Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt

1

CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ – ĐẠO HÀM

I. MIỀN (TẬP) XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ: D = {x∈R | y = f(x)∈R}

Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh Hàm số Tập xác đònh
()
xAy =

()
0xA ≥

tgxy =

π+
π
≠ k
2
x

()
()
xBlogy
xA
=

()
()


)0a(x >∀

()
n2
xAy =

()
()
+
∈
≥
Zn
0xA

⎢
⎣
⎡
=
xarccos
xarcsin
y

1x1 ≤≤−

⎢
⎣
⎡
=
xln

⎣
⎡
±
=
xgxf
xgxf
y

)

gf
DDD ∩=II. MIỀN (TẬP) GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ: f(D) = {y∈R | y = f(x), ∀x∈D}
1. Sự tồn tại nghiệm của phương trình f(x)-y = 0, ∀ x∈D
Hàm f(x) f(D): MGT Hàm f(x) f(D): MGT
()
()
bxf
axf
≥
≤

() (
]
()
[
)
+∞=

++≤+≥+
∀∀≥+III. HÀM HP g
o
f

[]
() ()
[]
()
{}
()
(){}
⎢
⎣
⎡
⊂∧≠
∈∧∈
=
≠=∈∀
∃⇒φ=
gfff
gfgf
fg
ooofg
fgoff
fffo
DT0T,D

Cơ sở của phương pháp là làm xuất hiện dạng trong biểu thức hàm các thừa số (x - x
0
), để rồi giản ước chính các thừa số đó của tử
số và mẫu số trong
()
()
xg
x
f
lim
0
xx→
với các chú ý:
• Nếu tử và mẫu là các đa thức, sử dụng phép chia đa thức tử và mẫu cho (x - x
0
). Riêng ở đây ta dùng thủ thuật chia Hormer.
• Nếu chỉ ở tử hoặc mẫu có chứa căn thức, ta nhân cho tử và mẫu một lượng liên hợp của căn thức đó.

llh llh 3
2
33 33
A B A B A B A AB B+←⎯→− ±←⎯→± +

Nếu tử và mẫu đều có chứa căn thức, ta sẽ nhân vào tử và mẫu cùng hai lượng liên hợp giao hoán tương ứng.
• Không loại trừ các khả năng sử dụng nhanh các hằng đẳng thức:
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 2


•
PP
2
: Dùng các đònh lý giới hạn tương đương:
()
() ()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=ε>ε++++
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>−++⇒−∞→
>++⇒+∞→
⇒∞→
∞→
0x lim và 0a với;x
a2
b
xa~cbxax /3
)0a(;ax~cbxaxx
)0a(;ax~cbxaxx
2/
xa~xPx 1/

• TH
1
: Khi (x tính bằng radian)
0x →

()
()
()
() ()
()
( )
()
() ()
()
()
()
() ()
ux 0 ux 0
2
2
2
ux 0
sinu x tgu x
lim 1 hay sinu x ~ u x lim 1 hay tgu x ~ u x
ux ux
1cosux
11
lim hay 1-cos u x ~ u x
22
ux

txx
xxt
0
0
0
* Khi:
0't,xx'txx
00
→−=⇒→

Ghi chú: không sử dụng hàm tương đương cho tổng số.
5. Hàm kẹp:
() () ( ) { }
()
()
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒
==
∈∀≤≤
→
→→
Lxglim
Lxhlimxflim
x|Vx,xhxgxf
0

⎪
⎨
⎧
=Δ
=
∈∀∈
→Δ
→
0lim hay
xfxflim
Dx,Rxf
y
0x
0
xx
00
0
0
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 3

* Liên tục tại x
0
:
() () ( )
( ) ( )
() ( )
⎢

()
()
()
sin x
lim 1
x0
x
tgx
lim 1
x0
x
lim U x 0
x0
sin U x
lim 1
x0
Ux
tgU x
lim 1
x0
Ux
1cosx 1
lim
2
x0
2
x
=
→
=

lim x.e 0
x
x
lim a 0
x
0a1
x
lim a
x
=+∞
→+∞
+
=
→−∞
=+∞
→+∞
>
+
=
→−∞
=+∞
→+∞
=
→−∞
+
=
→+∞
< <
=+∞
→−∞

ln x
lim 0
x
x
lim x. ln x 0
x0
lim log x
a
x
0a1
lim log x
a
x0
=+∞
→+∞
=−∞
+
→
=+∞
→+∞
>
=−∞
+
→
+
=
→+∞
−
=
+

()
x'g
x'
f
lim
xg
x
f
lim
00
xxxx →→
=

VI. ĐẠO HÀM:
()
()()
x
x
fxxf
lim
x
y
limx'f
00
xxxx
0
00
Δ
−Δ
+

+
→
−
→
+
→
0
0
xx
0
0
xx
0
0
xx
0
xx
xfxf
limx'f trái ĐH
xx
xfxf
limx'f phảiĐH
xx
xfxf
limx'f
0
0
0
0
0

B
2
: Tìm
()
Rbxflim
0
xx
∈=
→
(2)
B
3
: So sánh (1) và (2); nếu
() ( )
bxfxflim
0
xx
0
==
→
, hàm f liên tục tại x = x
0
.
() ( )
() ( )
() () ( )
00
xxxx
00
xx

0
⇒ f liên tục tại x
0
.
(2) PP
3
: ⇒ f liên tục tại x
0ylim
0x
=Δ
→Δ
0
.
(3) PP
4
: f khả đạo hàm tại x
0
⇒ f liên tục tại x
0
.
Ghi chú 2: Ngoài ra, khi chứng minh hàm f liên tục trên một tập thì sử dụng các đònh nghóa:
ĐN
1
: f liên tục trong
() ( )
b;axmọitại tục liên fb,a
0
∈⇔

ĐN

y
lim
0
0
xx0x
0
∈=
−
−
=
Δ
Δ
→→Δ

B
2
: Tồn tại f’(x
0
)=b. Khi chỉ tồn tại một trong hai giới hạn:
*
() ( )
()
+
→
=
−
−
+
0
0

0
.
Ghi chú: Nếu x
0
là điểm thông thường của tập xác đònh, ta có thể dùng công thức tìm y’=f’(x) rồi thay vào ta có f’(x
0
).
3. Tính đạo hàm bằng đònh nghóa:
()
Dx;Rx'f
x
y
lim
0x
∈∀∈=
Δ
Δ
→Δ
ta làm ba bước cơ bản:
B
1
: Gọi Δx là số gia của biến số tại x tùy ý trong D, Δy là số gia của hàm số tương ứng. Ta tính Δy từ: y + Δy = f(x + Δx).
B
2
: Lập tỷ số
x
y
Δ
Δ


số) hằng:(c 'u.c'u.c
−=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⇒
−
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
±=±
=

2) Hàm hợp:
Cho u = u(x); y = f(u) đều khả đạo hàm thì hàm hợp y =
(f
o
u)(x) = f[u(x)] cũng khả đạo hàm và y’ = u’(x).f’[u(x)]
hay y
0

Ta có:
x
y
y
x
'y
1
'x
'x
1
'y =⇔=1) Đònh nghóa:
( ) ( )()
xd.x'fdyxfy
=⇒=

2) Quy tắc vi phân:
( )
()
2
v
dv.udu.v
v
u
d
dv.udu.vv.ud
dvduvud
−

( )
()()
0xu;xuy
xv
>=

()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+==⇒
u
'u
vuln'v'u'ulnvy'y 4. Bảng tính đạo hàm:
Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x) Hàm số f(x) Đạo hàm f’(x)
( )
nn
u;x

( )
'u.u.n;x.n
1n1n −−

sinx cosx


2
x
1
−

a
x
a
x
lna
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 5

lnx
x
1

cotgx
()
xgcot1
xsin
1
2
2
+−=−

log


Kết luận: Công thức (1) là đạo hàm cấp (n) cần tìm.

6. Ứng dụng của đạo hàm:
• Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại một điểm f’(x
0
) nếu tồn tại hệ số góc của tiếp
tuyến với đồ thò (C): y = f(x) tại điểm đó:
ϕ
M(x ,y )
00
(h.1)
t
x
(C): y = f(x)
(
0
x'
)
ftgk
=ϕ=
(là ý nghóa hình học của đạo hàm)
• Nếu một hàm f có đạo hàm tại x
0
thì hàm f liên tục tại điểm x
0
.
• Nhưng một hàm f liên tục tại x
0
thì chưa chắc có đạo hàm tại điểm x

f'(x )=0
0,2
x
0,2
b
a
B
(h.2)
A
0
C
D
y
α
f'(x )=0
x0 ( ; )
0,1
∀∈αβ
x
0
β
a
b
(h.3)
A
0
C
D
x
B
• Nếu hàm f liên tục trên [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm: .
()
b;ax
0
∈
• Nếu:
[]
()()
[]
f liên tục trên a;b
fafb 0
f đơn điệu nghiệm cách trên a;b
<
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
( )

∈
sao cho:
() ( )
00
xx;xfxf
≠∀<
.
) Hàm f đạt một cực tiểu tại , nếu tồn tại một lân cận
(
b;ax
0
∈
)
( ) ( )
b;axV
0
∈
sao cho:
() ( )
00
xx;xfxf
≠∀>
.
* Đònh lý 1 Fermat: (Điều kiện cần để hàm số f có cực trò)
Nếu hàm f có đạo hàm tại V(x
0
) và đạt một cực trò tại x
0
đó thì điều kiện cần là f’(x
0

(h.10)
f'(x )>0
0
f'(x )<0
0
(C):y=f(x)
xÝ nghóa hình học: tiếp tuyến với đồ thò (C) : y = f(x) tại điểm cực trò thì song song trục hoành.
Hệ quả: Mọi điểm cực trò của hàm số y = f(x) đều là điểm tới hạn.
* Đònh lý 2: (Điều kiện đủ thứ nhất để hàm f có cực trò)
Nếu hàm f có đạo hàm tại V(x
0
) và f’(x
0
) = 0 (*), đồng thời f’ đổi dấu khi x đi qua x
0
thì đủ để f đạt một cực trò tại x
0
.
• Khi f’(x
0
) = 0 và khi f’(x) đi qua x
0
mà không đổi dấu, ta nói (x
0
;f(x
0
)) là một điểm uốn với tiếp tuyến nằm ngang. Điều kiện

0
b
A
I
B
0
f"(x )=0
0
(h.10)
f"(x )>0
0
f"(x )<0
0
(C):y=f(x)
x
• f”(x) < 0 trên (a;b) ⇔ Đồ thò (C) : y = f(x) lồi trong (a;b) về phía y dương.
• f”(x) > 0 trên (a;b) ⇔ Đồ thò (C) : y = f(x) lõm trong (a;b) về phía y dương.
* Đònh lý 4: (Điều kiện đủ thứ hai để một hàm có cực trò)
Nếu f’(x
0
) = 0 trong V(x
0
) đồng thời f”(x
0
) # 0 thì hàm f có cực trò tại x
0
. Cụ thể:

f'(x )=0
0

∈∀=⇔
⎩
⎨
⎧
=
−

• Thêm một ứng dụng của đạo hàm và đạo hàm cấp cao là quy tắc (đònh lý) L’ Hospitale như sau:
()
()
( )
()
( )
()
( )
()
()
()
xg
xf
lim...
x"g
x"f
lim
x'g
x'f
lim
0
0
Dạng

0
vừa khử.
)
... đều có thể biến đổi về dạng
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
0
0
để sử dụng được quy tắc L’ Hospitale.
) Dạng
()(
∞−∞∞×
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∞
∞
;0;
• Tính lồi lõm của hàm số trong đẳng thức Jensen. y
a


⎛

+

2

x

x

f

2

1

2

x

f

x

f

2

1


xx

f

21

2
xfx

f

21

+
[ ]
()
[]
() ()
()
f liên tục trên a;b
fx fx ... fx
xx...x
n
n12
12
f" 0 trên a;b f

xfabafbf;b;ac
ba; đạo khảf
ba; tục liên
f
−=−∈∃⇒
⎩
⎨
⎧

Ý nghóa hình học: Một hàm liên tục và có đạo hàm trên [a;b] thì tồn tại trên đồ thò (C) : y = f(x) các điểm mà tiếp tuyến tại đó song
song với đoạn nối hai đầu nút của đồ thò.
Hệ quả: (Đònh lý Rolle)
[]
() ()
()
()
()
giữa 2 nghiệm x ;x phân biệt
12
f liên tục trên a;b và f a f b
nếu có của f x 0 phải có
f có đạo hàm trên a;b
ít nhất 1 nghiệm x của f' x 0
0
=
⇒=
=
⎧
⎫
⎪

⎢
⎣
⎡
∈∀≤
>⇒<∈∀
⇔
biếnnghòch số Hàm :b;ax,0x'f
x
fxfxx:b;ax,x
ba; trên giảm f
212121f(x) là hàm bất kỳ Tính chất đơn điệu f(x) hàm bậc 3
Nếu min
()
0x'f ≥
Nếu max
()
0x'f ≤
f luôn tăng:
( )
0x'f ≥

f luôn giảm:
( )
0x'f ≤

a > 0 và
0≤Δ

8

a > 0
?m
a2
b
=⇒α≤−

Không xảy ra
a < 0 Không xảy ra
?m
a2
b
=⇒α≤− 2. Hàm bậc 3:
cbx2ax3'ydcxbxaxy
223
++=⇒+++=
* TH1:
()

[
)
+∞α+∞α ; hay;
Hệ số
f tăng
()
+∞α∈∀≥ ;x,0'y

⎧
>Δ
>
0
0a

[
)
+−+
+∞α∞−
00'y
;xxx
21

α≤<⇔
21
xx

⎩
⎨
⎧
>Δ
<
0
0a

[
)
−+−
+∞α∞−

]
+−+
∞+α∞−
00'y
xx;x
21

⎩
⎨
⎧
≤≤α
>
21
xx
0a

−+−
∞+
∞−
00'y
xxx
21

() ()
0a.y' và 0'y.a
xx
21
≤β≤α⇔
≤β<α≤


+−+
∞+
∞−
00'y
xxx
21

() ()
0a.y' và 0'y.a
xx
21
≤β≤α⇔
≤β<α≤

3. Hàm hữu tỷ:
( )
'bx'a
xg
'bx'a
cbxax
y
2
+
=
+
++
=

Cách 1:
Giải như phần II.2

⎧
≤α
α≤−
<
⇔
∞+
−
∞+α−
α=⇒
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+∞−⇒≤⇔
+∞α∈∀≤
+∞α∈∀≤
0g
a2
b
0a
xg CĐ
xg
0x'g
a2
b
x
gxg max
;

a2
b
0a
CT
xg
0x'g
a2
b
x
gxg min
;
a2
b
trong tăng xg0xg min
;x,0xg thì ;x,0'y
xg

III. DÙNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PT VÀ BPT:
1. Bất đẳng thức:
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 9

() () ( )
() ()
() () ()
() () ()
fx 0 hoặc fx 0,x a;b
fx tăng thì x 0 fx f0

2. Phương trình có nghiệm duy nhất:
•

Chứng minh phương trình f(x) = 0 có 1 nghiệm duy nhất.
)
Suy đoán x = x
0
là nghiệm của phương trình.
)
Chứng minh x
0
là nghiệm duy nhất
⇔
f(x) luôn luôn tăng (hoặc giảm).
•

Chứng minh phương trình f(x) = g(x) có 1 nghiệm duy nhất.
)
Suy đoán x = x
0
là nghiệm của phương trình.
)
Chứng minh f(x) và g(x) là 2 hàm số đối đơn nghiêm cách (đồng - nghòch biến).

CHỦ ĐỀÀ 3: CỰC TRỊ HÀM SỐ
I. CỰC TRỊ:
()
( )
()
()

()
()
{
()
()
()
()
a0
t CĐ và CT f' x 0 đổi dấu 2 lần f không đạt cực trò
0
f' x 0 Vô nghiệm
a0
f ' x 0 không đổi dấu
0
f' x 0 Nghiệm kép
f' x 0 f' x 0
00
f đạt CĐ tại x f đạt CT tại x
00
f" x 0 f" x
00
≠
⇔= ⇔ ⇒
Δ>
=
≠
⇔= ⇔ ⇔
Δ≤
=
==

2
y' 0 aa'x 2ab'x bb' a'c 0 (1) aa' 0
*f có CĐ, CT thì (1) có 2 nghiệm phân biệt y' 0
b'
*f không có CĐ, CT thì (1) vô nghiệm y' 0 hay ag -
a'
++ + + −
=⇒==
+
+
=⇔ + + − = ≠
⇔Δ >
⇔Δ <
⎛
⎜
⎝
()
()
0 C cắt Ox tại 2 điểm ở 2 bên TCĐ.
y' 0 y' 0;x x
2 điểm cực trò cùng 1 phía đối với Ox
12
*f có CĐ, CT và 2 giá trò CĐ, CT cùng dấu
đồ thò cắt Ox tại 2 điểm phâ
y.y 0
max
min
<⇒
=Δ> ≠
⇔⇔

⎪
⎩
=Δ>
=Δ> ≠
⇔⇔⇔
=Δ<
<
⎧
⎨
⎩
⎧
⎧
⎨⎨
⎩
⎩
()
b'
tại 1 điểm mà từ đó kẻ đến C được 2 tiếp tuyến là: ag 0
a'
−>
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 10
⎡⎡
⎢⎢
⎣⎣
⎡
⎢
⎣
ab 0≥
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣

2. Dạng 2:
()
()
432 2
yaxbxcdy'x4ax3bxc
x0
y' 0
2
4ax 3bx c 0 (2)
0
f chỉ có CT (2) vô nghiệm hoặc nghiệm kép
*
g0 0
mà không có CĐ (2) có nghiệm x 0 hoặc 1 nghiệm x 0
=+++⇒= ++
=

* f có một cực trò
g0
g x 0 có nghiệm x hoặc x
=++++⇒= + ++
=−α ++ =−α = α
=
Δ≤
⇔⇔
α =
==α≠α
⎡
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
⎣

Chú ý:
()
[]
1) f có cực trò mà hoành độ lớn hơn y' 0 thỏa x x
12
2) f có cực trò mà hoành độ nhỏ hơn x x hoặc x x
1212
3) f có cực trò trong ; y ' 0 thỏa x x
12
4) f đạt CĐ tại x , , đạt
α⇔ = α< <
α⇔ <α< < ≤α

⎪
⎨
⎧
=+++=
+++=
⇔
)II(0dxcxbxaxg
)I(dxcxbxaxf
101
2
01
3
010
202
2
02
3
020m

Với (II) là phương trình đặc trưng cho hoành độ điểm cố đònh.
2/ Thực hiện phép chia đa thức f
m
(x
0
) : g(x
0
) để đưa (I) về dạng:
() ()

quả hệtrình phương

m
) thì nó thỏa hệ:
()
() ()
()
32
yfx axbxcxd (I)
m
00000
2
gx f'x 3ax 2bx c 0 (II)
0000
2
với: b -3ac 0; m D
m
==+++
==++=
>∀∈
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩

2/ Thực hiện phép chia f
m
(x
0

1/ Gọi (x
0
;y
0
) là điểm cực trò của (C
m
); thì nó thỏa hệ:
()
()
()
()
()
()
()
()
ux
0
yI
0
vx
u' x
0
yx
0
v' x
ux
0
0II
phương trình hệ quả
vx

m
(x)
1/ Gọi (x
0
;y
0
) là điểm uốn của (C
m
); thì nó thỏa hệ:
( )
()
⎩
⎨
⎧
=+++==
=
0dxcxbxaxgy
xfy
101
2
01
3
010
"
0
0m0

Với g(x
0
)=0 là phương trình đặc trưng cho điểm uốn và đã được chứng minh là có 3 nghiệm phân biệt.

B
;y
B
); C(x
C
;y
C
) cố đònh thì ta luôn xác đònh được bộ ba (a;b;c) duy nhất trong hệ trục
Oxy.
Khi (P) chỉ đi qua hai điểm A, B hoặc chỉ đi qua duy nhất điểm A, thì ta sẽ nhận được các Parabola lưu động của họ Parabola và
chúng tạo thành chùm (như chùm đường thẳng, chùm đường tròn... trong mp (Oxy) đó).

y
A
B
(d):y = x +
α β
a
x
A
y
A
(P )
A
x
B
y
B
b
0


12

y
A
B
(d):y = x +
α β
a
x
A
y
A
(P )
A
x
B
y
B
b
0
x

y
A
S
(d):y = y
A
(
)


Tập hợp các Parabola (P
λ
) đi qua nhiều nhất hai điểm cố đònh A và B gọi là chùm Parabol (P
λ
); với là tham số đặc
trưng của chùm.
0≠λ
•

Khi chùm (Pλ) qua đúng hai điểm A, B phân biệt ta được chùm có hai điểm đế, đường thẳng (AB) được gọi là đường đế của
chùm (Pλ) lúc đó.
•

Phương trình của chùm (P
λ
) đi qua hai điểm đế A, B và nhận
( )
qxy:ABd
+α=≡
làm đường đế, có dạng:
( )()( ) ( )
0xxxxxy:P
BA
≠λβ+α+−−λ=
λ
(*)
)
Khi đường đế xiên góc:
(

Khi ta có trường hợp (P
BA,0 ≡≠α
λ
) là chùm tự tiếp xúc (có trục đối xứng của (P
λ
) song song (Oy)).
() ( )
)2(xxxy:P
2
A
β+α+−λ=⇒
λ

)
Khi ta có trường hợp (P
BA,0 ≡=α
λ
) là chùm tự tiếp xúc tại đỉnh (chung đỉnh, đường đế vuông góc với trục đối
xứng duy nhất của (P
λ
))
() ( )
)3(yxxy:P
A
2
A
+−λ=⇒
λ

•

⎪
⎨
⎪
⎪
⎩

B
B
2
: Họ (P
λ
) thỏa các cặp thứ tự (I, III); phương trình (P
λ
) có dạng tổng quát như ở (*).
)
Khi (Pλ) thỏa (I, IV): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt như ở (1).
)
Khi (Pλ) thỏa (II, III): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt như ở (2).
)
Khi (Pλ) thỏa (II, IV): phương trình (Pλ) có dạng đặc biệt như ở (3).
B
B
3
: Đưa các giá trò cụ thể của giả thiết vào phương trình của (P
λ
), ta sẽ xác đònh được
0
λ=λ
bằng các phương trình đặc trưng.
Lấy x

=>
<<
>Δ
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
<<
>>
>Δ
VN 0y và 0a
x0x
0'y
hoặc
0y;0x
0y;0x
0'y
'y
21
22
11

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=<
<<

()
( )
0cbxaxxx
2
0
=++−

Có nghiệm kép Có 1 nghiệm Có 3 nghiệm
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎢
⎢
⎣
⎡
α==++
=++
⎩
⎨
⎧
=
=
x nghiệm 0cbxax
képnghiệm 0cbxax
chung nghiệm có
0'y

=++
0xg
0
xx nghiệm 2 có
0cbxax
0
0
2

(*) không có nghiệm đặc biệt
cbx2ax3'y
2
++=

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎩
⎨
⎧
=
=
=
chung nghiệm
0'y
0y
0yy
minmax

⎨
⎧
>
≤Δ
⇔
0yy
0'y
minmax

VIII. ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ HÀM BẬC 3 CẮT TRỤC HOÀNH TẠI 3 ĐIỂM CÓ HOÀNH ĐỘ DƯƠNG (HAY ÂM):
Hoành độ
Hoành độ dương Hoành độ âm
Lớn hơn α Nhỏ hơn α
()
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
>
>
<
>Δ
0yy
0x


()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
<<α
<α
>Δ
0yy
xx
0af
0'y
minmax
21

()
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
<
α<<

b;ax
CTCĐ
b;ax
f,f,bf,afminm
f,f,bf,afmaxMba; trên tụcliên f minf maxf,
∈
∈
=
=⇒⇔∃

2. Dùng MGT tìm max, min: .
Mym
0
≤≤
3. Dùng BĐT Côsi, Bunhiacôpsky.
Ts.Nguyễn Phú Khánh- Đà Lạt 14
Chú ý 2:

1. Nếu f(x) liên tục trong khoảng (a;b) có điểm cực trò
( )
b;ax
0
∈
.


()
∞−
=
−
∞+
bfy max
y
'y
xx
0II. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - NHỎ NHẤT CỦA HÀM BẬC 2 TRÊN
[ ]
βα;
:
•

a>0 hoành độ đỉnh
a2
b
x
0
−=

)
Nếu
[]
()

x ; : so sánh f và f suy ra max y và min y.
0
∉αβ α β
III. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ:
1. Phương pháp 1:
() ( ) ( ) ( )
GTLN fx max fx và GTNN fx min fx
xD xD xD xD
ff f
==
∈∈ ∈ ∈
f

()
()
()
fx m;x D
đn
min f x m
xD:fx m
xD
0f 0
f
≥∀∈
=
∃∈ =
∈
⎧
⎪
←⎯→

x
xfminy
bxa
CT
≤≤
=
xfmaxaf
bxa
≤≤
=
f(b) 2. Phương pháp 2:
B
B
1
: Kiểm tra tính liên tục của hàm f trên
[]
b;aD
f
=
B
B
2
: Tìm các số cực đại, số cực tiểu (giá trò y
0
=f(x
0
) của các cực trò đòa phương tại các điểm

Ghi chú:
Khi viết , ta có tập giá trò của hàm f là: f(D
()
Mxfm ≤≤
f
) = [m;M]