI. DC.
Hãy chứng minh ∆MCI
:
∆DCB (
µ
C
chung;
·
·
BDI IMB=
cùng chắn cung MI do
DMBI nội tiếp)
5. C/m MI là tiếp tuyến của (O’)
-Ta có ∆ O’IC cân ở O' ⇒
·
·
O’IC O’CI=
.
∆ BDI cân ở M ⇒
·
·
MID MDI=
.
Từ đó suy ra:
·

ABM
=
·
AEM
(cùng chắn cung AM)

·
ABM
=
·
ACD
(cùng chắn cung MD)

·
ACD
=
·
DEM
(cùng chắn cung MD)
⇒
·
AEM
=
·
DEM

⇒
đpcm.

GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc

·
ADB
=
·
ACS
(cùng bù với
·
MDS
)
Vậy
·
ACB
=
·
ACS
⇒ đpcm.

Bài 4:
Cho ∆ABC có
µ
A
= 1v. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho AM > MC. Dựng
đường tròn tâm O đường kính MC; đường tròn này cắt BC tại E. Đường thẳng BM
cắt (O) tại D và đường thẳng AD cắt (O) tại S.
1. C/m ADCB nội tiếp.
2. C/m ME là phân giác của góc AED.
3. C/m:
·
ASM
=

Nên tứ giác AMEB nội tiếp nên
·
·
AEM ABM=
(1) (cùng chắn cung AM)
Do tứ giác ABCD nội tiếp nên
·
·
ACD ABM=
(2) (cùng chắn cung AD)
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
5
H×nh 5
I
N
P
M
F
E
A'
D
O
A
B
C
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
Do tứ giác MECD nội tiếp nên
·
·
ACD MED=

góc kẻ từ B và C xuống đường kính AA’.
1. C/m AEDB nội tiếp.
2. C/m DB. A’A=AD. A’C
3. C/m:DE ⊥ AC.
4. Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh MD = ME = MF.

Gợi ý:

1. C/m AEDB nội tiếp.
(Sử dụng hai điểm D;E cùng nhìn đoạn AB…)

2. C/m: DB. A’A = AD.A’C .
Chứng minh được
∆
DBA
:

∆
A’CA .

GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
6
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
3. C/m: DE ⊥ AC.
Ta cần chứng minh DE // CA'
Do ABDE nội tiếp nên góc
·
EDC
=
·

2 . C/m BM. EF=BA. EM
3. C/M ∆AMP
:
∆FMQ.
4 . C/m
·
PQM = 90
o
.
Gợi ý
1. C/m MFEC nội tiếp:
(Sử dụng hai điểm E;F cung nhìn đoạn thẳng CM…)
2. C/m BM.EF = BA.EM
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
7
H×nh 6
Q
P
E
F
O
B
A
C
M
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
•C/m:∆EFM
:
∆ABM:
Ta có góc

FME FCM=
(Cùng chắn cung FE) ⇒
·
·
AMB FME=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :∆EFM
:
∆ABM (g - g) ⇒ đpcm.
3. C/m ∆AMP
:
∆FMQ.
Ta có ∆EFM
:
∆ABM (theo c/m trên) ⇒
MF
AM
FE
AB
=
mà AM=2AP;FE=2FQ (gt) ⇒
FM
AM
FQ
AP
MF
AM
FQ
AP
=⇒=

·
AFM
= 1v ⇒
·
MQP
=1v (đpcm).
Bài 7:
Cho (O) đường kính BC,điểm A nằm trên cung BC. Trên tia AC lấy điểm D sao
cho AB=AD. Dựng hình vuông ABED;AE cắt (O) tại điểm thứ hai F;Tiếp tuyến tại B
cắt đường thẳng DE tại G.
1. C/m BGDC nội tiếp. Xác định tâm I của đường tròn này.
2. C/m ∆BFC vuông cân và F là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD.
3. C/m GEFB nội tiếp.
4. Chứng tỏ:C;F;G thẳng hàng và G cùng nằm trên đường tròn ngoại tiếp
∆BCD. Có nhận xét gì về I và F
Gợi ý
1. C/m BGDC nội tiếp:
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
8
H×nh 7
G
F
E
D
O
B
C
A
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
Sử dụng tổng hai góc đối bằng 180

BE F
=
·
FED
= 45
o
; BE=ED (hai cạnh của hình vuông ABED)
⇒ ∆BFE = ∆E FD (c - g - c) ⇒ BF = FD ⇒ BF = FC = FD ⇒ đpcm.
3. C/m: GEFB nội tiếp:
Do ∆BFC vuông cân ở F ⇒
»
®BFs
= sđ
»
FC
= 90
o
⇒ sđ
·
GBF
=
2
1
sđ
»
BF
=
2
1
.90

·
BEG
= 1v ⇒
·
BFG
= 1v.
Do ∆BFG vuông cân ở ⇒
·
BFC
= 1v ⇒
·
·
BFG CFB+
= 2v ⇒ G;F;C thẳng hàng.
C/m: G cùng nằm trên đường tròn tròn ngoại tiếp ∆BCD. Do
·
·
GBC GDC=
= 1v
⇒ tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BGDC là F ⇒ G nằm trên đường tròn ngoại tiếp
∆BCD.
* Dễ dàng c/m được I ≡ F.

Bài 8:
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
9
H×nh 8
I
F
E

ECD CFD s EC= =
(Góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung cùng chắn một cung) ⇒ ∆DCE
:
∆DFC ⇒ đpcm.
3. C/m: DOIC nội tiếp:
·
·
1
2
COD COB=
(T\C hai tiếp tuyến cắt nhau)
·
·
1
2
BAC BOC=
(Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung).Nên
·
·
COD BAC=
.
·
·
BAC CID=
(So le trong vì DF//AB). Do đó
·
·
COD CID=
⇒ Hai điểm O và I cùng nhìn đoạn thẳng DC những góc bằng nhau ⇒ đpcm

O
A
B
M
A
B
N
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
Cho (O),dây cung AB. Từ điểm M bất kỳ trên cung AB(M≠A và M≠B),kẻ dây
cung MN vuông góc với AB tại H. Gọi MQ là đường cao của tam giác MAN.
1. C/m 4 điểm A;M;H;Q cùng nằm trên một đường tròn.
2. C/m:NQ. NA=NH. NM
3. C/m MN là phân giác của góc BMQ.
4. Hạ đoạn thẳng MP vuông góc với BN;xác định vị trí của M trên cung AB
để MQ. AN+MP. BN có giác trị lớn nhấ
Gợi ý
Có 2 hình vẽ,cách c/m tương tự. Sau đây chỉ C/m trên hình 9-a.
1. C/m: A,Q,H,M cùng nằm trên một đường tròn.
(Tuỳ vào hình vẽ để sử dụng một trong các phương pháp sau:
-Cùng nhìn đoạn thẳng một góc vuông.
-Tổng hai góc đối.
2. C/m: NQ. NA = NH. NM.
Chứng minh: ∆NQM
:
∆NAH.
3. C/m MN là phân giác của góc BMQ.
Có hai cách:
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
11
H×nh 10

=MP. BN.
2S
∆
MAN
+ 2S
∆
MBN
= MQ. AN+MP. BN
Ta lại có: 2S
∆
MAN
+ 2S
∆
MBN
=2(S
∆
MAN
+ S
∆
MBN
)=2S
AMBN
=2.
2
MNAB
×
=AB. MN
Vậy: MQ. AN+MP. BN=AB. MN
Mà AB không đổi nên tích AB. MN lớn nhất ⇔ MN lớn nhất ⇔ MN là đường kính
⇔ M là điểm chính giữa cung AB.

O
B
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
2. CM: N;E;F;A cùng nằm trên một đường tròn .
Chứng minh tứ giác ANEF là hình chữ nhật ⇒ đpcm
3. C/m: BC
2
= 4R.r
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có:
AH
2
= OA. AI (Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiêu)
Mà AH=
2
BC
và OA = R; AI = r ⇒
=
4
2
BC
Rr ⇒ BC
2
= 4R.r
4. S
BCIO
= ?
Ta có BCIO là hình thang vuông ⇒ S
BCIO
=
4 .

D
O
A
C
M
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
Mà OAB vuông cân t ại O nên
µ
B
= 45
0
⇒
·
EMB
= 45
0
;

·
EMB
=
·
OMI
(Đối đỉnh)
·
OMI
= 45
0
3. C/m: OK = KH
·

4. Gọi giao điểm CB với AM là N;MD với AB là I. C/m NI//CD
5. Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp ∆CIM
Gợi ý
1. C/m AM là phân giác của góc CMD
Do AB ⊥ CD ⇒ BA là phân giác của tam giác CBD
Cân tại B ⇒
·
·
»
»
CBA DBA AC AD= ⇒ =
.
Do đó
·
·
CMA DMA=
.
V ậy MA là phân giác của góc CMD
2 . C/m EFBM nội tiếp.
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
14
H×nh 13
P
I
H
D
C
B
K
O

·
NIB
=1v hay NI ⊥ AB. Mà CD ⊥ AB (gt) ⇒ NI // CD.
5. Chứng tỏ N là tâm đường tròn nội tiếp ∆ICM.
Ta phải C/m N là giao điểm 3 đường phân giác của ∆CIM.
Bài 13:
Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB;AC và cát
tuyến ADE. Gọi H là trung điểm DE.
1. C/m A;B;H;O;C cùng nằm trên 1 đường tròn.
2. C/m HA là phân giác của góc BHC.
3. Gọi I là giao điểm của BC và DE. C/m AB
2
=AI. AH.
4. BH cắt (O) ở P. C/m AE//CP.
Gợi ý

1 . C/m:A;B;O;C;H cùng nằm trên
một đường tròn:
Gọi K là trung điểm của AO.
Dẽ dàng chứng minh được
KO = KH = KB = KA = KC
⇒ A;B;O;H;C cùng nằm trên đường tròn
tâm K đường kính OA.
2. C/m: HA là phân giác của góc BHC.
Do AB;AC là 2 tiếp tuyến cắt nhau ⇒ AB = AC mà A;B;O;C;H cùng nằm trên
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
15
x
y
H×nh 14

·
·
»
1
®
2
BHA BCA s BA= =
⇒
·
·
BHA BPC=
⇒ CP//AE
Bài 14:
Cho (O) đường kính AB = 2R; xy là tiếp tuyến với (O) tại B. CD là 1 đường
kính bất kỳ. Gọi giao điểm của AC; AD với xy theo thứ tự là M;N.
1. CMR: MCDN nội tiếp.
2. Chứng tỏ: AC. AM = AD. AN
3. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCDN và H là trung điểm MN.
CMR: AOIH là hình bình hành.
4. Khi đường kính CD quay xung quanh điểm O thì I di động trên đường
nào?
Gợi ý
1 . C/m MCDN nội tiếp:
Cần chứng minh:
·
·
·
·
ho = DCA Æc = ADCDNM CMN
⇒ Tổng hai góc đối bằng 180

·
·
0
M ANM DAH + ADC = 90+ ⇒
= 90
0
⇒ AH ⊥ CD mà OI ⊥ CD ⇒ OI //AH Vậy AHIO là hình bình hành.
4. Quỹ tích điểm I:
Do AOIH là hình bình hành ⇒ IH = AO = R không đổi ⇒ CD quay xung quanh O
thì I nằm trên đường thẳng song song với xy và cách xy một khoảng bằng R

GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
17
H×nh 15
M
P
Q
H
F
G
E
O
B
C
A
D
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
Bài 15:
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi D là 1 điểm trên cung
nhỏ BC. Kẻ DE;DF;DG lần lượt vuông góc với các cạnh AB;BC;AC. Gọi H là hình

·
¼
1
®
2
HDE s QM=
(góc nội tiếp ….)
Nên
¼
»
= QM = ABQM AB ⇒
4. C/m: DE. DG = DF. DH
Xét hai tam giác DEH và DFG có:
Dễ dàng chứng minh được ngũ giác AHEDG nội tiếp nên
·
·
EHDFGD =
(Vì …)
Chứng minh được tứ giác DFGC nội tiếp nên
·
·
FDG FCG=
(Vì …)
Mà
·
·
EDH FCG=
(Vì
»
¼

BAC BMC+
= 2v; do GDEA nội tiếp ⇒
·
·
EDG EAG+
= 2v.
⇒
·
·
EDG BDC=
mà
·
·
·
EDG EDB BDG= +
và
·
·
·
·
·
BCD BDG CDG EDB CDG= + ⇒ =

⇒
·
·
GFC BEF=
⇒ E;F;G thẳng hàng.
Bài 16:
Cho tam giác ABC có

AKB KBC KCB= +
(Góc ngoài tam giac KBC).
Do I là trung điểm BC và KI ⊥ BC (gt) ⇒ ∆KBC cân ở K
⇒
·
·
KBC KCB=
Vậy
·
·
BMC 2. ACB=
3. C/m: BC
2
= 2AC . KC
Xét 2 ∆ vuông ACB và ICK có góc C chung ⇒ ∆ACB
:
∆ICK
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
19
Hình 16
N
M
K
I
B
C
A
H×nh 17
F
E

AIB IAC ICA= +
(góc ngoài ∆IAC) và ∆IAC Cân ở I
⇒
· ·
·
·
IAC ICA AIB 2. IAC= ⇒ =
(1).
Ta lại có
· ·
BKM BMK=
và
·
·
BKM AIB=
(cùng chắn cung AB - tứ giác AKIB nội tiếp)
⇒
·
·
AIB BMK=
(2) mà
·
·
·
BMK MNA MAN= +
(góc ngoài tam giác MNA)
Do ∆MNA cân ở M (gt) ⇒
·
·
MAN MNA=

4. Gọi giao điểm HK và CM là I. Khi C di động trên nửa đường tròn thì I chạy
trên đường nào?
Gợi ý
1. C/m: BOMK nội tiếp
(Sử dụng tổng hai góc đối bằng 180
0
)
2. C/m CHMK là hình vuông:
(Hình chữ nhật c ó một đường chéo
là phân giác nên là hình vuông)
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
20
H×nh 17*
F'
P
F
E
I
H
K
M
O
A
B
C
E'
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
3. C/m: H,O,K thẳng hàng:
Gọi I là giao điểm HK và MC;do MHCK là hình vuông
⇒ HK ⊥ MC tại trung điểm I của MC.

A B
D
C
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
1. Chứng minh: AHDC nội tiếp trong đường tròn tâm O mà ta phải định rõ
tâm và bán kính theo a.
2 . HB cắt AD tại I và cắt AC tại M;HC cắt DB tại N. Chứng tỏ HB = HC
Và AB. AC = BH. BI
3. Chứng tỏ MN song song với tiếp tuyến tại H của (O)
4 . Từ D kẻ đường thẳng song song với BH;đường này cắt HC ở K và cắt (O)
ở J. Chứng minh HOKD nội tiếp.
Gợi ý
1. Chứng minh:
* AHDC nội tiếp trong đường tròn tâm O
và phải định rõ tâm và bán kính theo a.
Sử dụng hai điểm H và D cùng nhìn
đoạn AC dưới một góc không đổi 90
0

nên tứ giác AHDC nội tiếp đường tròn
đường kính AC
⇒
O là trung điểm của AC,
bán kính R =
2
AC
.
Áp dụng định lí Py - ta - go ta tính được AC = a
5
⇒

HC
=
mà HB = HC ⇒ đpcm
3. Gọi tiếp tuyến tại H của (O) là Hx.
GV Nguyễn Bá Phú - Trường THCS Quảng Phúc
22
H×nh 19
N
D
I
H
C
O
A
B
M
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
Ta chứng minh tứ giác MNBC nội tiếp (Vì …) mà
·
·
MBC NCB=
⇒
·
·
BMN CNM=
n ên MNBC là hình thang cân ⇒ MN // BC mà BC // Hx (cùng vuông góc với OH)
⇒ MN // Hx
4 . C/m: HOKD nội tiếp
Do DJ // BH ⇒
·

OJK OCK=
⇒ C; J cùng nhìn
đoạn OK những góc bằng nhau ⇒ OKCJ nội tiếp ⇒
·
·
KOC KJC=
(cùng chắn cung
KC);
·
·
KJC DAC=
(cùng chắn cung DC) ⇒
·
·
KOC DAC=
⇒ OK // AD
mà AD ⊥ HJ ⇒ OK ⊥ HO ⇒ HDKC nội tiếp.
Bài 19 :
Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB,bán kính OC ⊥ AB. Gọi M là 1 điểm
trên cung BC. Kẻ đường cao CH của tam giác ACM.
1. Chứng minh AOHC nội tiếp.
2. Chứng tỏ ∆CHM vuông cân và OH là phân giác của góc COM.
3. Gọi giao điểm của OH với BC là I. MI cắt (O) tại D.
Cmr: CDBM là hình thang cân.
4. BM cắt OH tại N. Chứng minh ∆BNI và ∆AMC đồng dạng,từ đó suy ra:
BN. MC=IN. MA.
Gợi ý
1 . C/m AOHC nội tiếp:
(Tự chứng minh)
2 . C/m: ∆CHM vuông cân:

:
∆CMA (g -g) ⇒ đpcm

Bài 20:
Cho ∆ đều ABC nội tiếp trong (O;R). Trên cạnh AB và AC lấy hai điểm M;N
sao cho BM=AN.
1. Chứng tỏ ∆OMN cân.
2. C/m :OMAN nội tiếp.
3. BO kéo dài cắt AC tại D và cắt (O) ở E. C/m BC
2
+DC
2
=3R
2
.
4. Đường thẳng CE và AB cắt nhau ở F. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt FC tại
I;AO kéo dài cắt BC tại J. C/m BI đi qua trung điểm của AJ.
Gợi ý
1. C/m OMN cân:
Do ∆ABC là tam giác đều nội tiếp trong (O)
⇒ AO và BO là phân giác của ∆ABC
⇒
·
·
OAN OBM=
= 30
o
; OA = OB = R và BM = AN (gt)
⇒∆OMB = ∆ONA ⇒ OM=ON ⇒OMN cân ở O.
2. C/m OMAN nội tiếp:

O
B
C
A
100 bài t p hình ôn thi vào l p 10ậ ớ
BC
2
= DB
2
+ CD
2
= (BO+OD)
2
+ CD
2
= BO
2
+ 2.OB.OD + OD
2
+ CD
2
. (1)
Mà OB =R. ∆AOC cân ở O có
·
OAC
= 30
o
.
⇒
·

+ CD
2
- CD
2
= 3R
2
.
4 . Gọi K là giao điểm của BI với AJ.
Ta có
·
BCE
= 1v (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)có
µ
B
=60
o
⇒
·
BFC
=30
o
.
⇒ BC =
2
1
BF mà AB = BC = AB = AF. Do AO ⊥ AI (t/c tia tiếp tuyến) và AJ ⊥ BC
⇒ AI // BC có A là trung điểm BF ⇒ I là trung điểm CF. Hay FI = IC.
Do AK // FI. Áp dụng hệ quả Talét trong ∆BFI có:
BI
BK