PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2010-2011
MÔN: TOÁN LỚP 9
Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề
Phần 1-Trắc nghiệm (2,0 điểm) Mỗi câu sau có nêu bốn phương án trả lời, trong đó chỉ có một
phương án đúng. Hãy chọn phương án đúng (viết vào bài làm chữ cái đứng trước phương án được
lựa chọn).
Câu 1. Biểu thức
7 4 3 7 4 3− + +
có giá trị là:
A.
4
B.
2 3−
C.
0
D.
3
2
−
Câu 2. Biểu thức
2
1 2x
x
−
xác định khi:
A.
1
x

m
2
≠ −
D.
1
m
2
≠ −
Câu 4. Cho tam giác đều cạnh bằng 3 cm. Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp có độ dài bằng
A.
3 3
cm
2
B.
2 cm
C.
3 cm
D.
3
cm
2
Phần 2-Tự luận. (18 điểm)
Câu 1. (1 điểm).Thực hiện phép tính:
1 1 3 +1
+ :
17
2 5 - 3 2 5 + 3
 
 ÷
 

2 2
4x 3x 1 x 1 7x 1+ − − = +
Câu 4. (8 điểm). Cho (O; R), dây cung
AB R 2=
. Các tiếp tuyến tại A và tại B với đường tròn cắt
nhau tại M. Từ điểm P thuộc đoạn thẳng AM (P không trùng với A và M), vẽ tiếp tuyến PC với đường
tròn (C là tiếp điểm). Gọi Q là giao điểm của đường thẳng PC với BM.
a) Chứng minh tứ giác MAOB là hình vuông.
b) Chứng minh chu vi tam giác MPQ bằng nửa chu vi hình vuông MAOB. Tính
·
POQ
.
c) Xác định vị trí của các điểm P, Q để độ dài đoạn thẳng PQ nhỏ nhất, khi đó chứng minh
tam giác MPQ có diện tích lớn nhất.
Câu 5. (2 điểm). Cho
x 0; y 0; x y 2> > + ≤
.
a) Chứng minh rằng
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 3
A 2xy
xy
x y
= + +
+

− +
0,5
( ) ( )
( )
2 2
4 5 3 1
4 5 17 4 5 17
. . 2 15 2 5
17 3 1
3 1 3 1
2 5 3
−
= = = = −
−
+ +
−
0,5
Câu 2. (2 điểm).
a) Rút gọn P (1 điểm).
( )
x 3 x 2 x x 1 1
P : x 0 và x 1
x 1
x x 2 x 1 x 1
 
+ + +
 
= − + > ≠
 ÷
 ÷

 ÷
 ÷
− −
+ −
 
0,25
( ) ( )
x 1 x 1
1
x 1 2 x
+ −
= ×
−
0,25
x 1
2 x
+
=
0,25
b)
( )
1 x 1 2 x x 1
1 1 0 x 0; x 1
P 8 8
x 1
+ +
− ≥ ⇔ − − ≥ > ≠
+
0,25
( )

− ≥

(*) 0,25
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 x 1 2 x 2 x 1 2 x 6 2 x 1 2 x 3⇔ + + − + + − = ⇔ + − =
0,5
( )
2
4 x x 2 9⇔ − + + =
0,5
2
2 2
9 1 1 1
x x 2 x x 0 x 0 x
4 4 2 2
 
⇔ − − = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =
 ÷
 
0,5
1
x
2
=
thỏa mãn điều kiện (*). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
1
x
2
=
0,25

Dấu bằng xảy ra
2 2 2
2
3x 1 4x x 1
3x 1 2x 0
x 1
x 1 x 1
x 1 0

 
+ = =

+ − =
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ =
  
= =
− =

 

1
x = 1 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 0,25
Câu 4 (8 điểm).
M
P
Q
C
A
B
O

Tính
·
POQ
(1,5 điểm)
Chứng minh
·
·
1
QOC BOC
2
=
0,5
Chứng minh
·
·
1
COP AOC
2
=
0,5
·
·
·
0 0
1 1
QOC COP AOB .90 45
2 2
⇒ + = = =
0,5
c) Xác định vị trí của các điểm P, Q để độ dài đoạn thẳng PQ nhỏ nhất, khi đó

BOM
.
OP là tia phân giác của
·
AOM
0,5
OPQ AOBQP PQM OAPQB MAOB
1
S S ; S S S
2
= + =
không đổi.
Tam giác OPQ có chiều cao OC = R không đổi
0,5
PQ nhỏ nhất khi và chỉ khi
OPQ
S
nhỏ nhất suy ra
AOPQB
S
nhỏ nhất 0,25
Suy ra diện tích tam giác MPQ lớn nhất. 0,25
Câu 5. (2 điểm).
a) Chứng minh rằng
( ) ( )
2 2
1 1 4 x y 4
x y 4xy x y 0
x y x y xy x y
+

1 1 4 4 4
1
2xy
x y x y 2xy 2
x y
+ ≥ = ≥ =
+ + +
+
( vì
x y 2+ ≤
). Đẳng thức xảy ra
2 2
x y 2xy
x y 1
x y 2

+ =
⇔ ⇔ = =

+ =

0,25
4
Chứng minh được
2 2
2xy 2 2xy. 4
xy xy
+ ≥ =
. Đẳng thức xảy ra
2 2

x y 1
= =

⇔ ⇔ = =

=

vậy min A =
11
x y 1
2
⇔ = =
0,25
Lưu ý: Nếu HS giải theo cách khác, mà đúng và phù hợp với kiến thức trong chương
trình thì Hội đồng chấm thi thống nhất việc phân bố điểm của cách giải đó, sao cho
không làm thay đổi tổng điểm của câu (hoặc ý) đã nêu trong hướng dẫn này.

--------------------HẾT-----------------------
5