ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
-------- --------

NGUYỄN NHƯ XUÂN

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM
ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ TƯƠNG TÁC CỦA
LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ

Hà Nội - 2008


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
------------------

NGUYỄN NHƯ XUÂN

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM ĐỂ
NGHIÊN CỨU
MỘT SỐ VẤN ĐỀ TƯƠNG TÁC CỦA LÝ THUYẾT TRƯỜNG
LƯỢNG TỬ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 62.44.01.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:


1.2. Biểu diễn tổng quát của hàm Green trong trường ngồi

16

dưới dạng tích phân phiếm hàm
CHƯƠNG II:

TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK

21

TRONG CÁCH TIẾP CẬN PHIẾM HÀM

2.1. Biểu diễn biên độ tán xạ hai hạt vô hướng

21

2.1.1. Hàm Green hai hạt vô hướng trong trường thế vô hướng

21

2.1.2. Biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường thế vô hướng

25

2.2. Tán xạ năng lượng cao
2.2.1. Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt vô hướng

28


TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK
TRONG CÁCH TIẾP CẬN CHUẨN THẾ

3.1. Nghiệm của phương trình chuẩn thế Logunov-Tavkelidze cho tán

50
51

xạ hai hạt vô hướng
3.2. Trạng thái tiệm cận tán xạ năng lượng cao

56

3.3. Biên độ tán xạ trong trường chuẩn thế Yukawa

60

3.4. Mối liên hệ giữa phương pháp chuẩn thế và phương pháp tích

65

phân quỹ đạo Feynman
CHƯƠNG IV: KHỬ PHÂN KỲ VÀ TÁI CHUẨN HỐ HÀM GREEN

69

TRONG MƠ HÌNH BLOCH- NORSIECK CHO QED3 VÀ
QED4



97

Phụ lục B

107

Phụ lục C

113

Phụ lục D

121

Phụ lục E

123


HÀM GREEN CỦA HẠT TƯƠNG TÁC
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày cách tìm hàm Green trong mơ hình tự tương tác
của các “nucleon” vơ hướng. Sau đó, kết quả thu được trong mơ hình này sẽ được tổng qt
hố cho trường hợp điện động lực học vơ hướng, trong đó “nucleon” vơ hướng phức tương
tác với trường điện từ (trường véc tơ) và tương tác của “nucleon” vô hướng với trường hấp
dẫn (trường tenxơ). Kết thúc chương này chúng ta xét một bài tốn đơn giản là tìm hàm
Green lượng tử của hạt vơ hướng trong trường sóng phẳng điện từ.
Biểu diễn tổng quát của hàm Green trong trường ngồi dưới dạng tích phân phiếm
hàm
Phương trình cho hàm Green trong trường ngồi của mơ hình tự tương tác giữa các

2


Sử dụng phép biến đổi Weierstrass trong không gian hàm số 4-chiều, tốn tử vi phân bậc
cao có thể biểu diễn thành tích các tốn tử bậc thấp hơn. Sau đó tiến hành gỡ rối tốn tử theo
quy tắc Feynman, thực hiện phép thay biến:   ( )   ( )  p , nghiệm của phương trình (1.1)
được biểu diễn dưới dạng tích phân phiếm hàm trong biểu diễn xung lượng:


G ( p, q |  )  i  d 4 yei ( p  q ) y  dsei ( p

2

 m2 ) s

0

 s

C   4 exp i  2 ( )d 
 0





 
 exp ig    y  2 p  2  ( )d  d 
0
 

+

+

(d)

Hình 1.1: Giản đồ Feynman cho khai triển hàm Green của electron theo hằng số tương
tác.
a) Giản đồ bậc không ứng với q trình khơng tương tác.
b) Giản đồ đỉnh bậc một c) Giản đồ đỉnh bậc hai d) Giản đồ đỉnh bậc ba
Phần cuối của mục này, chúng ta xét một bài tốn đơn giản là tìm hàm Green lượng tử
của hạt vơ hướng trong trường sóng phẳng điện từ. Trường này lý thú ở chỗ là hàm Green
G( x, y | A) của hạt có thể tính được một cách chính xác. Trường sóng phẳng điện từ có dạng:
A ( x)  a (kx) , trong đó a (kx) là thế năng của trường sóng phẳng điện từ, với véctơ sóng đẳng
hướng k2  0 . Giả thiết rằng trường sóng phẳng là sóng ngang k a (kx)  0 . Thay trường sóng
phẳng vào biểu thức tương ứng cho hàm Green, Kết quả thu được là:
G ( x, y | A) 



i
(2 )

4

4
 is ( p
 d p  dse

2

TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK TRONG CÁCH TIẾP CẬN PHIẾM HÀM
Trong chương này biên độ tán xạ của hai hạt vơ hướng trong mơ hình đơn giản  3 sẽ
được tìm. Ở vùng năng lượng lớn, xung lượng truyền nhỏ, biên độ tán xạ này có dạng biểu
diễn Glauber (hay biểu diễn eikonal). Các kết quả cho tương tác phức tạp có thể dễ dàng thu
được bằng cách tổng quát hoá những biểu thức thu được ở đây. Cuối cùng chúng ta sẽ tìm
các số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ Eikonal ở vùng năng lượng cao.
Ở đây, chúng ta không xét đến vấn đề tái chuẩn hoá. Chúng ta cần tách các số hạng cực
điểm dạng ( pi2  m2 )1 và (qi2  m2 )1 trong công thức (2.2), để chúng triệt tiêu các nhân tử
pi2  m2 và qi2  m2 . Trong lý thuyết nhiễu loạn sự triệt tiêu các số hạng cực rất dễ thấy vì biểu
thức biên độ tán xạ được thiết lập từ từ các hàm truyền tự do. Còn trong trường hợp hàm
Green được xây dựng từ bằng phương pháp khác lý thuyết nhiễu loạn thì việc tách các số
hạng cực gặp một số khó khăn nhất định. Chúng ta quan tâm tới cấu trúc biên độ tán xạ một
cách tổng quát thì việc phát triển một phương pháp đúng chuyển đến mặt khối lượng
pi2  m2 ; qi2  m2 ; i  1, 2 trong trường hợp tổng qt có vai trị hết sức quan trọng. Rất nhiều
phương pháp gần đúng có thể hợp lý về quan điểm vật lý khi chuyển tới mặt khối lượng
nhưng vị trí các cực điểm của hàm Green ở phần cịn lại của biên độ tán xạ tìm được về mặt
toán học là bị sai lệch. Ở đây chúng ta tổng quát hoá phương pháp tách cực điểm của hàm
6


Green đã được đề xướng và vận dụng để tìm biên độ tán xạ trong mơ hình tương tác giữa
“nucleon” vô hướng với trường meson vô hướng trong gần đúng bỏ qua các loop “nucleon”.
Từ công thức (2.2) và biểu thức của hàm Green hai hạt trong biểu diễn xung lượng sau
một số phép biến đổi phiếm hàm, chúng ta thu được biểu thức cuối cùng của biên độ tán xạ
hai “nucleon”. Biên độ tán xạ này có thể coi là phiếm hàm của tổng tất cả các quỹ đạo khả dĩ
của “nucleon” trong quá trình tán xạ.
2.2. Tán xạ năng lượng cao
Biểu thức tổng quát cho biên độ tán xạ hai hạt với nhau đã tìm được dưới dạng tích phân
phiếm hàm. Để tính các tích phân này theo các biến số () không phải đơn giản. Các biến
số () ở trên được đưa vào để nhận được biểu thức tổng quát cho hàm Green ở trên, có ý

0

exp ig 2    ;      J1 DJ 2

,

((2.3)

trong

đó

(2.4)

Để tính tích phân theo i(), chúng ta sẽ sử dụng một phương pháp gần đúng, phương
pháp này cho phép giữ lại sự phụ thuộc của hàm truyền nucleon vào bình phương xung
lượng ki. Khi đó, số hạng chính có dạng:
S( n0) scalar  exp  i g 2 ( )   exp  i g 2   4    
(2.5)
với
   

1
(2 )

4

4
 ikx
 d kD(k )e

8

.

(2.6)


 ig 2 

S( n 1)  exp  
K 0 (  x )  
 4 s


ig 2    x
 x ( x )  x ( x ) K1 ( x )
1 
 4 s s x

2
2
4 2 2
 g   x  x  K (  x )  ig    x  x  K 2 (  x
 
0

  1

 
 8 s s  

tiếp theo trong biên độ tán xạ. Thật thú vị khi thấy rằng sự xuất hiện trong các biểu thức bổ
chính các số hạng phụ thuộc vào x0 và xz ( x  x0  xz ), đây chính là hiệu ứng trễ, hiệu ứng
này vắng mặt trong số hạng tiệm cận chính tắc.
Thực hiện các tính tốn tương tự, tất cả các số hạng tiếp theo của khai triển (2.7) giảm
đủ nhanh khi so sánh với những số hạng mà chúng ta đã viết. Tuy nhiên, cần nhấn mạnh rằng
điều đó khơng có nghĩa là đã là căn cứ cho biểu diễn eikonal cho biên độ tán xạ được trình
bày trong mục này. Hàm hệ số trong khai triển tiệm cận, những hàm được biểu diễn bởi hàm
MacDonald, là đơn trị ở khoảng cách ngắn và sự đơn trị này trở nên mạnh hơn theo tốc độ
tăng với sự giảm tương ứng của các số hạng ở s lớn. Vì thế, tích phân của S khi xác định
biên độ tán xạ có thể dẫn đến xuất hiện các số hạng vi phạm vào chuỗi eikonal ở thứ tự bậc
cao hơn g2. Khảo sát cấu trúc của các đóng góp không eikonal đối với biên độ tán xạ hai
nucleon chỉ ra rằng tổng tất cả các giản đồ thang từ thứ tự bậc 8 trong mơ hình vơ hướng
chứa các số hạng, những số hạng này vắng mặt trong các phương trình eikonal chính thống
và biến mất khi lấy giới hạn  m  0 với  và m là khối lượng meson và nucleon tương ứng.
Những số hạng này tương ứng với sự đóng góp cho các thế chuẩn hiệu dụng kết quả từ việc
trao đổi cặp nucleon và phản nucleon.
Để kết thúc mục này, chúng ta quan tâm tới trạng thái tiệm cận của biên độ tán xạ đàn
tính của hai nucleon vơ hướng ở năng lượng siêu cao. Thực hiện lấy tích phân theo
10


dx , dx và d  cho biên độ tán xạ trong hệ khối tâm (c.m.s), ta thu được biểu thức dạng

eikonal:

T (s, t )  2is  d 2 x ei x  S  1 ,

(2.8) với x là véc tơ hai chiều

vng góc với phương tán xạ của nucleon (tham số tán xạ).

2
2
8 (4 s)
s s
   t 2(4 s)
 s s 2  t

(2.9)

g4





2

A12

Những tính tốn tương tự đã chỉ ra rằng số hạng trao đổi ( p1  p2 ) ở thứ tự bậc một của
(1/s) là nhỏ hơn vì thế ta có thể bỏ qua trong biểu thức (2.4). Biên độ tán xạ là ở dạng
eikonal.
2.3. Tán xạ hai hạt với tương tác hấp dẫn trong vùng năng lượng Planck
Trong mục này ta xét bài toán tán xạ hai hạt trong lý thuyết hấp dẫn tuyến tính. Trong
vùng năng lượng cao xung lượng nhỏ, chúng ta thu được biểu diễn eikonal cho biên độ tán
xạ. Biểu thức này hoàn toàn trùng với các kết quả tìm được bằng phương pháp khác như:
phương pháp sóng xung kích (shock-wave method) của t’Hoop, phương pháp lý thuyết topo
11



 
t (4m 2  t )

 
 m 4m 2  t
4m 2  t  t 


ln


(
z
)


(
z
)
 ln

1
2

2
 
4m 2  t  t 


12

  1 ,


(2.13) trong đó

T  ( p1  q1 ); K0   | x 

là hàm MacDonald bậc không,

s. 2

h( s, t )t 0  exp t
2
2
 3  2  m


  m2
ln  2
  

 1 

   .
 2  


(2.14)

Trong phép gần đúng các “graviton mềm” và tái chuẩn hoá khối lượng của hạt, việc lấy

 exp  
d
kD
e
J
(

k
)
J
(
k
)
exp
( DJ i   m 2 ) 


1
2



4 
 2 i 1

 (2 )

0
i
iki x

 1 
  x (  x )  x ( x )  K1   x
2 s x


-



.

4 2 2 2

 2 s 2
 x  x  K0   x   i s 2   x  x  K12   x 
4 s
8 s


(2.16)
Điều quan trọng cần lưu ý ở đây là khác với mơ hình vơ hướng tự tương tác  , các số
hạng bổ chính tương ứng trong lý thuyết hấp dẫn lượng tử là tăng theo sự tăng của năng
lượng.
Sau khi lấy tích phân theo dx+, dx- và d cho biên độ tán xạ ở giới hạn năng lượng cao
2
s  M PL
 t , chúng ta thu được dạng eikonal tiếp theo:
3

i x s

hạt vơ hướng có dạng.
T  p, p '; s   gU  p  p '; s   g  dqK  q 2 ; s U  p  q; s  T  q, p '; s  , (3.1)
với s  4  p2  m2   4( p '2  m2 ) là năng lượng khối tâm;
Nói chung, chuẩn thế U là hàm phức của năng lượng và xung lượng tương đối của hai
hạt. Phương trình chuẩn thế sẽ trở nên đơn giản hơn nếu chuẩn thế U là “nhẵn” hay nói cách
16


khác chuẩn thế U là hàm của hiệu xung lượng tương đối giữa hai hạt ( p  p ') và năng lượng
toàn phần (được gọi là chuẩn thế định xứ). Sự tồn tại của chuẩn thế định xứ đã được chứng
minh chặt chẽ trong trường hợp tương tác yếu và đây cũng là cách để chúng ta xây dưng
chuẩn thế. Chuẩn thế định xứ được xây dựng theo cách này sẽ đưa ra nghiệm của phương
trình (3.1), nghiệm này đươc xem như là biên độ vật lý của quá trình tán xạ hai hạt trên mặt
khối lượng.
Trong khn khổ của cách tiếp cận chuẩn thế thì chuẩn thế được xác định bằng cách
khai triển thành chuỗi vô hạn theo hằng số tương tác, nó tương ứng với việc khai triển nhiễu
loạn biên độ tán xạ trên mặt khối lượng. Nghiệm gần đúng thu được của phương trình trên
(3.1) chỉ được tìm ở thứ tự bậc thấp nhất của chuẩn thế. Để giải quyết được bài toán một
cách thuận lợi thì ta phải cải tiến phương pháp này trong phép khai triển mà nó có tên gọi
phương pháp nhiễu loạn cải biến.
3.2. Trạng thái tiệm cận tán xạ năng lượng cao
Trong biểu thức tiệm cận của biên đô tán xạ chúng ta giữ lại hai số hạng gần đúng đầu
tiên (số hạng chính tắc và số hạng gần đúng tiếp theo)
Số hạng thứ nhất mô tả dáng điệu eikonal cho biên độ tán xạ, cịn các số hạng bổ chính
tiếp có bậc nhỏ hơn số hạng chính cỡ ~ ( 1 s ). Sự phụ thuộc vào năng lượng s của số hạng
chính và số hạng bổ chính cũng tương tự như kết quả mà ta thu được bằng cách qua biểu diễn
toạ độ .
17



F
(
t
)

F2 (t )  ,
1
2 2
5 4
2  2
48(2 ) s
s    t 8(2 ) s


3g 4
4  2  s 2
6

 2

g3
g6

F
(
t
)

F2 (t )  .
 2

này tương ứng với biểu thức được tính với gần đúng quĩ đạo thẳng cổ điển trong cơ học
lượng tử.
Số hạng bổ chính bậc nhất trong biểu diễn toạ độ và biểu diễn xung lượng là trùng
nhau. Số hạng bổ chính trong phương pháp chuẩn thế chính xác hơn so với phương pháp tích
phân phiếm hàm và phương pháp giản đồ Feyman. Cụ thể là ở vùng năng lượng nói trên
trong phương pháp tích phân phiếm hàm thì biên độ chỉ chính xác tới gần đúng bậc một, cịn
19


phương pháp giản đồ Feyman thì dường như bị triệt tiêu khi tính tổng các đóng góp của từng
giản đồ cho biên độ tán xạ, trong khi phương pháp chuẩn thế lại chính xác tới gần đúng bậc hai.
Ở đây, cũng cần nói thêm rằng với các tính tốn tương tự trong các trường hợp tương
tác của hạt có spin chúng tôi thu được các kết quả sau:
 Trong trường hợp hạt vơ hướng tương tác với trường vector, thì chuẩn thế khơng
phụ thuộc vào năng lượng đã tìm được:
(0)
Tvector
 s; t  

(1)
Tvector
 s; t  

 1

g3
g6

F
(

2(2 ) s
2  2  s s    t (2 ) s

3g 4

 Trong trường hợp hạt vô hướng tương tác với trường tensor như đã xét ở mục 2.3 có
chuẩn thế tăng theo năng lượng đã tìm được:
(0)
Ttensor
 s; t   

(1)
Ttensor
 s; t   

4
4
 2 

 1

3
6

F
(
t
)

F (t )  ,

được phát triển để khảo sát tính chất tiệm cận của các giản đồ Feynman riêng rẽ và lấy tổng
6

20


của các giản đồ này. Trong các lý thuyết khác nhau bao gồm cả lý thuyết hấp dẫn, việc tính
tốn các giản đồ Feynman được tiến hành tương tự như cách chúng ta đã thực hiện trong
chương 2 với QED. Sự tin cậy của phép gần đúng eikonal phụ thuộc vào spin của hạt trao đổi
tương tác. Bằng phương pháp nhiễu loạn, các bậc khác nhau trong số hạng chính của biên độ
tán xạ thu được ở mỗi mơ hình là đáng tin cậy, tuy nhiên khi lấy tổng của các số hạng này thì
chúng ta lại thấy nó khơng trội hơn so với các số hạng mà chúng ta đã bỏ qua trong phép gần
đúng này. Sự tin cậy của biên độ tán xạ eikonal trong lý thuyết hấp dẫn là khơng chắc chắn.
Vì thế, thay cho phương pháp lý thuyết nhiễu loạn, cách tiếp cận chuẩn thế của chúng tơi
trong chương này dựa trên biểu thức chính xác của biên độ tán xạ và lý thuyết nhiễu loạn cải
biến mà ở bậc thấp nhất chính là biên độ tán xạ eikonal chính, cịn các bậc tiếp theo chính là
các bổ chính của nó.
3.4. Mối liên hệ giữa phương pháp chuẩn thế và phương pháp tích phân quỹ đạo
Feynman
Bức tranh vật lý thực sự tương ứng với các kết quả chúng ta đã đưa ra ở biểu thức
(3.2.20) là gì? Để trả lời câu hỏi này chúng ta sẽ đi thiết lập mối liên hệ giữa phương pháp
chuẩn thế với phương pháp tích phân quỹ đạo Feynman, bằng cách chúng ta xem xét phương
trình chuẩn thế theo quan điểm tích phân phiếm hàm. Với giả thiết như vậy thì chúng ta thu
được mối liên hệ
21